\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm

%\parskip=1pt plus 1pt
\parskip=3pt plus 1pt
\TagsOnRight
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}

\centerline{\bf A Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as I.
el\H{o}ad\'assorozat negyedik t\'em\'aja.}

\medskip\noindent
{\bf Diszkr\'et eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok, azok f\"uggetlens\'ege \'es v\'arhat\'o \'er\-t\'e\-ke.
Felcser\'elhet\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok.}

\medskip\noindent
El\H{o}sz\"or bevezetem a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
fogalm\'at.

\medskip\noindent
{\bf Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o fogalma.} {\it
Legyen adva egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}. Egy ezen a t\'eren \'ertelmezett val\'os \'ert\'ek\H{u}
(m\'erhet\H{o}) $\xi(\oo)$ f\"uggv\'enyt val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'onak fogunk nevezni. Azaz $\xi=\xi(\oo)$ egy
$\Omega\to R^{1}$ lek\'epez\'es. Az a megk\"ot\'es, hogy a 
$\xi(\oo)$ f\"uggv\'eny legyen
m\'erhet\H{o} azt jelenti, hogy minden $x$ val\'os sz\'amra az
$\{\oo\colon\; \xi(\oo)<x\}\in \Cal A$ felt\'etel teljes\"ul.}

\medskip\noindent
Bizonyos feladatokban nemcsak val\'os \'ert\'ek\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okkal dolgozunk. Ez\'ert
c\'elszer\H{u} olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat is 
defini\'alni, amelyek \'ert\'ekeiket egy \'al\-ta\-l\'a\-nos t\'erben 
veszik fel. (P\'eld\'aul bizonyos esetekben \'erdemes olyan
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'o\-kat tekinteni, amelyek
\'ert\'eke komplex sz\'am, vagy nem egyetlen sz\'am, hanem egy
sz\'am-$n$-es. Az ut\'obbi val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat
vektor \'ert\'ek\H{u}eknek szokt\'ak h\'{\i}vni.) Annak \'erdek\'eben,
hogy ezt megtehess\"uk tekints\"unk valamilyen $X$ halmazt, \'es e
halmaz kit\"untetett r\'esz\-hal\-ma\-zai\-nak egy $\Cal X$
osz\-t\'a\-ly\'at, amely halmazok $\sigma$-algebr\'at alkotnak. Egy 
ilyen $(X,\Cal X)$ rendszert m\'erhet\H{o} t\'ernek \'es az $\Cal X$ 
$\sigma$-algebra elemeit m\'erhet\H{o} halmazoknak szok\'as
nevezni az irodalomban.

\medskip\noindent 
{\bf \'Ert\'ekeit egy \'altal\'anos t\'erben felvev\H{o} 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o fogalma.} {\it Legyen adva egy 
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o} \'es egy
$(X,\Cal X)$ m\'erhet\H{o} t\'er (azaz egy $X$ halmaz \'es annak
bizonyos r\'eszhalmazaib\'ol \'all\'o $\sigma$-algebra.)
Egy az $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n
defini\'alt \'es $\xi=\xi(\oo)$ \'ert\'ekeit az $X$ t\'erben 
felvev\H{o} (m\'erhet\H{o}) f\"uggv\'enyt $X$-t\'er \'ert\'ek\H{u}
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'al\-to\-z\'o\-nak 
ne\-ve\-z\"unk. Az, hogy ez a $\xi(\oo)$ f\"uggv\'eny m\'erhet\H{o} 
azt jelenti, hogy minden $Y\in\Cal X$ halmazra teljes\"ul az
$\{\oo\colon\; \xi(\oo)\in Y\}\in\Cal A$ felt\'etel.}

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.}\/ L\'attuk, hogy a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok (sz\'ep, azaz m\'erhet\H{o}) f\"uggv\'enyeket jelentenek.
Az egyetlen k\"ul\"onbs\'eg a kor\'abban haszn\'alt f\"uggv\'enyek 
\'es a most bevezetett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok 
k\"oz\"ott abban \'all, hogy most egy  \'altal\'anosabb t\'eren, egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o} $\Omega$
halmaz\'an defini\'alt \'es \'ert\'ekeit nem felt\'etlen\"ul a 
sz\'amegyenesen fel\-ve\-v\H{o} f\"ugg\-v\'e\-nye\-ket tekint\"unk. 
Ez egyben azt is
jelenti, hogy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okkal ugyan\'ugy
sz\'a\-mol\-ha\-tunk, mint ahogy azt eddig f\"uggv\'enyekkel tett\"uk.

\medskip
Felmer\"ulhet a k\'erd\'es, hogy mi\'ert vezett\"uk be azt az els\H{o}
l\'at\'asra tal\'an mesterk\'eltnek t\H{u}n\H{o} felt\'etelt, hogy a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o legyen {\it m\'erhet\H{o}}\/
f\"uggv\'eny. Ennek az az oka, hogy term\'eszetes az a k\'{\i}v\'ans\'ag,
hogy besz\'elhess\"unk az $\{\oo\colon\; \xi(\oo)<x\}$ esem\'eny
bek\"ovetkez\'es\'enek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'er\H{o}l minden
$x$ sz\'amra. Viszont csak $\Cal A$-beli halmazoknak defini\'altuk a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et. Term\'eszetes
enn\'el is t\"obbet kiv\'anni, nevezetesen azt, hogy a sz\'amegyenes
minden ,,sz\'ep'' $B$ halmaz\'ara az $\{\oo\colon\; \xi(\oo)\in B\}$
halmaz legyen a $\Cal A$ $\sigma$-algebr\'aban, azaz legyen
\'ertelme ennek az esem\'enynek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'er\H{o}l 
is besz\'elni. L\'atni fogjuk bizonyos itt nem bizony\'{\i}tott 
m\'ert\'ekelm\'eleti eredm\'enyek seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy ez a 
k\'{\i}v\'ans\'ag teljes\"ul.

Az a probl\'ema is felmer\"ul, hogy meg kell \'erten\"unk 
az el\H{o}sz\"or bevezetett va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi 
v\'altoz\'o \'es az ut\'ana defini\'alt \'ert\'ekeit egy 
\'altal\'anos t\'erben felvev\H{o} 
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o definici\'oja 
k\"oz\"otti kapcsolatot is. E kapcsolat meg\'ert\'es\'enek az 
\'erdek\'eben a k\"ovetkez\H{o} a m\'er\-t\'ek\-el\-m\'e\-let\-ben 
bebizony\'{\i}tott ered\-m\'eny\-re 
h\'{\i}vatkozom. Ha $\xi(\oo)$ m\'erhet\H{o} val\'os \'ert\'ek\H{u}
f\"uggv\'eny egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
mez\H{o}n e fogalom eredeti definici\'oja \'ertelm\'eben, azaz 
$\{\oo\colon\;\xi(\oo)<x\}\in\Cal A$ minden $x$ val\'os sz\'amra, 
akkor az m\'erhet\H{o} a k\"ovetkez\H{o} \'altal\'anosabb 
\'ertelemben is. Jel\"olje $\Cal B$ a sz\'am\-egye\-nes 
Borel-m\'erhet\H{o}  r\'eszhalmazainak $\sigma$-algebr\'aj\'at, 
azaz azt a legsz\H{u}kebb $\sigma$-algebr\'at a sz\'am\-egye\-nes 
r\'eszhalmazain, amely az \"osszes $\{u\colon\;u<x\}$
alak\'u halmazt tartalmazza. A $\xi(\oo)$ f\"uggv\'eny eredeti
\'ertelemben vett m\'erhet\H{o}s\'eg\'eb\H{o}l k\"ovetkezik az
$\{\oo\colon\;\xi(\oo)\in B\}\in\Cal A$ tulajdons\'ag minden
$B\in\Cal B$ (azaz Borel m\'erhet\H{o}) halmazra. Ez azt jelenti,
hogy egy a  val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eredeti 
definici\'oj\'at teljes\'{\i}t\H{o} $\xi(\oo)$ val\'os 
\'ert\'ek\H{u} f\"uggv\'eny tekinthet\H{o} speci\'alisan, mint egy
\'ert\'ekeit egy \'altal\'anos t\'erben felvev\H{o} 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, ha az $(X,\Cal X)$ 
m\'erhet\H{o} teret, mint az $(R,\Cal B)$ teret tekintj\"uk, ahol
$R$ a sz\'amegyenes, \'es $\Cal B$ a sz\'amegyenes Borel halmazainak
$\sigma$-algebr\'aja.

A fenti \'ervel\'es azt mutatja, hogy a m\'erhet\H{o}s\'eg
megk\"ovetel\'ese term\'eszetes. M\'asr\'eszt tov\'abbi eredm\'enyek
azt is mutatj\'ak, hogy minden ,,defini\'alhat\'o" f\"uggv\'eny egyben
m\'erhet\H{o} is, ez\'ert ennek a tulajdons\'agnak a megk\"ovetel\'ese
nem jelent igazi megszor\'{\i}t\'ast, a tov\'abbiakban
megfeledkezhet\"unk r\'ola. Az \'altal\'anos terekben \'ertelmezett
m\'er\-he\-t\H{o}\-s\'eg\-r\H{o}l hasonl\'ot mondhatunk. 

\medskip\noindent
{\bf Diszkr\'et eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\'es azok eloszl\'as\'anak a definici\'oja.} {\it Egy $\xi$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot egy $(\Omega,\Cal A,P)$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n diszkr\'etnek vagy diszkr\'et 
eloszl\'as\'unak h\'{\i}vunk, ha megadhat\'o egy v\'eges vagy 
megsz\'aml\'alhat\'oan v\'egtelen sz\'a\-mos\-s\'a\-g\'u 
$x_1,x_2,\cdots$, halmaz \'ugy, hogy az
$\{\oo\colon\; \xi(\oo)=x_n\}$, $n=1,2,\dots$, halmazok teljes
ese\-m\'eny\-rend\-szert alkotnak. (Ebben az esetben a 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok definici\'oj\'aban szerepl\H{o} 
$(X,\Cal X)$ m\'erhet\H{o} teret \'ugy defini\'aljuk, mint az $X$ 
halmazt \'es az annak \"osszes r\'eszhalmazaib\'ol \'all\'o
$\Cal X$ $\sigma$-algebr\'at.) Egy diszkr\'et eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o el\-osz\-l\'a\-s\'at 
meghat\'arozz\'ak azok az $x_1,x_2,\dots$, \'ert\'ekek amelyeket az 
felvesz \'es az \"osszes $p_n=P(\xi=x_n)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg. 
(Jegyezz\"uk meg, hogy $\summ_n P(\xi=x_n)=1$.)

Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_k$ disz\-kr\'et eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok ugyanazon az $(\Omega,\Cal A,P)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o}n, amelyek valamilyen
$x_1,x_2,\dots$ \'er\-t\'e\-ke\-ket vesznek fel. Ezek egy\"uttes
eloszl\'as\'at meghat\'arozz\'ak a $P(\xi_1=x_{j_1},
\xi_2=x_{j_2},\dots,\xi_k=x_{j_k})$, $j_s=1,2,\dots$, $1\le s\le k$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek.}

\medskip\noindent
{\bf Diszkr\'et eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'ok f\"uggetlens\'eg\'enek definici\'oja.} 
{\it Le\-gye\-nek $\xi_1,\dots,\xi_k$ disz\-kr\'et eloszl\'as\'u 
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok ugyanazon 
az $(\Omega,\Cal A,P)$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi 
mez\H{o}n. Vegyenek fel ezek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
valamely $x_1,x_2,\dots$ \'ert\'ekeket. Azt mondjuk, hogy a
$\xi_1$, $\xi_2$,\dots, $\xi_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok f\"uggetlenek, ha
$$
P\(\xi_1=x_{j_1},\xi_2=x_{j_2},\dots,\xi_k=x_{j_k}\)=
P\(\xi_1=x_{j_1}\)P\(\xi_2=x_{j_2}\)\cdots P\(\xi_k=x_{j_k}\)
$$
minden $j_s=1,2,\dots$, $1\le s\le k$, indexre.}

\medskip \noindent
{\it 1. megjegyz\'es.}\/ A fenti definici\'oban feltett\"uk, hogy a
diszkr\'et eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
amelyeknek az egy\"uttes eloszl\'as\'at vagy f\"uggetlens\'eg\'et
defini\'altuk ugyanazokat az \'er\-t\'e\-ke\-ket veszik fel. Ez
azonban nem jelent megszor\'{\i}t\'ast. Ugyanis, ha  egyes\'{\i}tj\"uk
ezen va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok
\'ert\'ekk\'eszlet\'et, akkor \'ujra legfeljebb megsz\'aml\'alhat\'o
sz\'amoss\'ag\'u halmazt kapunk, \'es mondhatjuk, hogy az egyes
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok ezen halmazban veszik fel
az \'ert\'ekeiket. Lehets\'eges, hogy ily m\'odon sok nulla
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi esem\'enyt is bevezett\"unk, de ez nem okoz
probl\'em\'at.

\medskip \noindent
{\it 2. megjegyz\'es.}\/ Annak, hogy bevezett\"uk 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'as\'anak a 
de\-fi\-ni\-ci\'o\-j\'at m\'elyebb oka van. A
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asban olyan probl\'em\'akkal
foglalkozunk, amelyek csak att\'ol f\"uggnek, hogy k\"ul\"onb\"oz\H{o}
esem\'enyeknek mennyi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\"uk, azaz, hogy
k\"ul\"onb\"oz\H{o} va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'egi v\'altoz\'ok
milyen \'ert\'eket milyen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel vesznek fel.
Arra vagyunk ki\-v\'an\-csiak, hogy ezen ismereteknek milyen
k\"ovetkezm\'enyei vannak. Viszont a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'as\-ban vizsg\'alt
k\'erd\'esekre adott v\'alasz nem f\"ugg att\'ol, hogy milyen
v\'eletlen hat\'asok v\'altott\'ak ki a megfigyelt v\'eletlen
eredm\'enyeket, azaz milyen az a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o},
amelyben a vizsg\'alt esem\'enyek \'es val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok megjelentek. Ez az oka annak, hogy minket igaz\'ab\'ol
nem maguk a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, hanem azok
(egy\"uttes) eloszl\'asa \'erdekel.

Megfogalmazok egy viszonylag egyszer\H{u}, de hasznos \'all\'{\i}t\'ast.

\medskip\noindent
{\bf Lemma f\"uggetlen diszkr\'et eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok tulajdons\'agair\'ol.}
{\it Legyenek adva $\xi_1,\dots,\xi_k$ f\"uggetlen, diszkr\'et
eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o}n,
melyek valamilyen $x_1,x_2,\dots$ \'ert\'ekeket vesznek fel. Legyenek
$A_1\subset \{x_1,x_2,\dots\},A_2\subset \{x_1,x_2,\dots\},\dots,
A_k\subset \{x_1,x_2,\dots\}$ tetsz\H{o}leges halmazok. Ekkor
$$
P\(\xi_1\in A_1,\xi_2\in A_2,\dots,\xi_k\in A_k\)=
P\(\xi_1\in A_1\)P\(\xi_2\in A_2\)\cdots P\(\xi_k\in A_k\).
$$
Speci\'alisan, ekkor tetsz\H{o}leges $\{j_1,\dots,
j_s\}\subset\{1,\dots,k\}$ indexhalmazra a $\xi_{j_1},\dots,\xi_{j_s}$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek.}

\medskip\noindent
 {\it A lemma bizony\'{\i}t\'asa.}\/ A f\"uggetlens\'eg miatt
$$
\align
&P\(\xi_1\in A_1,\xi_2\in A_2,\dots,\xi_k\in A_k\)\\
&\qquad=\summ_{x_1\in A_1}\summ_{x_2\in A_2}\cdots\summ_{x_k\in A_k}
P\(\xi_1=x_1,\xi_2= x_2,\dots,\xi_k=x_k\)\\
&\qquad=\summ_{x_1\in A_1}\summ_{x_2\in A_2}\cdots\summ_{x_k\in A_k}
P\(\xi_1=x_1)P(\xi_2=x_2)\cdots P(\xi_k=x_k\).
\endalign
$$
M\'asr\'eszt
$$
\align
&P\(\xi_1\in A_1\)P\(\xi_2\in A_2\)\cdots P\(\xi_k\in A_k\)\\
&\qquad=\summ_{x_1\in A_1} P\(\xi_1=x_1\) \summ_{x_2\in A_2}
P\(\xi_2=x_2\) \cdots\summ_{x_k\in A_k} P\(\xi_k=x_k\).
\endalign
$$
Elv\'egezve a beszorz\'asokat megkapjuk a lemma els\H{o}
\'all\'{\i}t\'as\'at.

A lemma m\'asodik \'all\'{\i}t\'as\'at megkapjuk az els\H{o}
\'all\'{\i}t\'as speci\'alis esetek\'ent $A_{j_u}=\{x_{j_u}\}$, 
$1\le u\le s$ \'es $A_j=\{x_1,x_2,\dots\}$, 
$j\in\{1,\dots,k\}\setminus\{j_1,\dots,j_s\}$ v\'alaszt\'assal.

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.}\/ F\"uggetlen, diszkr\'et eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eredeti definici\'oja
er\H{o}\-sen kihaszn\'alta azt, hogy diszkr\'et eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okr\'ol besz\'el\"unk.
P\'eld\'aul, ha olyan $\xi_1,\dots,\xi_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okr\'ol besz\'el\"unk,
amelyek egy pontnak az egy\-s\'eg\-inter\-val\-lum\-ra t\"ort\'en\H{o}
egyenletes eloszl\'as\'u v\'eletlen ledob\'as\'at \'{\i}rj\'ak le,
akkor a te\-kin\-tett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
teljes\'{\i}tik a $P(\xi_j=x)=0$ rel\'aci\'ot. Ilyen esetben a
diszkr\'et eloszl\'asok f\"uggetlens\'eg\'et megad\'o definici\'o
mind\"ossze a $0=0$ se\-mmit\-mon\-d\'o fel\-t\'e\-telt \'{\i}rja
el\H{o}. Ez\'ert az \'altal\'anos esetben m\'as, tartalmasabb
k\"ovetelm\'enyt kell tal\'alnunk val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok f\"uggetlens\'eg\'enek a jellemz\'es\'ere. Az
el\H{o}z\H{o} lemma \'all\'{\i}t\'asa su\-gall egy ilyen
definici\'ot. B\'ar bizonyos k\'enyelmi okok miatt kiss\'e m\'as
definici\'ot fogunk megadni, ki fog der\"ulni, hogy az ekvivalens
az e lemma eredm\'enye \'altal sugallt definici\'oval.

\medskip
\'Erdemes meg\'erteni esem\'enyek \'es diszkr\'et eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"ug\-get\-len\-s\'e\-ge
k\"oz\"otti kapcsolatot. Ennek \'erdek\'eben bevezetem egy halmaz
in\-di\-k\'a\-tor\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'e\-nek a fogalm\'at. Lehet,
hogy ezt az egyszer\H{u} \'es term\'eszetes fogalmat
anal\'{\i}zis ta\-nul\-m\'a\-nya\-ik\-ban is bevezett\'ek, de
ott val\'osz\'{\i}n\H{u}leg a karakterisztikus f\"uggv\'eny
elnevez\'est haszn\'alt\'ak. Ez az elnevez\'es term\'eszetes. Mi
m\'egsem ezt haszn\'aljuk, mert a
val\-\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'as\-ban ez
a kifejez\'es m\'ar foglalt; egy eg\'eszen m\'as fogalmat illetnek
ezzel a n\'evvel.

\medskip \noindent
{\bf Halmaz indik\'atorf\"uggv\'eny\'enek a definici\'oja.} {\it
Legyen adva egy $A\in \Cal A$ esem\'eny egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Az $A$ halmaz
indik\'atorf\"uggv\'eny\'en azt a $\chi_A(\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot \'ertj\"uk, amelyre
$\chi_A(\oo)=1$, ha $\oo\in A$, \'es $\chi_A(\oo)=0$, ha
$\oo\notin A$.}

\medskip\noindent
A k\"ovetkez\H{o} egyszer\H{u} lemma \'erv\'enyes.

\medskip\noindent
{\bf Lemma esem\'enyek \'es azok indik\'atorf\"uggv\'eny\'enek
kapcsolat\'ar\'ol.} {\it Legyenek  $A_1$,\dots, $A_k$ esem\'enyek
egy $(\Omega,\Cal A,P)$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
mez\H{o}n. Az $A_1,\dots,A_k$ esem\'enyek akkor \'es csak akkor
f\"uggetlenek, ha azok $\chi_{A_1}(\oo),\dots,\chi_{A_k}(\oo)$
in\-di\-k\'a\-tor\-f\"ugg\-v\'e\-nyei f\"uggetlenek.}

\medskip\noindent
{\it A lemma bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Ha a
$\chi_{A_1}(\oo),\dots,\chi_{A_k}(\oo)$
in\-di\-k\'a\-tor\-f\"ugg\-v\'e\-nyek f\"uggetlenek, akkor ezek
tetsz\H{o}leges r\'eszhalmaza is f\"uggetlen 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok rendszere az el\H{o}z\H{o} 
lem\-ma eredm\'enye szerint. Ez\'ert minden 
$\{j_1,\dots,j_s\}\subset\{1,\dots,k\}$ indexhalmazra
$$
\align
P\(A_{j_1}\cap\cdots\cap
A_{j_s}\)&=P\(\chi_{A_{j_1}}=1,\dots,\chi_{A_{j_s}}=1\)\\
&=P\(\chi_{A_{j_1}}=1\)\cdots P\(\chi_{A_{j_s}}=1\)
=P\(A_{j_1}\)\cdots P\(A_{j_s}\).
\endalign
$$

Ha az $A_1,\dots, A_k$ esem\'enyek f\"uggetlenek, akkor egyes $A_j$
esem\'enyeket azok komplementer\'evel helyettes\'{\i}tve ism\'et
f\"uggetlen esem\'enyeket kapunk. Fel\'{\i}rva minden ilyen
rel\'aci\'ot, megkapjuk az \"osszes olyan azonoss\'agot, amelyet
a (csak nulla vagy 1 \'ert\'eket f\"olvev\H{o}) 
$\chi_{A_1}(\oo),\dots,\chi_{A_k}(\oo)$
in\-di\-k\'a\-tor\-f\"ugg\-v\'e\-nyeknek teljes\'{\i}teni\"uk kell,
ha azok f\"ug\-get\-le\-nek.
\medskip

Ugyancsak hasznos bizonyos esetekben a k\"ovetkez\H{o} lemma 
\'all\'{\i}t\'asa.

\medskip\noindent
{\bf Lemma diszkr\'et eloszl\'as\'u f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"ugg\-v\'e\-nyei\-nek 
egy tulajdons\'ag\'ar\'ol.} {\it Legyenek 
$\xi_1,\dots,\xi_k,\xi_{k+1},\dots,\xi_{k+l}$ diszkr\'et 
\'ert\'ek\H{u}, f\"uggetlen va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi 
v\'al\-to\-z\'ok, $f(x_1,\dots,x_k)$ egy $k$ v\'altoz\'os 
f\"uggv\'eny, \'es defini\'aljuk az $\eta=f(\xi_1,\dots,\xi_k)$ 
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi  v\'altoz\'ot. Ekkor 
$\eta,\xi_{k+1},\dots,\xi_{k+l}$ f\"uggetlen 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok.}

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/ R\"ogz\'{\i}ts\"unk egy $y$ sz\'amot, \'es
vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $B=B(y)$ halmazt. 
$B=\{(x_1,\dots,x_k)\colon\; x_j\in X,\;1\le j\le k,
\;f(x_1,\dots,x_k)=y\}$. Ekkor
$$ 
\align
&P(\eta=y,\xi_{k+1}=x_{k+1},\dots,\xi_{k+l}=x_{k+l}) \\
&\qquad=\sum_{(x_1,\dots,x_k)\in B}
P(\xi_1=x_1,\dots,\xi_k=x_k,\xi_{k+1}=x_{k+1},\dots,\xi_{k+l}=x_{k+l})\\
&\qquad =\sum_{(x_1,\dots,x_k)\in B}
P(\xi_1=x_1)\cdots P(\xi_k=x_k)P(\xi_{k+1}=x_{k+1})\cdots 
P(\xi_{k+l}=x_{k+l})\\
&\qquad =P(\xi_{k+1}=x_{k+1})\cdots P(\xi_{k+l}=x_{k+l})
\sum_{(x_1,\dots,x_k)\in B} P(\xi_1=x_1)\cdots P(\xi_k=x_k)\\
&\qquad =P(\eta=y) P(\xi_{k+1}=x_{k+1})\cdots P(\xi_{k+l}=x_{k+l}),
\endalign
$$
\'es ezt kellett igazolni.

\medskip
T\'argyalom a k\"ovetkez\H{o} feladatot.

\medskip
{\it Feladat.}
\medskip

\item{} V\'eletlen\"ul megh\'{\i}vunk 30 embert. Tegy\"uk fel, hogy az
egyes embereknek egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul van sz\"ulet\'esnapjuk,
\'es minden ember eset\'eben $\frac1{365}$ annak a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy az \'ev valamely napj\'an
sz\"uletett. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy van k\'et
ember a t\'arsas\'agban, akiknek ugyanaznap van a sz\"ulet\'esnapjuk?
\item{} \'Altal\'anosabban, van $n$ urna, amelyekbe bedobunk
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul $k$ goly\'ot \'ugy, hogy mindegyik
goly\'o egyforma val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esik az egyes urn\'akba.
Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy van olyan urna amelybe
legal\'abb k\'et goly\'o esik? \'Erdekel minket tov\'abb\'a ennek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egnek a viselked\'ese, ha mind az $n$ mind a
$k$ sz\'am nagy, \'es a $k=k(n)$ sz\'amnak megfelel\H{o} a
nagys\'agrendje. L\'assuk be, hogy a fenti
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egnek van hat\'ar\'ert\'eke,
ha $n\to \infty$, $\frac k{\sqrt n}\to\alpha$ valamilyen
$0\le \alpha<\infty$ sz\'ammal, \'es hat\'arozzuk meg ezt a
hat\'ar\'ert\'eket.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $\xi_j$ azt a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, hogy a $j$-ik embernek az
\'ev hanyadik napj\'an van a sz\"ulet\'esnapja. Ekkor
a $\xi_j$, $1\le j\le 30$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggetlenek, $P\(\xi_j=l\)=\frac1{365}$, $1\le j\le 30$, $1\le l\le
365$, \'es $P(\xi_j\neq \xi_j'\;\text{ha }j\neq j')$
annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy mindenkinek
k\"ul\"onb\"oz\H{o} nap van a sz\"ulet\'esnapja.
Ez a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg viszont
$$
\frac{365\cdot 364\cdots(365-30+1)}{365^k}
=\prod_{j=1}^{29}\(1-\frac j{365}\),
$$
mert annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az els\H{o} ember
sz\"ulet\'esnapja az $l_1$-ik, a m\'asodik\'e az $l_2$-ik \'es
\'{\i}gy tov\'abb a $k$-ik ember sz\"ulet\'esnapja az $l_k$-ik napon
van $\frac1{365^k}$, tetsz\H{o}leges $1\le l_j\le 365$, $1\le j\le 30$
sz\'amok eset\'en, \'es ezeket a sz\'amokat $\prodd_{j=0}^{k-1}(365-j)$
m\'odon v\'alaszthatjuk \'ugy, hogy mindegyik $l_j$ sz\'am
k\"ul\"onb\"oz\H{o} legyen. \'Igy annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy van k\'et ember akinek ugyanazon a napon van a sz\"ulet\'esnapja
$1-\prodd_{j=1}^{29}\(1-\frac j{365}\)$.
\item{} Hasonl\'oan, annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy ha $k$
goly\'ot dobunk $n$ urn\'aba az adott m\'odon, akkor van olyan urna,
amelyikbe legal\'abb k\'et goly\'o esik $1-\prodd_{j=1}^{k-1}\(1-\frac
jn\)$. Adjunk j\'o k\"ozel\'{\i}t\'est a
$\log\prodd_{j=1}^{k-1}\(1-\frac jn\)=\summ_{j=1}^{k-1}\log\(1-\frac
jn\)$ kifejez\'esre, ha $n\to\infty$, $\frac{k(n)}{\sqrt n}\to\alpha$.
Heurisztikus \'ervel\'es szerint mivel $\log\(1-\frac jn\)\sim-\frac
jn$ a $\log(1+x)$ f\"uggv\'eny Taylor sorfejt\'ese szerint, ez\'ert
$\summ_{j=1}^{k-1}\log\(1-\frac jn\)\sim -\summ_{j=1}^{k-1}\frac
jn=-\frac{(k-1)k}{2n}$, ahonnan $\log\prodd_{j=1}^{k(n)-1}\(1-\frac
jn\)\to-\frac{\alpha^2}2$, ha $n\to\infty$, \'es $\frac
{k(n)}{\sqrt n}\to\alpha$. Ez a sz\'amol\'as precizz\'e tehet\H{o}, ha
felhaszn\'aljuk p\'eld\'aul azt az egyenl\H{o}tlens\'eget, amely
szerint
$$
\left|\log\(1-\frac jn\)+\frac jn\right|\le
\frac{2j^2}{n^2}\le\frac{\const}n,\quad\text{ha
} n \text{ el\'eg nagy \'es }\frac j{\sqrt n}\le\alpha+1,
$$
ami szint\'en k\"ovetkezik a $\log(1+x)$ Taylor sorfejt\'es\'eb\H{o}l.
Innen azt kapjuk, hogy $1-\prodd_{j=1}^{k(n)-1}\(1-\frac jn\)\to
1-e^{-\alpha^2/2}$, ha $n\to\infty$, \'es
$\frac{k(n)}{\sqrt n}\to\alpha$.

\medskip
A (diszkr\'et eloszl\'as\'u) val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
fogalm\'anak a seg\'{\i}ts\'eg\'evel meg tudom fogalmazni az egyik az 
els\H{o} t\'ema jegyzet\'eben t\'argyalt eredm\'eny egy hasznos
\'altal\'anos\'{\i}t\'as\'at. Tekintett\"uk azt a feladatot, hogy 
ha egy urn\'aban k\"ul\"onb\"oz\H{o} sz\'{\i}n\H{u} goly\'ok 
vannak, \'es azokat visszatev\'es n\'elk\"ul egym\'as ut\'an 
kih\'uzzuk, akkor mi annak a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy egy adott h\'uz\'asban
el\H{o}\'{\i}rt sz\'{\i}n\H{u} goly\'ot h\'uzunk ki. Most egy olyan 
lemm\'at fogalmazok meg, amely hasznos \'altal\'anos\'{\i}t\'asa
az e feladat megold\'as\'aban szerepl\H{o} legfontosabb gondolatnak.
Ennek \'erdek\'eben el\H{o}sz\"or bevezetem a k\"ovetkez\H{o} fogalmat.

\medskip\noindent
{\bf Felcser\'elhet\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
v\'eges sorozat\'anak a definici\'oja.} {\it Legyenek
$\xi_1,\dots,\xi_n$ diszkr\'et eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok valamely $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi me\-z\H{o}n, amelyek \'ert\'ekeiket
valamely $X=\{x_1,x_2,\dots\}$ v\'eges vagy megsz\'aml\'alhat\'oan
v\'eg\-te\-len halmazon veszik fel. Jel\"olje $\Pi(n)$ az
$\{1,2,\dots,n\}$  halmaz \"osszes permut\'aci\'oj\'ab\'ol \'all\'o
halmazt. Azt mondjuk, hogy a $\xi_1,\dots,\xi_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok felcser\'elhet\H{o}ek, ha
ak\'arhogy v\'alasztunk ki egy
$\pi=(\pi(1),\dots,\pi(n))\in \Pi(n)$ permut\'aci\'ot \'es
$x_l\in X$, $1\le l\le n$, elemeket az $X$ halmazb\'ol, teljes\"ul a
$$
P(\xi_1=x_1,\xi_2=x_2,\dots,\xi_n=x_n)=
P(\xi_{\pi(1)}=x_1,\xi_{\pi(2)}=x_2,\dots,\xi_{\pi(n)}=x_n)
$$
azonoss\'ag.}

\medskip
A felcser\'elhet\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
szeml\'eletes tartalma a k\"ovetkez\H{o}. Fel\-cse\-r\'el\-he\-t\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eset\'eben a
$P(\xi_1=x_1,\xi_2=x_2,\dots,\xi_n=x_n)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg csak att\'ol f\"ugg, hogy a tekintett
$\xi_1,\dots,\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok milyen
$x\in X$ \'er\-t\'e\-ke\-ket vesznek fel \'es milyen multiplicit\'assal,
de nem f\"ugg att\'ol, hogy milyen sorrendben veszik fel ezeket az
\'ert\'ekeket. Az al\'abbiakban bebizony\'{\i}tom
felcser\'elhet\H{o} va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'al\-to\-z\'ok egy (egyszer\H{u}) tulajdons\'ag\'at, majd
megmutatom, hogy ez seg\'{\i}t 
\'altal\'anos\'{\i}tani \'es jobban meg\'erteni az els\H{o}
t\'ema jegyzet\'eben t\'argyalt urnabeli h\'uz\'asokkal kapcsolatos
feladatok megold\'as\'at.

\medskip\noindent
{\bf Lemma felcser\'elhet\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok v\'eges dimenzi\'os eloszl\'asair\'ol.} {\it
Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n$ diszkr\'et eloszl\'as\'u,
felcser\'elhet\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o}n,
amelyek \'ert\'ekeiket valamely $X=\{x_1,x_2,\dots\}$ v\'eges vagy
meg\-sz\'am\-l\'al\-ha\-t\'o halmazon veszik fel. Tekints\"unk
valamilyen  r\"ogz\'{\i}tett $1\le k\le n$ sz\'amot, az $X$ t\'er
valamely $x_l\in X$, $1\le l\le k$, elemeinek sorozat\'at \'es az
$\{1,\dots,n\}$ halmaz egy $k$ elem\H{u}
$\{j_1,\dots,j_k\}\subset\{1,\dots,n\}$ r\'eszhalmaz\'at.
\'Erv\'enyes a
$$
P(\xi_1=x_1,\dots,\xi_k=x_k)=
P(\xi_{j_1}=x_1,\dots,\xi_{j_k}=x_k)
$$
azonoss\'ag.}

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as.}\/ R\"ogz\'{\i}ts\"unk egy olyan
$\pi\in\Pi(n)$ permut\'aci\'ot, amelyre
$\pi(1)=j_1$, $\pi(2)=j_2$,\dots, $\pi(k)=j_k$. Fel\'{\i}rhatjuk a
$$
\align&P(\xi_1=x_1,\dots,\xi_k=x_k)\\
&\qquad=\sum_{x_l\colon\; x_l\in X, \text{ ha } k+1\le l\le n}
P(\xi_1=x_1,\dots,\xi_k=x_k,\,\xi_{k+1}=x_{k+1},\dots,\xi_n=x_n)
\endalign
$$
azonoss\'agot. Ez\'ert a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok felcser\'elhet\H{o}s\'ege miatt
$$
\align
&P(\xi_1=x_1,\dots,\xi_k=x_k)\\
&\qquad=\sum_{x_l\colon\; x_l\in X, \text{ ha } k+1\le l\le n}
P(\xi_1=x_1,\dots,\xi_k=x_k,\,\xi_{k+1}=x_{k+1},\dots,\xi_n=x_n)\\
&\qquad=\!\!\!\! \sum_{x_l\colon\; x_l\in X, \text{ ha } k+1\le l\le n}
\!\!\!\! P(\xi_{\pi(1)}=x_1,\dots,\xi_{\pi(k)}=x_k,\,
\xi_{\pi(k+1)}=x_{k+1},\dots,\xi_{\pi(n)}=x_n)\\
&\qquad=P(\xi_{\pi(1)}=x_1,\dots,\xi_{\pi(k)}=x_k)
=P(\xi_{j_1}=x_1,\dots,\xi_{j_k}=x_k).
\endalign
$$
Az utols\'o azonoss\'ag bal \'es jobboldal\'anak
\"osszehasonl\'{\i}t\'as\'ab\'ol k\"ovetkezik a lemma
\'al\-l\'{\i}\-t\'a\-sa.

\medskip
Az urn\'abol val\'o visszatev\'eses h\'uz\'asr\'ol sz\'ol\'o feladat
megold\'as\'aban ezen lemma eredm\'eny\'et haszn\'altuk fel. 
Tartalmazzon egy urna $n$ feh\'er \'es $m$ piros goly\'ot, es 
h\'uzzuk ki ezen goly\'okat egym\'as ut\'an visszatev\'es n\'elk\"ul.
Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$, $1\le j\le n+m$, 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: $\xi_j=F$, ha a $j$-ik 
h\'uz\'as feh\'er, \'es $\xi_j=P$, ha a $j$-ik h\'uz\'as piros. Ekkor
$\xi_1,\dots,\xi_{n+m}$ felcser\'elhet\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, \'es alkalmazhat\'o r\'a
a fenti lemma.

Ez\'ert $P(\xi_{j_1}=P,\xi_{j_2}=P)=P(\xi_1=P,\xi_2=P)$ minden 
$1\le j_1<j_2\le n+m$ indexre, azaz annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy a $j_1$-ik \'es $j_2$-ik h\'uz\'asban piros goly\'ot h\'uzunk 
megegyezik annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel,
hogy az els\H{o} \'es m\'asodik h\'uz\'asban piros goly\'ot h\'uzunk.
A vizsg\'alt feladat megold\'as\'aban ilyen \"osszef\"ugg\'eseket 
haszn\'altunk fel.

\medskip
{\it H\'azi feladat:}
\medskip

\item{} R\"ogz\'{\i}ts\"unk valamely $r\ge1$ \'es $s\ge0$ eg\'esz
sz\'amokat. Legyen adva egy urna abban valah\'any goly\'o, amelyek
mindegyike az $1,\dots,r$ sz\'amokkal jelzett sz\'{\i}nek
valamelyik\'et veszi fel. H\'uzzunk ki $n$ goly\'ot az urn\'ab\'ol
egym\'as ut\'an (minden urn\'aban lev\H{o} goly\'ot egyforma
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel h\'uzzuk) \'ugy, hogy azut\'an,
hogy kih\'uztunk egy goly\'ot visszadobunk az urn\'aba $s$ darab
a kih\'uzott goly\'o sz\'{\i}n\'evel azonos sz\'{\i}n\H{u}
goly\'ot. Jel\"olje $\xi_j$ a $j$-ik kih\'uzott goly\'o
sz\'{\i}n\'et. L\'assuk be, hogy $\xi_1,\dots,\xi_n$
felcser\'elhet\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok.

L\'assunk egy m\'asik tipus\'u feladatot, amelynek vizsg\'alat\'aban
hasznos a felcser\'elhet\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
haszn\'alata. A k\"ovetkez\H{o} feladat hasonl\'{\i}t a harmadik
el\H{o}ad\'ason t\'argyalt 5. es 5a. feladathoz.

\medskip
{\it Feladat:}
\medskip

\item{} Egy szab\'alyos \'erm\'et feldobunk egym\'as ut\'an
eg\'eszen addig, am\'{\i}g \"ot\"odsz\"or megjelenik egy fejdob\'as. 
Azut\'an a dob\'assorozatot abbahagyjuk. L\'assuk be, hogy annak a 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az utols\'o dob\'ast kett\H{o}vel 
megel\H{o}z\H{o} dob\'as eredm\'enye \'{\i}r\'as ugyanannyi, mint 
annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az els\H{o} dob\'as 
eredm\'enye \'{\i}r\'as. Mennyi\-vel egyenl\H{o}ek ezek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek?
\item{} {\it Megold\'as.} Tekints\"uk az els\H{o} $l-1$ dob\'as
\'ert\'ekeit azon felt\'etel
mellett, hogy a $k$-ik fejdob\'as az $l$-ik dob\'asban jelenik
meg. Vegy\"uk \'eszre, hogy ezek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'ok (eszerint a felt\'eteles eloszl\'as szerint)
felcser\'elhet\H{o}ek. Ez\'ert annak a felt\'eteles 
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy az $l-2$-ik
dob\'as eredm\'enye \'{\i}r\'as, felt\'eve, hogy a $k$-ik fejdob\'as
az $l$-ik do\-b\'as\-ban k\"ovetkezik be, ugyanannyi, mint 
annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az els\H{o} dob\'as 
ered\-m\'e\-nye \'{\i}r\'as ugyanazon felt\'etel mellett. Mivel
ezen k\'et esem\'eny felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, 
ama felt\'etel mellett, hogy a $k$-ik fejdob\'as az $l$-ik dob\'asban
jelenik meg minden $l$-re megegyezik, ez\'ert ezen esem\'enyek 
(felt\'etel n\'elk\"uli)  val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege is egyenl\H{o}. 
Ez a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg $\frac12$.


\medskip
{\it H\'azi feladat.}
\medskip

\item{} Egy szab\'alyos \'erm\'et feldobunk egym\'as ut\'an
v\'egtelen sokszor. R\"ogz\'{\i}ts\"unk egy $k$ eg\'esz sz\'amot,
\'es defini\'aljunk minden $l\ge k$ eg\'esz sz\'amra egy 
$1\le j_1(l)<j_2(l)<\cdots<j_k(l)\le l$ sorozatot. Tekints\"uk ezt
a sorozatot eg\'eszen addig, am\'{\i}g az $k$-edik fejdob\'as 
megjelenik. Ha ez az $l$-ik dob\'asban t\"ort\'enik akkor 
tekints\"uk a $j_1(l)$-ik, $j_2(l)$-ik \'es $j_k(l)$-ik 
dob\'asokat. L\'assuk be, hogy annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, 
hogy a $j_1(l)$-ik, $j_2(l)$-ik \'es $j_k(l)$-ik dob\'asok 
mindegyike fej, megegyezik annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, 
hogy az els\H{o} $k$ dob\'as fej, ami $2^{-k}$-val egyenl\H{o}.

\medskip\noindent
K\"ovetkez\H{o} t\'em\'ank a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as
egyik legfontosabb fogalm\'ahoz, a v\'arhat\'o \'er\-t\'ek\-hez
kapcsol\'odik. Egyel\H{o}re, a jobb meg\'ert\'es \'erdek\'eben, csak
a diszkr\'et eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et vezetem be. T\'argyalom annak
legfontosabb tu\-laj\-don\-s\'a\-gait. Nagyon fontos azon feladatok 
megold\'as\'anak j\'o meg\'ert\'ese, amelyek arr\'ol sz\'olnak, 
hogy hogyan tudjuk val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok 
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et effekt\'{\i}ve ki\-sz\'a\-m\'{\i}\-tani.

\medskip\noindent
{\bf Diszkr\'et eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'enek a definici\'oja.} {\it Legyen $\xi$ 
diszkr\'et el\-osz\-l\'a\-s\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi 
v\'altoz\'o, amely $x_1,x_2,\dots$ \'ert\'ekeket vesz fel 
$p_k=P(\xi=x_k)$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel, $k=1,2,\dots$,
$\summ_{k=1}^\infty P(\xi=x_k)=1$. A $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eke az
$$
E\xi=\sum_{k=1}^\infty x_k P(\xi=x_k)
$$
\"osszeg, felt\'eve hogy ez az \"osszeg abszolut konvergens. Ha
ez az \"osszeg nem abszolut konvergens, akkor nem defini\'aljuk
az $E\xi$ v\'arhat\'o \'ert\'eket.}

\medskip\noindent
{\it 1. megjegyz\'es.} A $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget defini\'al\'o
\"osszeg \'ugy is \'ertelmezhet\H{o}, mint az $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n defini\'alt $\xi$ (elemi) 
f\"uggv\'eny Lebesgue integr\'alja a $P$ m\'ert\'ek szerint. Ez az 
\'eszrev\'etel \'erthet\H{o}bb\'e teszi n\'eh\'any a v\'arhat\'o 
\'ert\'ek tulajdons\'agair\'ol sz\'ol\'o eredm\'eny h\'atter\'et, 
illetve azt, hogy hogyan \'erdemes defini\'alni a v\'arhat\'o 
\'ert\'eket az \'altal\'anos esetben.

\medskip\noindent
{\it 2. megjegyz\'es.}\/ Most \'es a tov\'abbiakban az egyszer\H{u}bb
\'es egys\'egesebb jel\"ol\'es \'erdek\'eben feltessz\"uk, hogy a
diszkr\'et eloszl\'as\'u $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
(megsz\'aml\'alhat\'oan) v\'egtelen sok \'ert\'eket vesz fel. Ez nem
jelent megszor\'{\i}t\'ast, mert ha $\xi$ csak v\'eges sok \'ert\'eket
vesz fel, akkor is feltehetj\"uk, hogy ezenk\'{\i}v\"ul m\'eg felvesz
v\'egtelen sok \'ert\'eket nulla va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel.

\medskip\noindent
{\it 3. megjegyz\'es.}\/ A v\'arhat\'o \'ert\'eket az angol {\it
expectation}\/ sz\'o kezd\H{o}bet\H{u}j\'evel az $E$ bet\H{u}vel
jel\"olj\"uk. Manaps\'ag ez a legelterjedtebb jel\"ol\'es, b\'ar
haszn\'alj\'ak az $M$ bet\H{u}t is a n\'emet {\it mathematischer
Mittelwert}\/ kifejez\'es alapj\'an.

\medskip\noindent
{\it Eml\'ekeztet\H{o}.}\/ Azt mondjuk, hogy a $\summ_{n=1}^\infty
y_n$ sor abszolut konvergens, ha nemcsak a $\summ_{n=1}^\infty y_n$,
hanem a $\summ_{n=1}^\infty |y_n|$ sor is konvergens, azaz
$\summ_{n=1}^\infty |y_n|<\infty$. Ha csak a $\summ_{n=1}^\infty y_n$
sor konvergens, \'es a $\summ_{n=1}^\infty |y_n|$ sor divergens, akkor
felt\'etelesen konvergens sorr\'ol besz\'el\"unk.

Felid\'ezek n\'eh\'any eredm\'enyt, amelyek megmagyar\'azz\'ak,
mi\'ert k\"ovetelt\"uk meg a v\'arhat\'o \'ert\'ek definici\'oj\'aban
azt, hogy a $\summ_{k=1}^\infty x_k P(\xi=x_k)$ sor ne csak 
konvergens, hanem abszolut konvergens is legyen.

Ha a $\summ_{n=1}^\infty y_n$ sor abszolut konvergens, akkor ennek
tetsz\H{o}leges \'atrendez\'ese azaz tetsz\H{o}leges olyan
$\summ_{n=1}^\infty y_{k(n)}$ \"osszeg, amelyre a $k(n)=j$
egyenletnek pontosan egy meg\-ol\-d\'a\-sa van minden $1\le j<\infty$
eg\'esz sz\'amra szint\'en konvergens, \'es ugyanaz a hat\'ar\'ert\'eke
mint az eredeti sorrendben. Ez a tulajdons\'ag nem abszolut konvergens
sorozatokra m\'ar nem igaz. S\H{o}t, ebben az esetben a
k\"ovetkez\H{o} negat\'{\i}v jelleg\H{u} \'all\'{\i}t\'as \'erv\'enyes.

Legyen $\summ_{n=1}^\infty x_n$ egy konvergens, de nem abszolut
konvergens \"osszeg. Ekkor tet\-sz\H{o}\-le\-ges
$-\infty\le\alpha\le\infty$ sz\'amra l\'etezik e sor tagjainak olyan
(az $\alpha$ sz\'amt\'ol f\"ugg\H{o}) $k(n)$, $n=1,2,\dots$
\'atrendez\'ese, amelyre
$\limm_{N\to\infty}\summ_{n=1}^N x_{k(n)}=\alpha$.

Mi\'ert fontos az a megk\"ot\'es, hogy a v\'arhat\'o \'ert\'eket
defini\'al\'o \"osszeg nemcsak konvergens, hanem abszolut 
konvergens is? Vegy\"uk p\'eld\'aul azt az esetet, amikor a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \'ert\'ekei az \"osszes
racion\'alis sz\'am halmaza. A racion\'alis sz\'amok, mivel
megsz\'aml\'alhat\'oan sokan vannak, felsorolhat\'oak mint egy
$x_1,x_2,\dots$, sorozat. De ennek a felsorol\'asnak nincs egy
term\'eszetes sorrendje. Ez\'ert a v\'arhat\'o \'ert\'eket 
defini\'al\'o \"osszeg csak akkor \'ertelmes, ha annak \'ert\'eke 
nem f\"ugg att\'ol, hogy a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'o lehets\'eges $x_k$ \'ert\'ekeit milyen sorrendben 
soroljuk fel.

Az abszolut konvergens sorok fent eml\'{\i}tett tulajdons\'aga
szerepelt az ana\-l\'{\i}\-zis tan\-anyag\-ban. A bizony\'{\i}t\'as
megism\'etl\'ese helyett l\'assunk ink\'abb egy p\'eld\'at, amely
megmutatja, hogy a nem abszolut konvergens sorok m\'ask\'eppen
viselkednek, mint az abszolut konvergensek. Tekints\"uk az
$S=1-1+\frac12-\frac12+\frac13-\frac13+\frac14-\frac14+\cdots$
sort. Ez a sor konvergens, hat\'ar\'ert\'eke z\'er\'o, ugyanakkor nem
abszolut konvergens, mert $\summ_{k=1}^\infty\frac1k=\infty$.
Tekints\"uk e sor k\"ovetkez\H{o} \'atrendez\'es\'et:
$S=1+\summ_{k=1}^\infty\(\frac1{2^k}+\frac1{2^k+1}+\cdots
+\frac1{2^{k+1}-1}-\frac1k\)$. Ez az \'atrendezett sor divergens,
mert a $k$-ik tagra $\frac1{2^k}+\frac1{2^k+1}+\cdots
+\frac1{2^{k+1}-1}-\frac1k\ge
\frac{2^k}{2^{k+1}}-\frac1k=\frac12-\frac1k$. R\"oviden, kiss\'e
nagyvonal\'uan, azt mondhatjuk, hogy abszolut konvergens sorozatokkal
ugyanolyan szabadon sz\'amolhatunk (\'atrendezhetj\"uk \H{o}ket,
abszolut konvergens sorok szorzataiban elv\'egezhetj\"uk a tagonk\'enti
szorz\'ast), mint v\'eges \"osszegek eset\'eben, m\'{\i}g nem abszolut
konvergens sorok eset\'eben ezt nem tehetj\"uk meg.

\medskip\noindent
Sz\'am\'{\i}tsuk ki a v\'arhat\'o \'ert\'eket egy viszonylag
egyszer\H{u} feladatban.

\medskip
\item{} Egy szab\'alyos p\'enzdarabot feldobunk 100-szor egym\'as
ut\'an. Sz\'amoljuk ki a fej-dob\'asok sz\'a\-m\'a\-nak a v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy
pontosan $k$ fejdob\'as t\"ort\'enik 100 dob\'as ese\-t\'e\-ben
$\binom{100}k2^{-100}$, $0\le k\le100$. Ez\'ert
$E\xi=\summ_{k=0}^{100}k\binom{100}k2^{-100}$
a keresett v\'arhat\'o \'ert\'ek. Ezt az \"osszeget ki tudjuk
sz\'am\'{\i}tani a k\"ovetkez\H{o} \'eszrev\'etel
seg\'{\i}ts\'eg\'evel: $k\binom nk=n \binom{n-1}{k-1}$, ha
$1\le k\le n$. Innen $n=100$ v\'alaszt\'assal
$$\allowdisplaybreaks
\align
E\xi&=\summ_{k=0}^{100}k\binom{100}k2^{-100}=
\summ_{k=1}^{100}k\binom{100}k2^{-100}=
100\summ_{k=0}^{99}\binom{99}k2^{-100}\\
&=50\summ_{k=0}^{99}\binom{99}k\(\frac12\)^{99}
=50\cdot\(\frac12+\frac12\)^{99}=50.
\endalign
$$

\medskip
Heurisztikusan a k\"ovetkez\H{o} m\'odon \'erveln\'enk: Egy
p\'enzfeldob\'as eset\'en a fe\-jek sz\'am\'anak a v\'arhat\'o
\'ert\'eke $\frac12$, sz\'az p\'enzfeldob\'as eset\'en a
p\'enzdob\'asok sz\'a\-m\'a\-nak v\'ar\-ha\-t\'o \'ert\'eke
$100\cdot\frac12=50$.

A k\"ovetkez\H{o} fontos eredm\'eny, amelynek bizony\'{\i}t\'as\'at 
k\'es\H{o}bb ismertetem, meg\-ma\-gya\-r\'az\-za, hogy a fenti 
heurisztika mi\'ert adott helyes eredm\'enyt, \'es ennek
se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel hogyan lehet kisz\'am\'{\i}tani sok 
esetben egyszer\H{u}en val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok 
v\'ar\-ha\-t\'o \'er\-t\'e\-k\'et.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel a v\'arhat\'o \'ert\'ek additiv\'{\i}t\'as\'ar\'ol.} 
{\it  Legyenek $\xi_1$, $\xi_2$ (diszkr\'et eloszl\'as\'u) 
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok, ame\-lyek\-nek
l\'etezik v\'arhat\'o \'ert\'ek\"uk. Ekkor a $\xi_1+\xi_2$
\"osszegnek is l\'etezik v\'arhat\'o \'ert\'eke, \'es
$$
E(\xi_1+\xi_2)=E\xi_1+E\xi_2.
$$
}

\medskip\noindent
{\bf K\"ovetkezm\'eny.} {\it Legyenek adva $\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_k$
(diszkr\'et eloszl\'as\'u) val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok,
ame\-lyek\-nek l\'etezik v\'arhat\'o \'ert\'ek\"uk, \'es legyenek
$c_1,\dots,c_k$ val\'os sz\'amok. Ekkor a
$c_1\xi_1+c_2\xi_2+\cdots+c_k\xi_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'onak is l\'etezik v\'arhat\'o \'ert\'eke, \'es
$$
E\(c_1\xi_1+c_2\xi_2+\cdots+c_k\xi_k\)
=c_1E\xi_1+c_2E\xi_2+\cdots+c_kE\xi_k.
$$
}

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.}\/ \'Erdemes hangs\'ulyozni, hogy a fenti
eredm\'enyben nem t\'etelezt\"uk fel, hogy a tekintett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek. Ez
az \'eszrev\'etel bizonyos alkalmaz\'asokban hasznos. K\'es\H{o}bb
tanulni fogjuk, hogy a most megfogalmazott eredm\'eny nemcsak
disz\-kr\'et eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\"osszegeire \'erv\'enyes. 

\medskip
L\'assuk, hogy hogyan tudjuk kisz\'am\'{\i}tani az el\H{o}z\H{o}
feladatban tekintett v\'arhat\'o \'ert\'eket a fenti eredm\'eny
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.

Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat: $\xi_j=1$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye fej,
$\xi_j=0$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye \'{\i}r\'as. Azaz a
$\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o azt sz\'amolja, hogy
mennyi a $j$-ik dob\'as eredm\'eny\'enek hozad\'eka a fej-dob\'asok
sz\'am\'ahoz. Ekkor minket az $E\(\summ_{j=1}^{100}\xi_j\)$ v\'arhat\'o
\'ert\'ek \'erdekel. Viszont a fenti eredm\'eny alapj\'an
$E\(\summ_{j=1}^{100}\xi_j\)=\summ_{j=1}^{100}E\xi_j$, \'es
$E\xi_j=1\cdot P(\xi_j=1)+0\cdot P(\xi_j=0)=
\frac12\cdot1+\frac12\cdot0=\frac12$ minden $1\le j\le 100$ indexre,
ahonnan $E\(\summ_{j=1}^{100}\xi_j\)=100\cdot\frac12=50$.

\vfill\eject

{\it Feladat:}
\medskip

\item{} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk 100-szor egym\'as
ut\'an. Sz\'amoljuk ki a do\-b\'as\-ered\-m\'e\-nyek \"osszeg\'enek
a v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$,
$1\le j\le100$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: $\xi_j=1$,
ha a $j$-ik dob\'as 1, $\xi_j=2$, ha a $j$-ik dob\'as 2, $\xi_j=3$,
ha a $j$-ik dob\'as 3, $\xi_j=4$, ha a $j$-ik dob\'as 4, $\xi_j=5$,
ha a $j$-ik dob\'as 5, \'es $\xi_j=6$, ha a $j$-ik dob\'as 6. Ekkor
a vizsg\'alt \"osszeg $S=\summ_{j=1}^{100}\xi_j$, ahonnan
$ES=\summ_{j=1}^{100}E\xi_j$. Mivel $E\xi_j=\frac16(1+2+\cdots+6)=3.5$
minden $1\le j\le100$ indexre, innen $ES=100\cdot3.5=350$.

\medskip\noindent
A v\'arhat\'o \'ert\'ek tulajdons\'againak bizony\'{\i}t\'as\'aban
nagyon hasznos az al\'abbi seg\'edt\'etel. 

\medskip\noindent
{\bf Seg\'edt\'etel a v\'arhat\'o \'ert\'ek tulajdons\'agair\'ol.} 
{\it Legyen $\xi$ egy diszkr\'et eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy $(\Omega,\Cal A,P)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o}n, amely
va\-la\-mi\-lyen $x_1,x_2,\dots$, \'ert\'ekeket vesz fel, \'es
legyen $B_k=\{\oo\colon\;\xi(\oo)=x_k\}$, $k=1,2,\dots$, a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \'ert\'ekei \'altal
meghat\'arozott teljes ese\-m\'eny\-rend\-szer. Legyen $C_j$,
$j=1,2,\dots$, egy enn\'el finomabb teljes ese\-m\'eny\-rend\-szer,
azaz tegy\"uk fel, hogy a $C_j\in\Cal A$ halmazok diszjunktak,
$\bigcupp_{j=1}^\infty  C_j=\Omega$, \'es minden $C_j$ halmazhoz
tartozik olyan $B_k$ halmaz, amelyre $C_j\subset B_k$. Ekkor
$B_k=\bigcupp_{j\colon\; C_j\subset B_k}C_j$ minden $k$ indexre. 
Ha $C_j\subset B_k$, akkor rendelj\"uk hozz\'a a $C_j$ halmazhoz
az $y_j=x_k$ sz\'amot. A $\summ_{k=1}^\infty x_kP(B_k)$ \'es
$\summ_{j=1}^\infty y_jP(C_j)$ \"osszegek egyszerre abszolut
konvergensek, \'es ha ezek az \"osszegek abszolut konvergensek,
akkor
$$
E\xi=\summ_{k=1}^\infty x_kP(B_k)=\summ_{j=1}^\infty y_jP(C_j).
$$
}

\medskip
A fenti Seg\'edt\'etel tartal\'at a k\"ovetkez\H{o} m\'odon is 
interpret\'alhatjuk. Ha az $E\xi$ v\'arhat\'o \'ert\'eket 
defin\'al\'o $E\xi=\sum x_kP(B_k)$, 
$B_k=\{\oo\colon\; \xi(\oo)=x_k\}$ \"osszegben szerepl\H{o} $B_k$ 
halmazokat kisebb $C_j$ darabokra bontjuk, akkor a v\'arhat\'o 
\'ert\'eket $E\xi=\sum y_jP(C_j)$ alakban is fel\'{\i}rhatjuk, 
ahol $y_j$ a $\xi(\oo)$ f\"uggv\'eny \'ert\'eke a $C_j$ (illetve 
az \H{o}t tartalmaz\'o halmazon. A v\'arhat\'o \'ert\'ek ilyen 
fel\'{\i}r\'asa eml\'ekeztet az integr\'alok definici\'oj\'aban 
szerepl\H{o} integr\'alk\"ozel\'{\i}t\H{o} \"osszegekre.

Val\'oj\'aban itt sokkal t\"obbr\H{o}l van sz\'o, mint puszta
form\'alis anal\'ogi\'ar\'ol. A m\'er\-t\'ek\-elm\'e\-let\-ben
bevezett\'ek az \'ugynevezett Lebesgue integr\'al fogalm\'at,
ami \'altal\'anosabb, mint a Riemann integr\'al. A v\'arhat\'o
\'ert\'ek, amir\H{o}l besz\'el\"unk, a $\xi(\oo)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'al\-to\-z\'o\-nak, azaz
az $(\Omega,\Cal A,P)$ t\'eren defini\'alt (m\'erhet\H{o})
f\"uggv\'enynek a Lebesgue integr\'alja a $P$ m\'ert\'ek szerint.
Erre a t\'enyre a k\'es\H{o}bbiekben nem lesz sz\"uks\'eg\"unk,
de sok meggondol\'as h\'atter\'eben ennek ismerete rejt\H{o}zik.
\'Igy p\'eld\'aul a v\'arhat\'o \'ert\'ek addit\'{\i}vit\'asa az
integr\'al addit\'{\i}vit\'as\'anak az \'atfogalmaz\'asa.
B\'ar itt nem foglalkozunk a Lebesgue integr\'al fogalm\'anak
kidolgoz\'as\'aval, mert erre nincs sz\"uks\'eg\"unk,
val\'oj\'aban az ehhez sz\"uks\'eges munka jelent\H{o}s r\'esz\'et
megtessz\"uk. Diszkr\'et eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok v\'arhat\'o \'ert\'ek definici\'oj\'anak
bevezet\'es\'evel  az egyszer\H{u} (elemi) f\"uggv\'enyek Lebesgue
integr\'alj\'at defini\'aljuk, \'es a v\'arhat\'o \'ert\'ek
tulajdons\'againak a bizony\'{\i}t\'as\'aval a Lebesgue
integr\'al legfontosabb tulajdons\'agait bizony\'{\i}tjuk.

\medskip\noindent
{\it A Seg\'edt\'etel bizony\'{\i}t\'asa:}  El\H{o}sz\"or azt
mutatjuk meg, hogy a $\summ_{k=1}^\infty x_kP(B_k)$ \'es
$\summ_{j=1}^\infty y_jP(C_j)$ \"osszegek egyszerre abszolut
konvergensek.

Ha a $\summ_{k=1}^\infty x_kP(B_k)$ \"osszeg abszolut konvergens,
akkor l\'etezik olyan $L<\infty$ sz\'am, amelyre
$\summ_{k=1}^\infty |x_k|P(B_k)=L$, \'es ez\'ert minden $N$ indexre
$$
\summ_{j=1}^N |y_j|P(C_j)\le
\summ_{k=1}^\infty |x_k|P(B_k)=L.
$$
Innen k\"ovetkezik, hogy $\summ_{j=1}^\infty |y_j|P(C_j)\le L$,
azaz a $\summ_{j=1}^\infty y_jP(C_j)$ \"osszeg is
abszolut konvergens.

Ha a $\summ_{j=1}^\infty y_jP(C_j)$ \"osszeg  abszolut konvergens,
akkor $\summ_{j=1}^\infty |y_j|P(C_j)\le L<\infty$ al\-kal\-mas $L$
sz\'ammal, ahonnan tetsz\H{o}leges $N$ indexre
$$
\summ_{k=1}^N |x_k|P(B_k)= \summ_{k=1}^N\summ_{j\colon\;C_j\subset
B_k}^\infty |y_j|P(C_j)\le \summ_{j=1}^\infty |y_j|P(C_j)\le L<\infty,
$$
\'es ez\'ert a $\summ_{k=1}^\infty x_kP(B_k)$ \"osszeg is abszolut
konvergens. Ezzel bel\'attuk, hogy a k\'et te\-kin\-tett \"osszeg
egyszerre abszolut konvergens.

Ha a fenti sorok abszolut konvergensek akkor fel\'{\i}rhatjuk minden
$k$ indexre az
$$
x_kP(B_k)=\summ_{j\colon\;C_j\subset B_k}y_jP(C_j)
$$
azonoss\'agot. Ezeket az azonoss\'agokat \"osszegezve minden $k$-ra,
\'es felhaszn\'alva azt, hogy egy abszolut konvergens sor tagjai
tetsz\H{o}leges \'atrendez\'es ut\'an ugyanoda konverg\'al kapjuk, hogy
$$
E\xi=\summ_{k=1}^N x_kP(B_k)= \summ_{k=1}^N\summ_{j\colon\;C_j\subset
B_k}^\infty y_jP(C_j)=\summ_{j=1}^\infty y_jP(C_j),
$$
\'es ezt kellett bizony\'{\i}tanunk.

\medskip \noindent
{\it A v\'arhat\'o \'ert\'ek addit\'{\i}vit\'as\'at kifejez\H{o}
$E(\xi_1+\xi_2)=E\xi_1+E\xi_2$ azonoss\'ag bizony\'{\i}t\'asa.}
Az $\xi_1$ \'es $\xi_2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
vegy\'ek fel az $x_1,x_2,\dots$ \'ert\'ekeket. Vezess\"uk be a
$C(j,k)=\{\oo\colon\; \xi_1(\oo)=x_j,\xi_2(\oo)=x_k\}$, $j,k=1,2,\dots$,
esem\'enyeket. A Seg\'edt\'etelt alkalmazva a
$B(k)=\{\oo\colon\;\xi_1(\oo)=x_k)$ \'es az el\H{o}bb bevezetett
$C(j,k)$ halmazokkal kapjuk, hogy
$$
E\xi_1=\summ_{j=1}^\infty\summ_{k=1}^\infty x_j P(C(j,k)).
$$
Hasonl\'oan a Seg\'edt\'etel alkalmaz\'asa a
$\tilde B(k)=\{\oo\colon\;\xi_2(\oo)=x_k)$ \'es a
$C(j,k)$ halmazokkal azt adja, hogy
$$
E\xi_2=\summ_{j=1}^\infty\summ_{k=1}^\infty x_k P(C(j,k)),
$$
E k\'et azonoss\'agot \"osszeadva, kapjuk, hogy
$$
E\xi_1+E\xi_2=\summ_{j=1}^\infty\summ_{k=1}^\infty(x_j+x_k)P(C(j,k)).
$$
M\'asr\'eszt, ism\'et a Seg\'edt\'etel alapj\'an (a
$B(j,k)=\{\oo\colon\;\xi_1(\oo)+\xi_2(\oo)=x_j+x_k)\}$ \'es
$C(j,k)$ halmazokkal) \'erv\'enyes az
$$
E(\xi_1+\xi_2)=\summ_{j=1}^\infty\summ_{k=1}^\infty(x_j+x_k)P(C(j,k))
$$
rel\'aci\'o is. Ezekb\H{o}l az \"osszef\"ugg\'esekb\H{o}l k\"ovetkezik
az $E\xi_1+E\xi_2=E(\xi_1+\xi_2)$ azonoss\'ag.
\medskip

Egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o valamilyen
$g(\xi)$ f\"uggv\'eny\'enek $Eg(\xi)$ v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et
kisz\'amolhatn\'ank a v\'arhat\'o \'ert\'ek eredeti
definici\'oj\'anak a felhaszn\'al\'as\'aval \'ugy, hogy
el\H{o}sz\"or kisz\'amoljuk a $g(\xi)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'as\'at. De sokszor egyszer\H{u}bb a v\'arhat\'o
\'ert\'ek kisz\'amol\'as\'at az al\'abbi egyszer\H{u} t\'etel
seg\'{\i}ts\'eg\'evel v\'egezni.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel diszkr\'et eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o f\"uggv\'eny\'enek a v\'arhat\'o
\'er\-t\'e\-k\'e\-r\H{o}l.} {\it Legyen $\xi$ diszkr\'et
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amely bizonyos
$x_1,x_2,\dots$ \'ert\'eket vesz fel, \'es legyen $g(x)$ az
$X=\{x_1,x_2,\dots\}$ halmazon defini\'alt val\'os \'ert\'ek\H{u}
f\"uggv\'eny. Ekkor
$$
Eg(\xi)=\summ_{j=1}^\infty g(x_j) P(\xi=x_j),
$$
felt\'eve, hogy a $\summ_{j=1}^\infty g(x_j) P(\xi=x_j)$ \"osszeg
abszolut konvergens.}

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/   Vezess\"uk be a
$C_j=\{\oo\colon\; \xi(\oo)=x_j\}$ halmazokat \'es $y_j=g(x_j)$
sz\'amokat, $j=1,2,\dots$. Ekkor alkalmazva a Seg\'edt\'etelt a
$B_k=\{\oo\colon\; g(\xi(\oo))=x_k\}$ \'es a fenti $C_j$ halmazokkal
az $\eta=g(\xi)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ora megkapjuk a T\'etel \'all\'{\i}t\'as\'at.

\medskip\noindent
A k\"ovetkez\H{o} eredm\'eny f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok szorzat\'anak a v\'arhat\'o \'ert\'ek\'er\H{o}l sz\'ol.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
szorzat\'ar\'ol.} {\it Legyenek $\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n$
f\"ug\-get\-len, diszkr\'et eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok, amelyek mindegyik\'ere l\'etezik az $E\xi_j$,
$1\le j\le n$ v\'arhat\'o \'ert\'ek. Ekkor az
$E\xi_1\xi_2\cdots\xi_n$ v\'arhat\'o \'ert\'ek is l\'etezik, \'es
$$
E\xi_1\xi_2\cdots\xi_n=E\xi_1E\xi_2\cdots E\xi_n.
$$}

\noindent
{\it Megjegy\'es:}\/ A fent megfogalmazott eredm\'eny
rendk\'{\i}v\"ul fontos tulajdons\'aga a {\it f\"ug\-get\-len}\/
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oknak.

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/ Tegy\"uk fel, hogy a $\xi_1,\dots,\xi_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $x_1,x_2,\dots$, \'ert\'ekeket
vesznek fel. Ekkor
$$
\align
E\xi_1\cdots E\xi_n&=\sum_{j_1=1}^\infty x_{j_1}P(\xi_1=x_{j_1})\cdots
\sum_{j_n=1}^\infty x_{j_n}P(\xi_n=x_{j_n}) \\
&=\sum_{j_1=1}^\infty\cdots \sum_{j_n=1}^\infty x_{j_1}\cdots x_{j_n}
P(\xi_1=x_{j_1})\cdots P(\xi_n=x_{j_n}) \\
&=\sum_{j_1=1}^\infty\cdots \sum_{j_n=1}^\infty x_{j_1}\cdots x_{j_n}
P(\xi_1=x_{j_1},\cdots,\xi_n=x_{j_n}),
\endalign
$$
a $\xi_j$, $1\le j\le n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggetlens\'ege miatt, valamint az\'ert mert a fenti sorok
mindegyike abszolut konvergens. (Ugyanis abszolut konvergens sorok
szorzata is abszolut konvergens. Ez azt jelenti, hogy ha
egy $a(i)$ \'es $b(j)$, $1\le i,j<\infty$, sorozat abszolut 
konvergens, akkor a $c(i,j)=a(i)b(j)$ sorozat is abszolut 
konvergens.) Viszont a Seg\'edt\'etel alapj\'an a fenti 
azonoss\'ag jobboldal\'an szerepl\H{o} kifejez\'es 
$E\xi_1\xi_2\cdots\xi_n$, ez\'ert
$$
E\xi_1\xi_2\cdots\xi_n=E\xi_1E\xi_2\cdots E\xi_n.
$$

A fenti eredm\'enyek alkalmaz\'asak\'ent megoldjuk a
k\"ovetkez\H{o} feladatot.

\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{1.)} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk t\'{\i}zszer.
Sz\'amoljuk ki a dob\'as\"osszeg harmadik hatv\'any\'anak a
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: $\xi_j(\oo)=k$, ha a $j$-ik
dob\'as eredm\'enye $k$, $1\le j\le 10$, $1\le k\le 6$. Ekkor az
$E\(\summ_{j=1}^{10}\xi_j(\oo)\)^3$ v\'arhat\'o \'ert\'eket kell
kisz\'am\'{\i}tanunk. Ennek \'erdek\'eben tekints\"uk a
$\(\summ_{j=1}^{10}\xi_j(\oo)\)^3$ kifejez\'est \'es \'erts\"uk meg
milyen tagokat kapunk, ha elv\'egezz\"uk a beszorz\'asokat.
Egyr\'eszt megjelenik 10 darab $\xi_j^3$ alak\'u kifejez\'es, \'es
$E\xi_j^3=E\xi_1^3$ minden ilyen tagra. Ezenk\'{\i}v\"ul megjelenik
$3\cdot 10\cdot 9$ darab $\xi_j^2\xi_k$, $j\neq k$, alak\'u
kifejez\'es, mert a lehets\'eges $(j,k)$ p\'arokat $10\cdot 9$
m\'odon v\'alaszthatjuk ki, \'es a $k$ (a n\'egyzetre nem emelt 
t\'enyez\H{o}) h\'arom helyen sze\-re\-pel\-het a szorzatban. 
(Teh\'at p\'eld\'aul a
$\xi_1\xi_2^2$ alak\'u tagnak 3 lesz az egy\"utthat\'oja a 
szorzatban.) Tov\'abb\'a minden ilyen
tagra $E\xi_j^2\xi_k=E\xi_j^2E\xi_k=E\xi_1^2 E\xi_1$. Tov\'abb\'a,
hasonl\'o meggondol\'asok alapj\'an l\'athatjuk, hogy
$10\cdot9\cdot8$ m\'odon jelenhet meg $\xi_j\xi_k\xi_l$ alak\'u tag,
ahol a $j$, $k$ \'es $l$ indexek mind k\"ul\"onb\"oz\H{o}ek, \'es
ezekre $E\xi_j\xi_k\xi_l=\(E\xi_1\)^3$. Val\'oban, a $\xi_j\xi_k\xi_l$
alak\'u alak\'u tagok \"osszesz\'aml\'al\'as\'an\'al
vegy\"uk \'eszre, hogy $1\le j<k<l\le10$ alak\'u sz\'amh\'armasokat
$\binom{10}3$ f\'elek\'epp v\'alaszthatunk, a $\xi_j$ t\'enyez\H{o}
a szorzatban 3-f\'elek\'epp jelenhet meg, a szorzat els\H{o},
m\'asodik vagy harmadik tagj\'aban, a $\xi_k$ t\'enyez\H{o} ezut\'an
2-f\'elek\'epp, a $\xi_l$ t\'enyez\H{o} pedig egyf\'elek\'epp
v\'alaszthat\'o. M\'asfajta tag nem jelenikmeg a szorzatban. Innen
a v\'arhat\'o \'ert\'ek  addit\'{\i}vit\'as\'at kihaszn\'alva azt
kapjuk, hogy $E\(\summ_{j=1}^{10}\xi_j(\oo)\)^3=10E\xi_1^3+270
E\xi_1E(\xi_1^2)+720\(E\xi_1\)^3=735+14332.5+30870=45937.5$, mert
$E\xi_1=3.5$, $E\xi_1^2=\frac{91}6$ \'es $E\xi_1^3=73.5$.

\bye