\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\parskip=4pt plus 1.5pt
\nopagenumbers

\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}

\nopagenumbers

\centerline{\bf Vizsgafeladatok \'es k\'erd\'esek}

\medskip



\item{1.)}  Mi a t\"obbv\'altoz\'os norm\'alis eloszl\'as
definici\'oja? Hogy sz\'ol a t\"obbv\'altoz\'os centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u
v\'eletlen vektorok \"osszeg\'ere? Milyen eredm\'enyeket
kell ismern\"unk annak megmutat\'as\'ahoz, hogy ezen t\'etel
\'all\'{\i}t\'asa \'ertelmes?

\item{2.)} Hogyan defini\'aljuk a marting\'al \'es szubmarting\'al
fogalm\'at? Legyen adva n\"ovek\H{o} $\sigma$-algebr\'ak egy
${\Cal F}_n$, $n=1,2,\dots$, sorozata. Mikor mondjuk, hogy 
egy $\tau$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o meg\'all\'asi
szab\'aly erre a rendszerre n\'ezve?

\item{3.)} Mit jelent az, hogy $\sigma$-algebr\'ak egy sorozata
 filtr\'aci\'o? Mikor mondjuk, hogy egy szto\-chasz\-ti\-kus folyamat
adapt\'alt egy filtr\'aci\'ohoz? V\'azolja az It\^o integr\'al 
de\-fi\-ni\-ci\'o\-j\'a\-nak a gon\-do\-lat\-me\-ne\-t\'et. Milyen 
felt\'etelek mellett l\'etezik az  
$$
X_t=X_0+\int_0^t K_s\,ds+\int_0^t H_s\,dW_s, \quad 0\le t\le T,
$$ 
It\^o folyamat, azaz milyen felt\'eteleket kell teljes\'{\i}tenie 
$X_0$-nak $K_s$-nek \'es $H_s$-nek ahhoz, hogy a fent defini\'alt 
kifejez\'es \'ertelmes legyen? ($W_t$ egy Wiener folyamatot 
jel\"ol a szok\'asos normaliz\'aci\'oval, azaz $EW_s=0$, 
$EW_sW_t=\min(s,t)$.)

\item{4.)} Milyen eredm\'enyeket ismer marting\'alok \'es
szubmarting\'alok maximum\'anak a becs\-l\'e\-s\'e\-r\H{o}l?

\item{5.)} Mi a diszkr\'et idej\H{u} bin\'aris piac definici\'oja?
Milyen eredm\'enyeket ismer vel\"uk kap\-cso\-lat\-ban?

\item{6.)} Mi a k\"otv\'eny, r\'eszv\'eny, strat\'egia, 
\"onfinansz\'{\i}roz\'o strat\'egia fogalma a p\'enz\"ugyi 
ma\-te\-ma\-ti\-k\'a\-ban? (Mind a diszkr\'et mind
a folytonos idej\H{u} modellek \'erdekesek.)

\item{7.)} Mikor mondjuk, hogy egy piac arbitr\'azsmentes? Mi 
az ekvivalens marting\'al m\'ert\'ek de\-fi\-ni\-ci\'o\-ja? Milyen 
kapcsolat van az arbitr\'azsmentes piac \'es az ekvivalens 
marting\'al m\'ert\'ek l\'etez\'ese k\"oz\"ott?



\item{8.)} Mutassa meg az It\^o formula seg\'{\i}ts\'eg\'evel,
hogy ha $W(t)$ standard Wiener folyamat, akkor
$$
\int_0^tW(s)\,dW(s)=\frac12(W^2(t)-t),
$$ 
$$
\int_0^t W^2(s)\,dW(s)=\frac13 W^3(t)-\int_0^t W(s)\,ds,
$$
\'es
$$
\int_0^t W^3(s)\,dW(s)=\frac14 W^4(t)-\frac32\int_0^t W^2(s)\,ds.
$$

\item{9.)} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen standard
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.
Sz\'amolja ki az $\left.E\(\frac{\xi^4+1}{\eta^2+1}\right|\eta\)$
felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'eket.



\bye

\item{4.)} Sz\'amolja ki az $\int_0^t W_s\,dW_s$ It\^o integr\'alt.



\item{5.)} Legyen $f(t)$ \'es $g(t)$ k\'et olyan 
(determinisztikus) f\"uggv\'eny a $[0,T]$ intervallumon, amelyekre 
$\int_0^T f^2(t)\,dt<\infty$, \'es $\int_0^T g^2(t)\,dt<\infty$. 
Bizony\'{\i}tsa be az It\^o formula 
se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel, hogy 
$$
E\left[\int_0^Tf(t)\,dW(t)\int_0^T g(t)\,dW(t)\right]=\int_0^T f(t)g(t)\,dt.
$$
Ebben az azonoss\'agban $W(t)$ egy Wiener folyamat, azaz k\'et
It\^o integr\'al szor\-za\-t\'a\-nak a v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et 
sz\'amoljuk ki.



