Feladatok:

1a) Legyen X és Y két valószínűségi változó, amelyekre EX^{2} < ∞, EY^{2} < ∞, és legyen F olyan σ-algebra, amelyre X F mérhető. Mutassa meg, hogy

E(Y^{2}|F) = E((Y − X)^{2}|F) + 2XE((Y − X)|F) + X^{2}.

1b) Mutassa meg a fenti azonosság segítségével, hogy ha (X_{n}, F_{n}), n = 1, 2, …,, martingál, amelyre EX_{n}^{2} < ∞ minden n indexre, akkor (X_{n}^{2}, F_{n}), n = 1, 2, …, szubmartingál.

1c) Mutassa meg, hogy ha (X_{n}, F_{n}), n = 1, 2, …, martingál, akkor (|X_{n}|, F_{n}), n = 1, 2, … vagy (X_{n}^{+}, F_{n}), n = 1, 2, …, ahol X_{n}^{+} = max(X_{n}, 0) szubmartingál.

2.) Egy igazságos kaszinóban, tétünket duplázva addig játszunk, amig biztosan nem nyerünk egy forintot. Azaz X_{n}, n = 1, 2, …, n időpontbeli nyereményünk a következőképp változik. Legyenek Y_{0}, Y_{1}, … független valószínűségi változók, amelyekre P (Y_{n} = 1) = P (Y_{n} = −1) = \frac{1}{2}, n = 0, 1, …, és definiáljuk az X_{1} = Y_{0}, X_{n+1} = X_{n} + 2^{n}Y_{n}I_{{X_{n}<0}}, n = 1, 2, …, valószínűségi változókat, ahol I_{A} az A halmaz indikátorfüggvényét jelöli.

a) Mutassa meg, hogy (X_{n}, F_{n}), ahol F_{n} = σ(Y_{0}, , …, Y_{n−1}) martingál. X_{n} → 1 1 valószínűséggel, ha n → ∞, de az X_{n} sorozat nem konvergál L_{1} normában, ha n → ∞.

b) (Szorgalmi?) Mutassa meg, hogy E sup_{n≥1} |X_{n}| = ∞.

A következő feladatok megoldása felhasználja azt a tényt, hogy többváltozós normális eloszlású valószínűségi változók koordinátái függetlenek, ha korrelálatlanok. A következő feladat megoldásánek fő gondolata: Ha (X, Z) normális eloszlású véletlen vektor, akkor létezik olyan (kiszámolható) α szám, amelyre X − αZ és Z függetlenek.

3.) Legyen (X, Z) kétdimenziós normális eloszlású véletlen vektor, EX = 0, EZ = 0. Mutassa meg, hogy E(X|Z) = \frac{EXZ}{EZ^{2}} Z, E(X^{2}|Z) = EX^{2} − \frac{(EXZ)^{2}}{EZ^{2}} + (\frac{EXZ}{EZ^{2}} )^{2} Z^{2}, E(((X − E(X|Z))^{2}|Z) = EX^{2} − \frac{(EXZ)^{2}}{EZ^{2}} . (Vegyük észre, hogy az utolsó formula, amelyben X feltételes szórásnǵyzetét számoltuk ki feltéve Z értékét, nem függ Z aktuális értékétől.)

4.) Legyen ξ, η és ζ három független standard normális eloszlású valószínűségi változó. Mutassa meg, hogy a ξ+η+ζ és a \frac{ξ−η}{ξ−ζ} valószínűségi változók függetlenek egymástól.

A következő feladatok megoldása is azon alapul, hogy normális valószínűségi változók esetében bizonyos feltételek mellett a korrelálatlanságból következik a függetlenség. Ezek a feladatok Wiener folyamatokról és Brown bridge-ről szólnak. Emlékeztetek, hogy egy a [0, 1] intervallumon definiált folytonos trajektóriájú W (t) Gauss folyamat akkor Brown folyamat, ha EW (t) = 0, EW (s)W (t) = min(s, t), 0 ≤ s, t ≤ 1, és akkor Brown bridge, ha EW (t) = 0, és EW (s)W (t) = min(s, t) − st. 0 ≤ s, t ≤ 1.

5.) Bizonyítsa be, hogy ha W (t), 0 ≤ t ≤ 1, Wiener folyamat, akkor B(t) = W (t) − tW (1), 0 ≤ t ≤ 1, Brown bridge, amely független a W (1) valószínűségi változótól. Megfordítva, ha B(t), 0 ≤ t ≤ 1, Brown bridge, és ξ egy tőle független standard normális eloszlású valószínűségi változó, akkor W (t) = B(t) + tξ egy Wiener folyamat.

6.) Egy B(t), 0 ≤ t ≤ 1, Brown bridge Markov folyamat, azaz, minden 0 ≤ s ≤ t ≤ 1 számra igaz, hogy ha definiáljuk az F_{s} = σ(B(u) , 0 ≤ u ≤ s), és G_{s} = σ(B(s)) σ-algebrákat, akkor P (B(t) ∈ A|G_{s}) = P (B(t) ∈ A|F_{s}) minden Borel mérhető A halmazra a számegyenesen. (Ez azt jelenti, hogy B(t) Markov folyamat.)

Segítség: Mutassuk meg, hogy a B(t) − \frac{1−t}{1−s}B(s) valószínűségi változó független az F_{s} = σ(B(u) , 0 ≤ u ≤ s) σ-algebrától, majd használjuk a 8. feladat eredményét.

7.) Legyenek ξ_{1}, …, ξ_{n} független, a [0, 1] intervallumon egyenletes eloszlású valószínűségi változók. Definiáljuk az

F_{n}(t) = \frac{1}{n} × azon 1 ≤ j ≤ n indexek száma, amelyekre ξ_{j} < t

empirikus eloszásfüggvényt minden 0 ≤ t ≤ 1 számra e valószínűségi változók segítségével. Mutassa meg, hogy a G_{n}(t) = \sqrt{n}(F_{n}(t) − t), 0 ≤ t ≤ 1, normalizált eloszlásfüggvény és a Brown bridge kovarianciafüggvénye megegyezik.

A következő feladat megegyezik Kevei Péter jegyzetének 12. feladatával.

8.) Legyen adva egy G σ-algebra és két X és Y valószínűségi változó, amelyek teljesítik a következő feltételeket:

X mérhető a G σ-algebrára, és Y független tőle.

Mutassa meg, hogy minden olyan kétváltozós Borel mérhető h(x, y) függvényre, amelyre E|h(X, Y)| < ∞

E(h(X, Y)|G)(ω) = ∫ h(X(ω), y) dF (y) 1 valószínűséggel,

ahol F az Y valószínűségi változó eloszlásfüggvénye.

Segítség: Lássuk be az állítást először abban az esetben, ha h(x, y) az R^{2} tér mérhető részhalmaza. Ezt is lássuk be először egyszerű halmazokra, majd terjesszük ki az állítást az általános esetre felhasználva azt a mértékelméletben tanult eredményt, hogy egy mérték kiterjesztése egy algebráról az általa generált σ-algebrára egyértelmű.

9.) Legyen (X, Z) kétdimenziós normális eloszlású véletlen vektor, EX = 0, EZ = 0. Mutassa meg a 8. feladat eredményének a segítségével, hogy tetszőleges mérhető B halmazra P (X ∈ B|Z) = P (U ∈ B), ahol U normális eloszlású valószínűségi változó m = \frac{EXZ}{EZ^{2}} Z várható értékkel és σ^{2} = EX^{2} − \frac{EXZ}{EZ^{2}} szórásnégyzettel.

Megjegyzés: A 9. feladat azt állítja, hogy X feltételes eloszlása, feltéve Z értékét a normális eloszlás, amelynek várható értéke megegyezik a 3. feladatban kiszámolt E(X|Z) feltételes várható értékkel szórásnégyzete pedig az E(((X − E(X|Z))^{2}|Z) feltételes szórásnégyzettel.

10.) Láttuk, hogy alkalmazva az Itô formulát az W (t) = ∫_{0}^{t} 1 dW (s) kifejezésre ki tudjuk számolni az ∫_{0}^{t} W (s) dW (s) integrált. Bizonyítsuk be hasonló módon, hogy

∫_{0}^{t} W^{2}(s) dW (s) = \frac{1}{3}W^{3}(t) − ∫_{0}^{t} W (s) ds,

és

∫_{0}^{t} W^{3}(s) dW (s) = \frac{1}{4}W^{4}(t) − \frac{3}{2} ∫_{0}^{t} W^{2}(s) ds.

A következő feladat a jegyzet 7. példájában tárgyalt exponenciális Brown mozgáshoz, azaz a dX(t) = μX(t) dt + σX(t) dW (t) sztochasztikus differenciálegyenlet megoldásához kapcsolódik. Ott az Itô formulát alkalmaztuk az f(X(t)) függvényre f(x) = log x választással, és ez azt adta, hogy a tekintett sztochasztikus differenciálegyenlet megoldása az X(t) = X(0) exp\{σW (t) + (μ − \frac{σ^{2}}{2} )t\} függvény. A jegyzetben tárgyalt számolás segített megtalálni a megoldást, mégsem tekinthető teljes értékű indoklásnak, mert az Itô formulában az egész számegyenesen definiált kétszer folytonosan differenciálható f(x) függvényt kell választani, az f(x) = log x függvény pedig nem ilyen, sőt nem is egészíthető ki ilyen függvénnyé. Megjegyzem, hogy ez a probléma azzal függ össze, hogy a nem az origóból kiinduló exponenciális Brown mozgás, mint a rá adott megoldás mutatja, nem veszi fel soha a nulla értéket, de ezt közvetlenül nem látjuk.

11a.) Bizonyítsa be az Itô formula segítségével, hogy az

X(t) = exp\{U(t)\} = exp \{σW (t) + (μ − \frac{σ^{2}}{2} )t\}

sztochasztikus folyamat, ahol U(t) = σW (t) + (μ − \frac{σ^{2}}{2} )t kielégíti a dX(t) = μX(t) dt + σX(t) dW (t) sztochasztikus differenciálegyenletet az X(0) = 1 hatérfeltétellel.

11b.) Az előbb definiált X(t) és U(t) folyamatokra

d (\frac{1}{X(t)}) = \frac{1}{X(t)}[(σ^{2} − μ) dt − σdW (t)].

11c.) Legyen Z(t) megoldása a dZ(t) = μZ(t) dt + σZ(t) dW (t) sztochasztikus differenciálegyenletnek. Mutassa meg, hogy

d (\frac{1}{X(t)}Z(t)) = \frac{dZ(t)}{X(t)} + Z(t)d (\frac{1}{X(t)}) − σ^{2} \frac{Z(t)}{X(t)} dt = 0,

ezért Z(t) = Z(0) exp\{σW (t) + (μ − \frac{σ^{2}}{2} )t\}.

A következő feladat tekinthető úgy, mint a Kevei jegyzet 6. példájának a kiegészítése. Egyébként tartalmazza a jegyzet 13. feladatát.

12a.) Legyen Y (t) = e^{−U(t)}, ahol U(t) = ∫_{0}^{t} X(s) dW (s) − \frac{1}{2} ∫_{0}^{t} X^{2}(s) ds egy olyan X(s), 0 ≤ s ≤ T, sztochasztikus folyamattal, amelyre az előbb definiált U(t) Itô-folyamat létezik. Mutassa meg, hogy igaz a

dY (t) = Y (t)[X^{2}(t) dt − X(t) dW (t)], Y (0) = 1,

azonosság.

12b.) Mutassa meg, hogy ha a Z(t) Itô folyamat teljesíti a Z(t) = 1+∫_{0}^{t} Z(s)X(s) dW (s) egyenletet a 12a) feladatban szereplő X(t) sztochasztikus folyamattal, akkor

d[Y (t)Z(t)] = 0.

Ezért ennek az egyenletnek az egyetlen az Y (0) = 1 határfeltételt teljesítő megoldása a Kevei jegyzet 6. példájában tárgyalt Z(t) = e^{U(t)} sztochasztikus folyamat.

A következő feladat megegyezik a Kevei jegyzet 16. feladatával.

13a.) Legyenek W_{1}(t), …, W_{r}(t), 0 ≤ t ≤ T, független Wiener folyamatok, és definiáljuk

segítségükkel az R_{r}(t) = \sqrt{∑_{j=1}^{r} W_{i}^{2}(t)}, 0 ≤ t ≤ T, úgynevezett r-ed rendű Bessel

folyamatot minden r ≥ 2 dimenzióban. Bizonyítsa be,hogy ez teljesíti az

R_{r}(t) = ∫_{0}^{t} \frac{r − 1}{2R_{r}(s)} ds + ∑_{j=1}^{r} ∫_{0}^{t} \frac{W_{j}(s)}{R_{r}(s)}dW_{j}(s)

azonosságot.

13b.) A jegyzetben valószínűleg olyan megoldásra gondoltak, amelyben az Itô formulát

alkalmazzuk az f(x_{1}, …, x_{r}) = ( ∑_{j=1}^{r} x_{j}^{2})^{1/2} függvénnyel. Elfogadok a feladat

a) részére egy ilyen megoldást, mert az helyes eredményt ad. Ugyanakkor ez a megoldás nem teljes értékű, mert az előbb definiált f(x_{1}, …, x_{r}) függvény nem elég sima. (Az origóban nem deriválható kétszer folytonosan.) Adja meg egy egzakt bizonyítás vázlatát. Ennek érdekében írja fel azt, hogy milyen sztochasztikus dif-

ferenciálegyenletet elégít ki az R_{r}^{ε}(t) = \sqrt{∑_{j=1}^{r} W_{i}^{2}(t) + ε}, 0 ≤ t ≤ T, sztochasztikus

folyamat. Ezenkívül adja meg, hogy milyen limesz relációkat kell bebizonyítani annak érdekében, hogy a kapott azonosság segítségével bebizonyítsuk a 13a.) feladat állítását. (Megjegyzem, hogy az

∫_{0}^{t} K_{n}(s) ds + ∑_{j=1}^{r} ∫_{0}^{t} H_{j,n}(s) dW_{j}(s), n = 1, 2, …,

Itô integrálok n → ∞ esetén konvergálnak az

∫_{0}^{t} K(s) ds + ∑_{j=1}^{r} ∫_{0}^{t} H_{j}(s) dW_{j}(s)

Itô integrálhoz, ha lim ∫_{0}^{T} |K_{n}(s)−K(s)| ds → 0 és lim ∫_{0}^{T} |H_{j,n}(s)−H_{j}(s)|^{2} ds → 0 egy valószínűséggel minden 1 ≤ j ≤ r indexre.)

13c.) Szorgalmi feladat. Bizonyítsa be azokat a limesz relációkat, amelyek lehetővé teszik a feladat megoldását a b) feladat megoldásának a segítségével. A bizonyításban fel szabad használni azt a (nehezen bizonyítható) eredményt, mely szerint az ∫_{0}^{t} \frac{1}{R_{r}(s)} ds integrál 1 valószínűséggel véges.

14.) Bizonyítsa be a tanult martingál egyenlőtlenségek segítségével, hogy ha W (t), 0 ≤ t ≤ T, egy Wiener folyamat, akkor P (sup_{0≤t≤T} |W^{2}(t) − t| > x) ≤ \frac{8T^{2}}{x^{2}} minden x > 0 számra. (Olyan megoldást is elfogadok, ahol a 8 helyett nagyobb konstans szerepel.)

15.) Legyen W (t, ω), 0 ≤ t ≤ 1, (standard) Wiener folyamat egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőn, a(t), 0 ≤ t ≤ 1, egy folytonosan deriválható függvény, és definiáljuk az X(t, ω) = W (t, ω) + ∫_{0}^{t} a(s) ds, 0 ≤ t ≤ 1, sztochasztikus folyamatot. (Legyen A a legszűkebb olyan σ-algebra, amelyre a W (t, ω), 0 ≤ t ≤ 1, Wiener folyamat mérhető.) Legyen P_{1} a W (t, ω), és P_{2} az X(t, ω) (folytonos trajektóriájú) sztochasztikus folyamat eloszlása a C([0, 1]) térben. Bizonyítsa be a Girsanov tétel segítségével, hogy a P_{2} mérték \frac{dP_{2}}{dP_{1}} Radon–Nikodym deriváltja a P_{1} mérték szerint

\frac{dP_{2}}{dP_{1}} (x) = exp \{∫_{0}^{1} a(t) dx(t) − \frac{1}{2} ∫_{0}^{1} a^{2}(t) dt\}

az x = {x(t): 0 ≤ t ≤ 1} ∈ C([0, 1]) pontban.

Segítség: Mutassuk meg, hogy a Girsanov tételből következik, hogy

∫ F (X(·, ω))e^{− ∫_{0}^{1} a(t)dW (t,ω)− \frac{1}{2} ∫_{0}^{1} a^{2}(t) dt)} dP (ω) = ∫ F (W (·, ω)) dP (ω) (a)

minden F a C([0, 1]) téren értelmezett R^{1} értékű függvényre. Felhasználjuk, hogy egy (Ω_{1}, A_{1}, P_{1}) téren definiált X és egy (Ω_{2}, A_{2}, P_{2}) téren definiált Y valószínűségi változó eloszlása akkor és csak akkor egyezik meg, ha EF (X) = EF (Y) minden F függvényre, továbbá

EF (X) = ∫ F (X(ω_{1})) dP_{1}(ω_{1}), és EF (Y) = ∫ F (Y (ω_{2})) dP_{2}(ω_{2}).

Továbbá mivel a(t) folytonosan deriválható függvény, az ∫_{0}^{t} a(s) dW (t, ω) integrál definiálható minden ω-ra, mint egy determinisztikus integrál. Mutassa meg, hogy ∫_{0}^{1} a(t) dX(t, ω) = ∫_{0}^{1} a(t) dW (t, ω)+∫_{0}^{1} a^{2}(t) dt, és ezért az (a) azonosságot az F (x) függvény helyett a G(x) = F (x) exp \{∫_{0}^{1} a(t) dx(t) − \frac{1}{2} ∫_{0}^{1} a^{2}(t) dt\} függvényre alkalmazva azt kapjuk, hogy

∫ F (X(·, ω)) dP (ω) = ∫ F (W (·, ω))e^{∫_{0}^{1} a(t)dW (t,ω)− \frac{1}{2} ∫_{0}^{1} a^{2}(t) dt)} dP (ω).

Innen X(·, ω) eloszlása megegyezik W (·, ω) eloszlásával az (Ω, A, P^{∗}) valószínűségi mezőn, ahol \frac{dP^{∗}}{dP} (ω) = exp \{∫_{0}^{1} a(t)dW (t, ω) − \frac{1}{2} ∫_{0}^{1} a^{2}(t) dt)\}. A T: (Ω, A) → C([0, 1]), T (ω) = W (·, ω) leképezést alkalmazva azt kapjuk, hogy P_{1} a P mérték, és P_{2} a P^{∗} mérték ősképe az ezen leképezés által indukált mértéktranszformáció szerint. Innen következik a feladat állítása.

16a.) Legyen x(t) és y(t) két függvény a [0, 1] intervallumon. Mutassa meg, hogy tetszőleges 0 ≤ t_{1} ≤ t_{2} ≤ ⋯ ≤ t_{n} ≤ 1 pontokra

{∑_{k=1}^{n}[x(t_{k}) − x(t_{k−1})]^{2}}^{1/2} − {∑_{k=1}^{n}[y(t_{k}) − y(t_{k−1})]^{2}}^{1/2}

≤ {∑_{k=1}^{n}[(x(t_{k}) + y(t_{k})) − (x(t_{k−1} + y(t_{k−1}))]^{2}}^{1/2}

≤ {∑_{k=1}^{n}[x(t_{k}) − x(t_{k−1})]^{2}}^{1/2} + {∑_{k=1}^{n}[y(t_{k}) − y(t_{k−1})]^{2}}^{1/2} .

Legyen W (t, ω), 0 ≤ t ≤ 1, egy (standard) Wiener folyamat, A(t), 0 ≤ t ≤ 1, egy folytonosan differenciálható függvény, és definiáljuk az X(t, ω) = 2W (t, ω) + A(t), 0 ≤ t ≤ 1, sztochasztikus folyamatot. Mutassa meg a fenti egyenlőtlenség és a Kevei jegyzet 2. Tétele (pontosabban ennek közvetlenül utána írt következménye) segítségével, hogy az n = 1, 2, …, számokra definialhatunk olyan 0 = t_{0,n} < t_{1,n} ⋯ < t_{n−1,n} < t_{n,n} = 1 sorozatokat, amelyekre egyrészt sup_{1≤k<≤n}(t_{k,n} − t_{k−1,n}) → 0, ha n → ∞, másrészt

lim_{n→∞} ∑_{k=1}^{n}[X(t_{k,n}, ω) − X(t_{k−1,n}, ω)]^{2} = 4 1 valószínűséggel.

16b.) Mutassa meg, hogy a 16a.) feladatban definiált X(t, ω) = 2W (t, ω) + A(t) és a W (t, ω), 0 ≤ t ≤ 1, sztochasztikus folyamatok eloszlásai szinguláris mértékek a C([0, 1]) térben, azaz léteznek olyan B_{1}, B_{2} ∈ C([0, 1]) (mérhető) halmazok, amelyekre B_{1} ∩ B_{2} = ∅, és P (X(·, ω) ∈ B_{1}) = 1, P (W (·, ω) ∈ B_{2}) = 1.

17a.) Legyen W (t, ω), 0 ≤ t ≤ 1, (standard) Wiener folyamat egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőn, a(t), 0 ≤ t ≤ 1, egy folytonosan deriválható függvény, és definiáljuk az X(t, ω) = W (t, ω) + ∫_{0}^{t} a(s) ds, 0 ≤ t ≤ 1, sztochasztikus folyamatot. Legyen P_{1}(n) a (W (2^{−n}), W (2 · 2^{−n}), W (3 · 2^{−n}), …, W (2^{n} · 2^{−n})) és P_{2}(n) az (X(2^{−n}), X(2 · 2^{−n}), X(3·2^{−n}), …, X(2^{n}·2^{−n})) véletlen vektor eloszlása az R^{2^{n}} térben. Bizonyítsa be a következő azonosságot a \frac{dP_{2}(n)}{dP_{1}(n)} Radon-Nikodym deriváltról.

\frac{dP_{2}(n)}{dP_{1}(n)}(x_{1}, …, x_{2^{n}}) = exp \{∑_{k=1}^{2^{n}}[b_{n}(k)(x_{k} − x_{k−1}) − 2^{−n−1}b_{n}^{2}(k)]\} ,

ahol b_{n}(k) = 2^{n} ∫_{(k−1)2^{−n}}^{k2^{−n}} a(s) ds, és x_{0} = 0.

17b.) Tekintsük a C([0, 1]) teret a szokásos topológiával és az általa generált F σ-algeb-rával, valamint legyen a P_{1} mérték a W (·, ω) eloszása, (azaz a Wiener mérték) és P_{2} az X(·, ω) eloszlása ezen a téren. Vezessük be a következő F_{n} σ-algebrát a C([0, 1]) téren minden n = 1, 2, …, számra. Definiáljuk az u_{n,k}(x) = x(k2^{−n)}, x ∈ C([0, 1]), függvényt minden n = 1, 2, …, és 0 ≤ k ≤ 2^{n} indexpárra a C([0, 1]) térben (azaz u_{n,k}(x) az x = x(·) ∈ C([0, 1]) függvény értéke a k2^{−n} pontban). Legyen F_{n} az a legszükebb σ-algebra, amelyre az összes u_{n,k}(x), 0 ≤ k ≤ 2^{n}, függvény mérhető rögzített n index-szel. Jelölje P′_{1}(n) a P_{1}, és P′_{2}(n) a P_{2} mérték megszorítását a F_{n} σ-algebrára. Ekkor a 17a.) feladat állítása így fogalmazható meg ebben a térben:

\frac{dP′_{2}(n)}{dP′_{1}(n)}(x) = exp \{∑_{k=1}^{2^{n}}[B_{n}(k2^{−n})(x(k2^{−n}) − x((k − 1)2^{−n})) − 2^{−n−1}B_{n}^{2}(k2^{−n})]\}

minden x ∈ C([0, 1])-re, ahol B_{n}(t) = 2^{n} ∫_{t−2^{−n}}^{t} a(s) ds, 2^{−n} ≤ t ≤ 1.

A martingálelmélet eredményeiből következik, hogy \frac{dP′_{2}(n)}{dP′_{1}(n)} egy valószínűséggel kon-

vergál a \frac{dP_{2}}{dP_{1}} Radon–Nikodym deriválthoz a P_{1} (Wiener) mérték szerint a C([0, 1]) térben. (Lásd a következő Megjegyzést.) Ezt felhasználva bizonyítsa be az előző képlet segítségével a 15. feladat állítását, azaz a

\frac{dP_{2}}{dP_{1}} (x) = exp \{∫_{0}^{1} a(t) dx(t) − \frac{1}{2} ∫_{0}^{1} a^{2}(t) dt\}

azonosságot.

Megjegyzés: Nem nehéz belátni, hogy a \frac{dP′_{2}(n)}{dP′_{1}(n)}, n = 1, 2, …, sorozat martingált alkot a (C([0, 1]), F, P_{1}) téren, amelyre alkalmazható Doob martingál konvergenciatétele. (Lásd Kevei jegyzet 8. oldal.) Tehát a \frac{dP′_{2}(n)}{dP′_{1}(n)}(x), n = 1, 2, …, sorozat 1 valószínűséggel konvergál. Ez azonban nem elég a számunkra. Azt is be kell látni, hogy ez a sorozat a “helyes limeszhez”, a \frac{dP_{2}}{dP_{1}} (x) valószínűségi változóhoz konvergál. Meg lehet mutatni, hogy ez a sorozat nem csak 1 valószínűséggel, hanem L_{1} normában is konvergál. Be lehet látni, hogy innen következik, hogy limeszként a \frac{dP_{2}}{dP_{1}} (x) valószínűségi változót kapjuk.

18.) Tekintsünk egy arbitrázs mentes diszkrét idejű (d.i.-(B, S)_{N}) piacot. Legyen adva azon két π_{1} és π_{2} önfinanszírozó stratégia a nulla időpontban X_{0}^{π_{1}} = x_{1} és X_{0}^{π_{2}} = x_{2} indulótőkével. Mutassa meg, hogy ha X_{N}^{π_{1}} ≥ X_{N}^{π_{2}} 1 valószínűséggel, akkor x_{1} ≥ x_{2}.

Segítség: Érdemes felhasználni, hogy van ekvivalens martingál mérték (9.2.1. Tétel), és az \frac{X_{n}^{π}}{B_{n}} sorozat martingál tulajdonságát (9.1.7. Lemma).