\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
 \nopagenumbers
\centerline{\bf A JAV\'IT\'O DOLGOZAT FELADATAI}
\smallskip
 
\item{1.)} Egy \'even \'at lott\'ozunk. Mind az 52 h\'eten
kit\"olt\"unk egy szelv\'enyt (90 sz\'amb\'ol kell eltal\'alni
\"ot\"ot). Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy legal\'abb
k\'et alkalommal lesz (pontosan) h\'armas tal\'alatunk?

\item{2.)} Egy urn\'aban 10 piros \'es 30 feh\'er goly\'o van.
Kih\'uzunk 20 goly\'ot visszatev\'es n\'elk\"ul. Mennyi a kih\'uzott 
piros goly\'ok sz\'am\'anak a v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es 
sz\'or\'asn\'egyzete?

\item{3.)} Egy di\'ak a feltett k\'erd\'esre (h\'arom
lehet\H{o}s\'eg k\"oz\"ul kell kiv\'alasztani a helyeset) $p$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel tudja a j\'o v\'alaszt.
Ha tudja azt, akkor a helyes v\'alaszt jel\"oli meg, ha viszont 
nem tudja, akkor tippel, \'es ez $\frac13$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel ad helyes eredm\'enyt. Mi a
felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy
tudja a j\'o v\'alaszt felt\'eve, hogy a helyes v\'alaszt jel\"olte
meg?

\item{4.)} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelyek k\"oz\"ul $\xi$
egyenletes eloszl\'as\'u a $[0,1]$ intervallumon, $\eta$ pedig 
egyenletes eloszl\'as\'u az $[1,2]$ intervallumon. Azaz $\xi$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=1$, ha $0\le x\le 1$, \'es
$f(x)=0$ egy\'ebk\'ent, $\eta$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye 
pedig $g(x)=1$, ha $1\le x\le 2$, \'es $g(x)=0$ egy\'ebk\'ent. 
Sz\'am\'{\i}tsa ki $\xi+\eta$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et. 

\item{5.)} A k\"ovetkez\H{o} j\'at\'ekot j\'atsszuk. K\'et szab\'alyos
p\'enzdarabot feldobnak egym\'as ut\'an 10~000 alkalommal. Ha egy
dob\'as eredm\'enye k\'et fejdob\'as akkor 2 forintot nyer\"unk, ha
az eredm\'eny k\'et \'{\i}r\'asdob\'as akkor 2 forintot veszt\"unk,
ha az eredm\'eny egy fej \'es egy \'{\i}r\'asdob\'as akkor 1 forintot
nyer\"unk. Adjon j\'o becsl\'est a mell\'ekelt norm\'alis
elosz\'ast\'abl\'azat alapj\'an annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere,
hogy nyerem\'eny\"unk \"osszege 4850 \'es 5300 forint k\"oz\"ott lesz.

\item{6.)} Az al\'abbi n\'egy \'all\'{\i}t\'as k\"oz\"ul melyik helyes
\'es melyik nem? (Feltessz\"uk, hogy a tekintett $\xi$ \'es $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oknak l\'etezik mind a v\'arhat\'o
\'ert\'eke mind a sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-zete.)

\itemitem{a.)} Ha $\xi$ \'es $\eta$ k\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, akkor a
$\xi+\eta$ \"osszeg v\'arhat\'o \'ert\'eke egyenl\H{o} a $\xi$ \'es
$\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'enek az \"osszeg\'evel, azaz $E(\xi+\eta)=E\xi+E\eta$.
\itemitem{b.)} Ha $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, akkor a $\xi+\eta$ \"osszeg
v\'arhat\'o \'ert\'eke egyenl\H{o} a $\xi$ \'es $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok v\'arhat\'o \'ert\'ek\'enek
az \"osszeg\'evel, azaz $E(\xi+\eta)=E\xi+E\eta$.
\itemitem{c.)} Ha $\xi$ \'es $\eta$ k\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, akkor a
$\xi+\eta$ \"osszeg sz\'or\'asn\'egyzete egyenl\H{o} a $\xi$ \'es
$\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
sz\'or\'asn\'egyzet\'enek az \"osszeg\'evel,
azaz $\Var(\xi+\eta)=\Var\xi+\Var\eta$.
\itemitem{d.)} Ha $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}n, akkor a $\xi+\eta$ \"osszeg sz\'or\'asn\'egyzete egyenl\H{o}
a $\xi$ \'es $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-ze\-t\'e\-nek az \"osszeg\'evel, azaz
$\Var(\xi+\eta)=\Var\xi+\Var\eta$.
 
 
 
\bye
