A Bolyai kollégium matematikai szemináriumának következõ programjaÚjraindul a Bolyai kollégium matematika szemináriuma. A szemináriumok hagyományos kezdési idõpontja csütörtök 1/4 5 órai kezdés, helye pedig a Bolyai kollégium elõadóterme. Az idei elsõ szeminárium idõpontja február 17. Az elsõ elõadáson Major Péter fog beszélni. Az elõadás témája az, hogy irracionális számokat milyen jól tudunk közelíteni kis nevezõjû racionális számokkal, és ennek mi a kapcsolata néhány fontos analízisbeli problémával. Ez tekinthetõ úgyis mint a múlt félévi a lánctörtekrõl szóló elõadások eredményeinek alkalmazása, bár az akkor elhangzottak ismerete nem szükséges az elõadás megértéséhez. Egy tipikus tárgyalandó probléma az úgynevezett Siegel disc eredmény ismertetése. A probléma a fontos és népszerû úgynevezett Fatou és Julia halmazok viselkedésének vizsgálatához kapcsolódik. A Julia és Fatou halmazok vizsgálata a következõ kérdéssel foglalkozik: Tekintsük a komplex számsíknak egy racionális törtfüggvény által meghatározott leképezését, illetve ennek a leképezésnek az iteráltjait. Arra vagyunk kiváncsiak, hogy mely pontok stabilak ezen leképezések iteráltjaira, azaz melyek azok a pontok, melyek kis környezetében levõ pontok pályája örökre az eredeti pont pályájának a közelében van. (Az ilyen pontokból álló halmazt hivják Fatou halmaznak, a komplementere pedig a Julia halmaz.) Kiderült, hogy különösen fontos megérteni a leképezés fixpontjainak a viselkedését. Ez a leképezés deriváltjának a viselkedésétõl fügy a fixpontban. Ha a derivált abszolut értéke egynél kisebb, akkor a fixpont a leképezés stabil pontja. Sõt ennél tartalmasabb eredményt is tudunk állítani. Az is igaz, hogy a fixpont kis környezetében ez a leképezés konjugált egy a derivált értéke által meghatározott forgatás illetve kicsinyítés kompoziciójával. Felmerül a kérdés, mi a helyzet akkor, ha a derivált abszolut értéke pontosan egy. Ebben az esetben a válasz attól függ, hogy a derivált által meghatározott forgatás szöge elosztva 2\pi-vel milyen jól approximálható kis nevezõjû racionális számokkal. Ha ez a szög racionális vagy kis nevezõjû racionális számokkal jól közelíthetõ, akkor lehet olyan példát adni, amikor a fixpont a leképezésnek nem stabil pontja, (nem tartozik a Fatou halmazba.) Ha viszont ez a szög racionális számokkal rosszul közelíthetõ, akkor a leképezés lokálisan izomorf egy körlap elforgatásával. Ezt a körlapot hívják Siegel disc-nek. Ez az eredmény jól leírja az iteráció viselkedését az adott esetben, és az állítás megértése egyébként is nagyon tanulságos. A második héten (február 24-én) mértékelméleti problémákat tárgyaló feladatsorokat fogunk megbeszélni. Ezt a feladatsort nemsokára szét fogom küldeni.
Minden érdeklõdõt szívesen látunk.
Feldolgozásra javasolt cikkek és témák. TeX file, dvi file, pdf file. |