Vizsgafeladatok és kérdések

1.) Mi a többváltozós normális eloszlás definiciója? Hogy szól a többváltozós centrális határeloszlástétel független, egyforma eloszlású véletlen vektorok összegére? Milyen eredményeket kell ismernünk annak megmutatásához, hogy ezen tétel állítása értelmes?

2.) Hogyan definiáljuk a martingál és szubmartingál fogalmát? Legyen adva növekő σalgebrák egy F_{n}, n = 1, 2, …, sorozata. Mikor mondjuk, hogy egy τ valószínűségi változó megállási szabály erre a rendszerre nézve?

3.) Mit jelent az, hogy σ-algebrák egy sorozata filtráció? Mikor mondjuk, hogy egy sztochasztikus folyamat adaptált egy filtrációhoz? Vázolja az Itô integrál definiciójának a gondolatmenetét. Milyen feltételek mellett létezik az

X_{t} = X_{0} + ∫_{0}^{t} K_{s} ds + ∫_{0}^{t} H_{s} dW_{s}, 0 ≤ t ≤ T,

Itô folyamat, azaz milyen feltételeket kell teljesítenie X_{0}-nak K_{s}-nek és H_{s}-nek ahhoz, hogy a fent definiált kifejezés értelmes legyen? (W_{t} egy Wiener folyamatot jelöl a szokásos normalizációval, azaz EW_{s} = 0, EW_{s}W_{t} = min(s, t).)

4.) Milyen eredményeket ismer martingálok és szubmartingálok maximumának a becsléséről?

5.) Mi a diszkrét idejű bináris piac definiciója? Milyen eredményeket ismer velük kapcsolatban?

6.) Mi a kötvény, részvény, stratégia, önfinanszírozó stratégia fogalma a pénzügyi matematikában? (Mind a diszkrét mind a folytonos idejű modellek érdekesek.)

7.) Mikor mondjuk, hogy egy piac arbitrázsmentes? Mi az ekvivalens martingál mérték definiciója? Milyen kapcsolat van az arbitrázsmentes piac és az ekvivalens martingál mérték létezése között?

8.) Mutassa meg az Itô formula segítségével, hogy ha W (t) standard Wiener folyamat, akkor

∫_{0}^{t} W (s) dW (s) = \frac{1}{2}(W^{2}(t) − t),

∫_{0}^{t} W^{2}(s) dW (s) = \frac{1}{3}W^{3}(t) − ∫_{0}^{t} W (s) ds,

és

∫_{0}^{t} W^{3}(s) dW (s) = \frac{1}{4}W^{4}(t) − \frac{3}{2} ∫_{0}^{t} W^{2}(s) ds.

9.) Legyen ξ és η két független standard normális eloszlású valószínűségi változó. Számolja ki az E (\frac{ξ^{4}+1}{η^{2}+1} | η) feltételes várható értéket.