\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\parskip=4pt
\TagsOnRight
%\nopagenumbers

\noindent{\bf Feladatok:}

\medskip
\item{1a)} Legyen $X$ \'es $Y$ k\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o,
amelyekre $EX^2<\infty$, $EY^2<\infty$, \'es legyen $\Cal F$ olyan 
$\sigma$-algebra, amelyre $X$ $\Cal F$ m\'erhet\H{o}. Mutassa meg, hogy
$$
E(Y^2|\Cal F)=E((Y-X)^2|\Cal F)+2XE((Y-X)|\Cal F)+X^2.
$$
\item{1b)} Mutassa meg a fenti azonoss\'ag seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy
ha $(X_n,\Cal F_n)$, $n=1,2,\dots,$, marting\'al, amelyre $EX_n^2<\infty$
minden $n$ indexre, akkor $(X_n^2,\Cal F_n)$, $n=1,2,\dots$, szubmarting\'al.
\item{1c)} Mutassa meg, hogy ha $(X_n,\Cal F_n)$, $n=1,2,\dots$, marting\'al,
akkor $(|X_n|,\Cal F_n)$, $n=1,2,\dots$ vagy
$(X_n^+,\Cal F_n)$, $n=1,2,\dots$, ahol $X_n^+=\max(X_n,0)$ szubmarting\'al.

\item{2.)} Egy igazs\'agos kaszin\'oban, t\'et\"unket dupl\'azva addig
j\'atszunk, amig biztosan nem nyer\"unk egy forintot. Azaz $X_n$, 
$n=1,2,\dots$, $n$ id\H{o}pontbeli nyerem\'eny\"unk a k\"ovetkez\H{o}k\'epp
v\'altozik. Legyenek $Y_0,Y_1,\dots$ f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'ok, amelyekre $P(Y_n=1)=P(Y_n=-1)=\frac12$, $n=0,1,\dots$,
\'es defini\'aljuk az $X_1=Y_0$, $X_{n+1}=X_n+2^nY_nI_{\{X_n<0\}}$, 
$n=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat, ahol $I_A$ 
az $A$ halmaz indik\'atorf\"uggv\'eny\'et jel\"oli.
\itemitem{a)} Mutassa meg, hogy $(X_n,\Cal F_n)$, ahol 
$\Cal F_n=\sigma(Y_0,,\dots,Y_{n-1})$ marting\'al. $X_n\to1$ 
1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel, ha $n\to\infty$, de az $X_n$
sorozat nem konverg\'al $L_1$ norm\'aban, ha $n\to\infty$.
\itemitem{b)} (Szorgalmi?) Mutassa meg, hogy 
$E\sup\limits_{n\ge 1}|X_n|=\infty$.

\medskip\noindent
A k\"ovetkez\H{o} feladatok megold\'asa felhaszn\'alja azt a t\'enyt,
hogy t\"obbv\'altoz\'os norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok koordin\'at\'ai 
f\"uggetlenek, ha korrel\'alatlanok. A k\"o\-vet\-ke\-z\H{o} feladat 
megold\'as\'anek f\H{o} gondolata: Ha $(X,Z)$ norm\'alis
eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor, akkor l\'etezik olyan (kisz\'amolhat\'o)
$\alpha$ sz\'am, amelyre $X-\alpha Z$ \'es $Z$ f\"uggetlenek.

\medskip
\item{3.)} Legyen $(X,Z)$ k\'etdimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u
v\'eletlen vektor, $EX=0$, $EZ=0$. Mutassa meg, hogy 
$E(X|Z)=\frac{EXZ}{EZ^2}Z$,
$E(X^2|Z)=EX^2-\frac{(EXZ)^2}{EZ^2}+\left(\frac{EXZ}{EZ^2}\right)^2Z^2$,
$E(((X-E(X|Z))^2|Z)=EX^2-\frac{(EXZ)^2}{EZ^2}$. (Vegy\"uk \'eszre, hogy
az utols\'o formula, amelyben $X$ felt\'eteles sz\'or\'asn\'gyzet\'et
sz\'amoltuk ki felt\'eve $Z$ \'ert\'ek\'et, nem f\"ugg $Z$ aktu\'alis
\'ert\'ek\'et\H{o}l.)

\item{4.)} Legyen $\xi$, $\eta$ \'es $\zeta$ h\'arom f\"uggetlen
standard norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o. Mutassa meg, hogy a $\xi+\eta+\zeta$ \'es a
$\frac{\xi-\eta}{\xi-\zeta}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok 
f\"uggetlenek egy\-m\'as\-t\'ol.

\medskip\noindent
A k\"ovetkez\H{o} feladatok megold\'asa is azon alapul, hogy norm\'alis
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok 
eset\'eben bizonyos felt\'etelek mellett a korrel\'alatlans\'agb\'ol 
k\"ovetkezik a f\"uggetlens\'eg. 
Ezek a feladatok Wiener folyamatokr\'ol \'es Brown bridge-r\H{o}l
sz\'olnak. Eml\'ekeztetek, hogy egy a $[0,1]$ intervallumon defini\'alt
folytonos trajekt\'ori\'aj\'u $W(t)$ Gauss folyamat akkor Brown folyamat,
ha $EW(t)=0$, $EW(s)W(t)=\min(s,t)$, $0\le s,t\le 1$, \'es akkor
Brown bridge, ha $EW(t)=0$, \'es $EW(s)W(t)=\min(s,t)-st$. $0\le s,t\le 1$.

\medskip
\item{5.)} Bizony\'{\i}tsa be, hogy ha $W(t)$, $0\le t\le 1$, Wiener
folyamat, akkor $B(t)=W(t)-tW(1)$, $0\le t\le 1$, Brown bridge, amely 
f\"uggetlen a $W(1)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot\'ol. 
Megford\'{\i}tva, ha $B(t)$, $0\le t\le 1$, Brown bridge, \'es $\xi$
egy t\H{o}le f\"uggetlen standard norm\'alis eloszl\'as\'u 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, akkor $W(t)=B(t)+t\xi$
egy Wiener folyamat.
\item{6.)} Egy $B(t)$, $0\le t\le 1$, Brown bridge Markov folyamat, 
azaz, minden $0\le s\le t\le 1$ sz\'amra igaz, hogy ha 
defini\'aljuk az ${\Cal F}_s=\sigma(B(u)\;,0\le u\le s)$, \'es 
$\Cal G_s=\sigma(B(s))$ $\sigma$-algebr\'akat, akkor
$P(B(t)\in A|\Cal G_s)=P(B(t)\in A|\Cal F_s)$ minden Borel 
m\'erhet\H{o} $A$ halmazra a sz\'amegyenesen. (Ez azt jelenti,
hogy $B(t)$ Markov folyamat.)

\noindent
{\it Seg\'{\i}ts\'eg:} \/ Mutassuk meg, hogy a $B(t)-\frac{1-t}{1-s}B(s)$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o f\"uggetlen 
az ${\Cal F}_s=\sigma(B(u)\;,0\le u\le s)$ $\sigma$-algebr\'at\'ol, 
majd haszn\'aljuk a 8. feladat eredm\'eny\'et.

\medskip
\item{7.)}
Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen, a $[0,1]$ intervallumon
egyenletes eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi 
v\'altoz\'ok.
Defini\'aljuk az 
$$
F_n(t)=\frac1n\times\text{azon $1\le j\le n$ indexek sz\'ama,
amelyekre } \xi_j<t
$$ 
empirikus elosz\'asf\"uggv\'enyt minden $0\le t\le 1$ sz\'amra  e 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok 
se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel. Mutassa meg, hogy a 
$G_n(t)=\sqrt n(F_n(t)-t)$, $0\le t\le 1$, normaliz\'alt
eloszl\'asf\"uggv\'eny \'es a Brown bridge kovarianciaf\"uggv\'enye
megegyezik.

\medskip
A k\"ovetkez\H{o} feladat megegyezik Kevei P\'eter jegyzet\'enek
12. feladat\'aval.
\item{8.)} Legyen adva egy $\Cal G$ $\sigma$-algebra
\'es k\'et $X$ \'es $Y$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o,
amelyek teljes\'{\i}tik a k\"ovetkez\H{o} felt\'eteleket:
\itemitem{} $X$ m\'erhet\H{o} a $\Cal G$ $\sigma$-algebr\'ara, \'es $Y$
f\"uggetlen t\H{o}le.
\item{} Mutassa meg, hogy minden olyan k\'etv\'altoz\'os Borel m\'erhet\H{o} 
$h(x,y)$ f\"uggv\'enyre, amelyre $E|h(X,Y)|<\infty$
$$
E(h(X,Y)|\Cal G)(\omega)=\int h(X(\omega),y)\,dF(y) \quad
\text{1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel,}
$$
ahol $F$ az $Y$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o 
eloszl\'asf\"uggv\'enye.

\noindent
{\it Seg\'{\i}ts\'eg:}\/ L\'assuk be az \'all\'{\i}t\'ast el\H{o}sz\"or
abban az esetben, ha $h(x,y)$ az $R^2$ t\'er m\'erhet\H{o} r\'eszhalmaza.
Ezt is l\'assuk be el\H{o}sz\"or egyszer\H{u} halmazokra, majd 
terjessz\"uk ki az \'all\'{\i}t\'ast az \'altal\'anos esetre 
felhaszn\'alva azt a m\'ert\'ekelm\'eletben tanult eredm\'enyt, 
hogy egy m\'ert\'ek kiterjeszt\'ese egy algebr\'ar\'ol az \'altala 
gener\'alt $\sigma$-algebr\'ara egy\'ertelm\H{u}.

\medskip
\item{9.)} Legyen $(X,Z)$ k\'etdimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u
v\'eletlen vektor, $EX=0$, $EZ=0$. Mutassa meg a 8. feladat
eredm\'eny\'enek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy tetsz\H{o}leges
m\'erhet\H{o}  $B$ halmazra $P(X\in B|Z)=P(U\in B)$, ahol
$U$ norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'o $m=\frac{EXZ}{EZ^2}Z$ v\'arhat\'o \'ert\'ekkel \'es
$\sigma^2=EX^2-\frac{EXZ}{EZ^2}$ sz\'or\'asn\'egyzettel.

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ A 9. feladat azt \'all\'{\i}tja, hogy
$X$ felt\'eteles eloszl\'asa, felt\'eve $Z$ \'ert\'ek\'et a
norm\'alis eloszl\'as, amelynek v\'arhat\'o \'ert\'eke
megegyezik a 3. feladatban kisz\'amolt $E(X|Z)$ felt\'eteles 
v\'arhat\'o \'ert\'ekkel sz\'or\'asn\'egyzete pedig az 
$E(((X-E(X|Z))^2|Z)$ fel\-t\'e\-te\-les sz\'or\'asn\'egyzettel.

\medskip\noindent
\item{10.)} L\'attuk, hogy alkalmazva az It\^o formul\'at az
$W(t)=\int_0^t1\,dW(s)$ kifejez\'esre ki tudjuk sz\'amolni az
$\int_0^tW(s)\,dW(s)$ integr\'alt. Bizony\'{\i}tsuk be hasonl\'o
m\'odon, hogy
$$
\int_0^t W^2(s)\,dW(s)=\frac13 W^3(t)-\int_0^t W(s)\,ds,
$$
\'es
$$
\int_0^t W^3(s)\,dW(s)=\frac14 W^4(t)-\frac32\int_0^t W^2(s)\,ds.
$$

\medskip\noindent
A k\"ovetkez\H{o} feladat a jegyzet 7. p\'eld\'aj\'aban t\'argyalt
exponenci\'alis Brown mozg\'ashoz, azaz a 
$dX(t)=\mu X(t)\,dt+\sigma X(t)\,dW(t)$ sztochasztikus
differenci\'alegyenlet meg\-ol\-d\'a\-s\'a\-hoz kapcsol\'odik. 
Ott az It\^o formul\'at alkalmaztuk az $f(X(t))$ f\"uggv\'enyre 
$f(x)=\log x$ v\'alaszt\'assal, \'es ez azt adta, hogy a 
tekintett sztochasztikus differenci\'alegyenlet meg\-ol\-d\'a\-sa
az $X(t)=X(0)\exp\{\sigma W(t)+(\mu-\frac{\sigma^2}2)t\}$ 
f\"uggv\'eny. A jegyzetben t\'argyalt sz\'amol\'as seg\'{\i}tett 
megtal\'alni a megold\'ast, m\'egsem tekinthet\H{o} teljes 
\'ert\'ek\H{u} indokl\'asnak, mert az It\^o formul\'aban az eg\'esz 
sz\'amegyenesen defini\'alt k\'etszer folytonosan 
differenci\'alhat\'o $f(x)$ f\"uggv\'enyt kell v\'alasztani,
az $f(x)=\log x$ f\"uggv\'eny pedig nem ilyen, s\H{o}t nem is 
eg\'esz\'{\i}thet\H{o} ki ilyen f\"uggv\'enny\'e. Megjegyzem, hogy 
ez a probl\'ema azzal f\"ugg \"ossze, hogy a nem az orig\'ob\'ol 
kiindul\'o exponenci\'alis  Brown mozg\'as, mint a r\'a adott
megold\'as mutatja, nem veszi fel soha a nulla \'ert\'eket, de ezt 
k\"ozvetlen\"ul  nem l\'atjuk.

\medskip
\itemitem{11a.)} Bizony\'{\i}tsa be az It\^o formula seg\'{\i}ts\'eg\'evel, 
hogy az
$$
X(t)=\exp\{U(t)\}=\exp\left\{\sigma W(t)+(\mu-\frac{\sigma^2}2)t\right\}
$$ 
sztochasztikus folyamat, ahol
$U(t)=\sigma W(t)+(\mu-\frac{\sigma^2}2)t$ kiel\'eg\'{\i}ti
a $dX(t)=\mu X(t)\,dt+\sigma X(t)\,dW(t)$ sztochasztikus
differenci\'alegyenletet az $X(0)=1$ hat\'erfelt\'etellel. 
\itemitem{11b.)} Az el\H{o}bb defini\'alt $X(t)$ \'es $U(t)$
folyamatokra 
$$
d\left(\frac1{X(t)}\right)=\frac1{X(t)}[(\sigma^2-\mu)\,dt-\sigma dW(t)].
$$
\itemitem{11c.)} Legyen $Z(t)$ megold\'asa a
$dZ(t)=\mu Z(t)\,dt+\sigma Z(t)\,dW(t)$ sztochasztikus
differenci\'alegyenletnek. Mutassa meg, hogy
$$
d\left(\frac1{X(t)}Z(t)\right)=
\frac{dZ(t)}{X(t)}+Z(t)d\left(\frac1{X(t)}\right)
-\sigma^2\frac{Z(t)}{X(t)}\,dt=0,
$$
ez\'ert $Z(t)=Z(0)\exp\{\sigma W(t)+(\mu-\frac{\sigma^2}2)t\}$.

\medskip\noindent
A k\"ovetkez\H{o} feladat tekinthet\H{o} \'ugy, mint a Kevei jegyzet 
6. p\'eld\'aj\'anak a kieg\'esz\'{\i}t\'ese. Egy\'ebk\'ent
tartalmazza a jegyzet 13.  feladat\'at.

\item{12a.)} Legyen $Y(t)=e^{-U(t)}$, ahol $U(t)=\int_0^t
X(s)\,dW(s)-\frac12\int_0^t X^2(s)\,ds$ egy olyan $X(s)$, $0\le s\le T$,
sztochasztikus folyamattal, amelyre az el\H{o}bb defini\'alt $U(t)$ 
It\^o-folyamat l\'etezik. Mutassa meg, hogy igaz a
$$
dY(t)=Y(t)[X^2(t)\,dt-X(t)\,dW(t)], \quad Y(0)=1,
$$
azonoss\'ag.
\item{12b.)} Mutassa meg, hogy ha a $Z(t)$ It\^o folyamat teljes\'{\i}ti 
a $Z(t)=1+\int_0^t Z(s)X(s)\,dW(s)$ egyenletet a 12a) feladatban szerepl\H{o}
$X(t)$ sztochasztikus folyamattal, akkor 
$$
d[Y(t)Z(t)]=0.
$$ 
Ez\'ert ennek
az egyenletnek az egyetlen az $Y(0)=1$ hat\'arfelt\'etelt 
teljes\'{\i}t\H{o} meg\-ol\-d\'a\-sa a Kevei jegyzet 6. p\'eld\'aj\'aban
t\'argyalt $Z(t)=e^{U(t)}$  sztochasztikus folyamat.

\medskip\noindent
A k\"ovetkez\H{o} feladat megegyezik a Kevei jegyzet 16. feladat\'aval.

\item{13a.)} Legyenek $W_1(t),\dots,W_r(t)$, $0\le t\le T$, f\"uggetlen
Wiener folyamatok, \'es defini\'aljuk seg\'{\i}ts\'eg\"ukkel az 
$R_r(t)=\sqrt{\sum\limits_{j=1}^r W_i^2(t)}$, $0\le t\le T$, \'ugynevezett
$r$-ed rend\H{u} Bessel folyamatot minden $r\ge2$ dimenzi\'oban. 
Bizony\'{\i}tsa be,hogy ez teljes\'{\i}ti az
$$
R_r(t)=\int_0^t\frac{r-1}{2R_r(s)}\,ds
+\sum_{j=1}^r\int_0^t \frac{W_j(s)}{R_r(s)}dW_j(s)
$$
azonoss\'agot.
\item{13b.)} A jegyzetben val\'osz\'{\i}n\H{u}leg olyan megold\'asra
gondoltak, amelyben az It\^o formul\'at alkalmazzuk az 
$f(x_1,\dots,x_r)=\left(\sum\limits_{j=1}^rx_j^2\right)^{1/2}$ f\"uggv\'ennyel.
Elfogadok a feladat a) r\'esz\'ere egy ilyen megold\'ast, mert az helyes 
eredm\'enyt ad. Ugyanakkor ez a megold\'as nem teljes \'ert\'ek\H{u},
mert az el\H{o}bb defini\'alt $f(x_1,\dots,x_r)$ f\"uggv\'eny nem el\'eg
sima. (Az orig\'oban nem deriv\'alhat\'o k\'etszer folytonosan.) Adja meg
egy egzakt bizony\'{\i}t\'as v\'azlat\'at. Ennek \'erdek\'eben \'{\i}rja
fel azt, hogy milyen sztochasztikus differenci\'alegyenletet
el\'eg\'{\i}t ki az
$R^\varepsilon_r(t)=\sqrt{\sum\limits_{j=1}^r W_i^2(t)+\varepsilon}$, 
$0\le t\le T$, sztochasztikus folyamat. Ezenk\'{\i}v\"ul adja meg,
hogy milyen limesz rel\'aci\'okat kell bebizony\'{\i}tani annak 
\'erdek\'eben, hogy a kapott azonoss\'ag seg\'{\i}ts\'eg\'evel 
bebizony\'{\i}tsuk a 13a.) feladat \'all\'{\i}t\'as\'at. 
(Megjegyzem, hogy az 
$$
\int_0^t K_n(s)\,ds+\sum_{j=1}^r\int_0^tH_{j,n}(s)\,dW_j(s), \quad n=1,2,\dots,
$$
It\^o integr\'alok $n\to\infty$ eset\'en konverg\'alnak az
$$
\int_0^t K(s)\,ds+\sum_{j=1}^r\int_0^tH_{j}(s)\,dW_j(s)
$$ 
It\^o integr\'alhoz, ha $\lim\int_0^T|K_n(s)-K(s)|\,ds\to0$
\'es $\lim\int_0^T|H_{j,n}(s)-H_j(s)|^2\,ds\to0$ egy 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel minden $1\le j\le r$ indexre.)
\item{13c.)} {\it Szorgalmi feladat.}\/ Bizony\'{\i}tsa be azokat 
a limesz rel\'aci\'okat, amelyek lehet\H{o}v\'e teszik a feladat 
megold\'as\'at a b) feladat megold\'as\'anak a seg\'{\i}ts\'eg\'evel. 
A bizony\'{\i}t\'asban fel szabad haszn\'alni azt a (nehezen 
bizony\'{\i}that\'o) eredm\'enyt, mely szerint az \hfill\break 
$\int_0^t \frac1{R_r(s)}\,ds$ integr\'al 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
v\'eges.

\item{14.)} Bizony\'{\i}tsa be a tanult marting\'al egyenl\H{o}tlens\'egek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy ha $W(t)$, $0\le t\le T$, egy Wiener folyamat,
akkor $P\left(\sup_{0\le t\le T} |W^2(t)-t|>x\right)\le \frac{8T^2}{x^2}$ minden
$x>0$ sz\'amra.
(Olyan megold\'ast is elfogadok, ahol a 8 helyett nagyobb konstans szerepel.)

\item{15.)} Legyen $W(t,\omega)$, $0\le t\le1$, (standard) Wiener folyamat
egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n,
$a(t)$, $0\le t\le1$, egy folytonosan deriv\'alhat\'o f\"uggv\'eny, \'es
defini\'aljuk az $X(t,\omega)=W(t,\omega)+\int_0^t a(s)\,ds$, $0\le t\le 1$, 
sztochasztikus folyamatot. (Legyen $\Cal A$ a legsz\H{u}kebb olyan 
$\sigma$-algebra, amelyre a $W(t,\omega)$, $0\le t\le1$, Wiener folyamat
m\'erhet\H{o}.) Legyen $P_1$ a $W(t,\omega)$, \'es $P_2$ az $X(t,\omega)$
(folytonos trajekt\'ori\'aj\'u) sztochasztikus folyamat eloszl\'asa
a $C([0,1])$ t\'erben. Bizony\'{\i}tsa be a Girsanov t\'etel
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy a $P_2$ m\'ert\'ek $\frac{dP_2}{dP_1}$
Radon--Nikodym deriv\'altja a $P_1$ m\'ert\'ek szerint
$$
\frac{dP_2}{dP_1}(x)=\exp\left\{\int_0^1a(t)\,dx(t)
-\frac12\int_0^1a^2(t)\,dt\right\}
$$
az $x=\{x(t)\colon\;0\le t\le 1\}\in C([0,1])$ pontban.

\item{}{\it Seg\'{\i}ts\'eg:}\/ Mutassuk meg, hogy a Girsanov 
t\'etelb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy
$$
\int F(X(\cdot,\omega))e^{-\int_0^1 a(t)dW(t,\omega) -\frac12\int_0^1a^2(t)\,dt)}\,dP(\omega)
=\int F(W(\cdot,\omega))\,dP(\omega) \tag a
$$
minden $F$ a $C([0,1])$ t\'eren \'ertelmezett $R^1$ \'ert\'ek\H{u} 
f\"uggv\'enyre.
Felhaszn\'aljuk, hogy egy $(\Omega_1,{\Cal A}_1,P_1)$ t\'eren defini\'alt
$X$ \'es egy $(\Omega_2,{\Cal A}_2,P_2)$ t\'eren defini\'alt $Y$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asa akkor \'es csak akkor 
egyezik meg, ha $EF(X)=EF(Y)$ minden $F$ f\"uggv\'enyre, tov\'abb\'a
$$
EF(X)=\int F(X(\omega_1))\,dP_1(\omega_1), \quad\text{\'es} \quad
EF(Y)=\int F(Y(\omega_2))\,dP_2(\omega_2). 
$$
Tov\'abb\'a mivel $a(t)$ folytonosan deriv\'alhat\'o f\"uggv\'eny,
az $\int_0^t a(s)\,dW(t,\omega)$ integr\'al defini\'alhat\'o minden 
$\omega$-ra, mint egy determinisztikus integr\'al. Mutassa meg, 
hogy  
$\int_0^1 a(t)\,dX(t,\omega)=\int_0^1 a(t)\,dW(t,\omega)+\int_0^1 a^2(t)\,dt$,
\'es ez\'ert az (a) azonoss\'agot az $F(x)$ f\"uggv\'eny helyett a 
$G(x)=F(x)\exp\left\{\int_0^1a(t)\,dx(t)-\frac12\int_0^1 a^2(t)\,dt\right\}$ 
f\"uggv\'enyre alkalmazva azt kapjuk, hogy
$$
\int F(X(\cdot,\omega))\,dP(\omega)=
\int F(W(\cdot,\omega))e^{\int_0^1 a(t)dW(t,\omega) 
-\frac12\int_0^1a^2(t)\,dt)}\,dP(\omega).
$$
Innen $X(\cdot,\omega)$ eloszl\'asa megegyezik $W(\cdot,\omega)$ 
eloszl\'as\'aval az $(\Omega,\Cal A,P^*)$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, ahol $\frac{dP^*}{dP}(\omega)=
\exp\left\{\int_0^1 a(t)dW(t,\omega) -\frac12\int_0^1a^2(t)\,dt)\right\}$.
A $T\colon\;(\Omega,\Cal A)\to C([0,1])$, $T(\omega)=W(\cdot,\omega)$
lek\'epez\'est alkalmazva  azt kapjuk, hogy $P_1$ a $P$ m\'ert\'ek, 
\'es $P_2$ a $P^*$ m\'ert\'ek \H{o}sk\'epe az ezen lek\'epez\'es 
\'altal induk\'alt m\'ert\'ektranszform\'aci\'o szerint.
Innen k\"ovetkezik a feladat \'all\'{\i}t\'asa.

\item{16a.)} Legyen $x(t)$ \'es $y(t)$ k\'et f\"uggv\'eny a $[0,1]$
intervallumon. Mutassa meg, hogy tet\-sz\H{o}\-le\-ges 
$0\le t_1\le t_2\le\cdots\le t_n\le 1$  pontokra

$$
\align
&\left\{\sum_{k=1}^{n}[x(t_k)-x(t_{k-1})]^2\right\}^{1/2}
-\left\{\sum_{k=1}^{n}[y(t_k)-y(t_{k-1})]^2\right\}^{1/2} \\
&\qquad \le
\left\{\sum_{k=1}^{n}[(x(t_k)+y(t_k))-(x(t_{k-1}+y(t_{k-1}))]^2\right\}^{1/2} \\
&\qquad\qquad 
\le\left\{\sum_{k=1}^{n}[x(t_k)-x(t_{k-1})]^2\right\}^{1/2}
+\left\{\sum_{k=1}^{n}[y(t_k)-y(t_{k-1})]^2\right\}^{1/2}.
\endalign
$$
Legyen $W(t,\omega)$, $0\le t\le1$, egy (standard) Wiener folyamat, 
$A(t)$, $0\le t\le1$, egy folytonosan differenci\'alhat\'o f\"uggv\'eny, 
\'es defini\'aljuk az $X(t,\omega)=2W(t,\omega)+A(t)$, $0\le t\le 1$, 
sztochasztikus folyamatot. Mutassa meg a fenti egyenl\H{o}tlens\'eg 
\'es a Kevei jegyzet 2. T\'etele (pontosabban ennek k\"ozvetlen\"ul 
ut\'ana \'{\i}rt k\"ovetkezm\'enye) seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy 
az $n=1,2,\dots,$ sz\'amokra definiűáalhatunk olyan
$0=t_{0,n}<t_{1,n}\cdots<t_{n-1,n}<t_{n,n}=1$ sorozatokat, amelyekre 
egyr\'eszt $\sup\limits_{1\le k<\le n}(t_{k,n}-t_{k-1,n})\to 0$, ha 
$n\to\infty$, m\'asr\'eszt
$$
\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n[X(t_{k,n},\omega)-X(t_{k-1,n},\omega)]^2=4 \quad 
\text{1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel.}
$$
\item{16b.)} Mutassa meg, hogy a 16a.) feladatban defini\'alt 
$X(t,\omega)=2W(t,\omega)+A(t)$ \'es a $W(t,\omega)$, $0\le t\le 1$,
sztochasztikus folyamatok eloszl\'asai szingul\'aris m\'ert\'ekek
a $C([0,1])$ t\'erben, azaz l\'eteznek olyan $B_1,B_2\in C([0,1])$
(m\'erhet\H{o}) halmazok, amelyekre $B_1\cap B_2=\emptyset$, \'es 
$P(X(\cdot,\omega)\in B_1)=1$, $P(W(\cdot,\omega)\in B_2)=1$.

\item{17a.)} Legyen $W(t,\omega)$, $0\le t\le1$, (standard) Wiener folyamat
egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n,
$a(t)$, $0\le t\le1$, egy folytonosan deriv\'alhat\'o f\"uggv\'eny, \'es
defini\'aljuk az $X(t,\omega)=W(t,\omega)+\int_0^t a(s)\,ds$, $0\le t\le 1$, 
sztochasztikus folyamatot. Legyen $P_1(n)$ a 
$(W(2^{-n}),W(2\cdot 2^{-n}),W(3\cdot 2^{-n}),\dots,W(2^n\cdot 2^{-n}))$
\'es $P_2(n)$ az 
$(X(2^{-n}),X(2\cdot 2^{-n}),X(3\cdot 2^{-n}),\dots,X(2^n\cdot 2^{-n}))$
v\'eletlen vektor eloszl\'asa az $R^{2^n}$ t\'erben. Bizony\'{\i}tsa be
a k\"ovetkez\H{o} azonoss\'agot a $\frac{dP_2(n)}{dP_1(n)}$ 
Radon-Nikodym deriv\'altr\'ol.
$$
\frac{dP_2(n)}{dP_1(n)}(x_1,\dots,x_{2^n})=\exp\left\{\sum_{k=1}^{2^n}
[b_n(k)(x_k-x_{k-1})-2^{-n-1}b^2_n(k)]\right\},
$$ 
ahol  $b_n(k)=2^n\int_{(k-1)2^{-n}}^{k2^{-n}} a(s)\,ds$,  \'es $x_0=0$.
\item{17b.)} Tekints\"uk a $C([0,1])$ teret a szok\'asos 
topol\'ogi\'aval \'es az \'altala gener\'alt $\Cal F$ 
$\sigma$-al\-geb\-r\'a\-val, valamint legyen a $P_1$ m\'ert\'ek 
a $W(\cdot,\omega)$ elosz\'asa, (azaz a Wiener m\'ert\'ek) \'es 
$P_2$ az $X(\cdot,\omega)$ eloszl\'asa ezen a t\'eren.
Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} ${\Cal F}_n$ $\sigma$-algebr\'at 
a $C([0,1])$ t\'eren minden $n=1,2,\dots,$ sz\'amra. 
Defini\'aljuk az $u_{n,k}(x)=x(k2^{-n)}$, $x\in C([0,1])$, 
f\"uggv\'enyt minden $n=1,2,\dots$, \'es $0\le k\le 2^n$ 
indexp\'arra a $C([0,1])$ t\'erben (azaz $u_{n,k}(x)$ az
$x=x(\cdot)\in C([0,1])$ f\"uggv\'eny \'ert\'eke a $k2^{-n}$ 
pontban). Legyen ${\Cal F}_n$ az a legsz\"ukebb $\sigma$-algebra, 
amelyre az \"osszes $u_{n,k}(x)$, $0\le k\le 2^n$, f\"uggv\'eny 
m\'erhet\H{o} r\"ogz\'{\i}tett $n$ index-szel. Jel\"olje 
$P'_1(n)$ a $P_1$, \'es $P_2'(n)$ a $P_2$ m\'ert\'ek 
megszor\'{\i}t\'as\'at a ${\Cal F}_n$ $\sigma$-algebr\'ara. 
Ekkor a 17a.) feladat \'all\'{\i}t\'asa \'{\i}gy fogalmazhat\'o 
meg ebben a t\'erben:
$$
\frac {dP'_2(n)}{dP'_1(n)}(x)=\exp\left\{\sum_{k=1}^{2^n} 
[B_n(k2^{-n})(x(k2^{-n})-x((k-1)2^{-n}))-2^{-n-1}B^2_n(k2^{-n})]\right\}
$$ 
minden $x\in C([0,1])$-re, ahol
$B_n(t)=2^n\int_{t-2^{-n}}^t a(s)\,ds$, $2^{-n}\le t\le1$.

\item{} A marting\'alelm\'elet eredm\'enyeib\H{o}l k\"ovetkezik,
hogy $\frac {dP'_2(n)}{dP'_1(n)}$ egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
konverg\'al a $\frac {dP_2}{dP_1}$ Radon--Nikodym deriv\'althoz
a $P_1$ (Wiener) m\'ert\'ek szerint a $C([0,1])$ t\'erben. 
(L\'asd a k\"ovetkez\H{o} Megjegyz\'est.) Ezt felhaszn\'alva 
bizony\'{\i}tsa be az el\H{o}z\H{o} k\'eplet
seg\'{\i}ts\'eg\'evel a 15. feladat \'all\'{\i}t\'as\'at, azaz a
$$
\frac{dP_2}{dP_1}(x)=\exp\left\{\int_0^1a(t)\,dx(t)
-\frac12\int_0^1a^2(t)\,dt\right\}
$$
azonoss\'agot.
\item{} {\it Megjegyz\'es:}\/ Nem neh\'ez bel\'atni, hogy a
$\frac {dP'_2(n)}{dP'_1(n)}$, $n=1,2,\dots$, sorozat marting\'alt
alkot a $(C([0,1]),\Cal F,P_1)$ t\'eren, amelyre alkalmazhat\'o
Doob marting\'al konvergenciat\'etele. (L\'asd Kevei jegyzet 8. oldal.)
Teh\'at a $\frac {dP'_2(n)}{dP'_1(n)}(x)$, $n=1,2,\dots$, sorozat 1
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel konverg\'al. Ez azonban nem el\'eg a
sz\'amunkra. Azt is be kell l\'atni, hogy ez a sorozat a ``helyes limeszhez'',
a $\frac{dP_2}{dP_1}(x)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz  
konverg\'al. Meg lehet mutatni, hogy ez a sorozat nem csak 
1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel, hanem $L_1$ norm\'aban is konverg\'al. 
Be lehet l\'atni, hogy innen k\"ovetkezik, hogy limeszk\'ent a
$\frac{dP_2}{dP_1}(x)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot kapjuk.

\item{18.)} Tekints\"unk egy arbitr\'azs mentes diszkr\'et idej\H{u}
(d.i.-$(B,S)_N$) piacot. Legyen adva azon k\'et $\pi_1$ \'es $\pi_2$
\"onfinansz\'{\i}roz\'o strat\'egia a nulla id\H{o}pontban 
$X^{\pi_1}_0=x_1$ \'es $X^{\pi_2}_0=x_2$ indul\'ot\H{o}k\'evel. 
Mutassa meg, hogy ha $X^{\pi_1}_N\ge X^{\pi_2}_N$ 
1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel, akkor
$x_1\ge x_2$. 
\item{}{\it Seg\'{\i}ts\'eg:}\/ \'Erdemes felhaszn\'alni, hogy van ekvivalens
marting\'al m\'ert\'ek (9.2.1. T\'e\-tel), \'es az $\frac{X^\pi_n}{B_n}$
sorozat marting\'al tulajdons\'ag\'at (9.1.7. Lemma).












\bye




