A július 2.-i vizsga feladatai.

1.) Legyen ξ normális eloszlású valószínűségi változó 1 várható értékkel és 3 szórásnégyzettel, azaz legyen a sűrűségfüggvénye f(x) = \frac{1}{\sqrt{6π}} e^{−(x−1)^{2}/6}. Számolja ki az Ee^{ξ} várható értéket.

2.) Adott egy urna, benne 10 piros és 20 fehér golyó. Kihúzunk egymás után tíz alkalommal egy golyót visszatevés nélkül. Számolja ki az olyan húzások számának a várható értékét, amelyekre teljesül, hogy mind ebben, mind az őt követő két húzásban piros golyót húztunk.

3.) Egy urnában z zöld és s sárga golyó van. Egymás után kihúzunk négy golyót úgy, hogy minden húzás után a golyót visszadobjuk az urnába, és vele együtt az urnába dobunk 2 ellenkező színű golyót. Mi a valószínűsége egy zöld, zöld, zöld, sárga húzássorozatnak?

4.) Legyen ξ és η két független valószínűségi változó. Legyen ξ egyenletes eloszlású a [0, 1] intervallumban, azaz legyen sűrűségfüggvénye f(x) = 1, ha 0 ≤ x ≤ 1, és f(x) = 0 egyébként. Legyen η egyenletes eloszlású a [1, 2] intervallumban, azaz legyen sűrűségfüggvénye g(x) = 1, ha 1 ≤ x ≤ 2, és g(x) = 0 egyébként. Számolja ki ξ + η sűrűségfüggvényét.

5. A következő játékot játsszuk. Két szabályos pénzdarabot feldobnak egymás után 10 000 alkalommal. Ha egy dobás eredménye két fejdobás akkor 2 forintot nyerünk, ha az eredmény két írásdobás akkor 2 forintot vesztünk, ha az eredmény egy fej és egy írásdobás akkor 1 forintot nyerünk. Adjunk jó becslést a mellékelt normális eloszástáblázat alapján annak a valószínűségére, hogy nyereményünk összege 4850 és 5300 forint között lesz.

6.) Mi a majdnem mindenütt, a sztochasztikus és az eloszlásban való konvergencia definiciója, és mi a kapcsolat ezen konvergenciafogalmak között?

7.) Mit jelent az, hogy egy ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású? Mik a Poisson eloszlásról tanult legfontosabb eredmények?