\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\parskip=4pt plus 1.5pt
\nopagenumbers
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}


\centerline{\bf A j\'ulius 2.-i vizsga feladatai.}
\medskip


\item{1.)} Legyen $\xi$ norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $1$ v\'arhat\'o
\'ert\'ekkel \'es 3 sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-zet\-tel, azaz legyen
a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$f(x)=\frac1{\sqrt{6\pi}}e^{-(x-1)^2/6}$. Sz\'amolja ki az
$Ee^\xi$ v\'arhat\'o \'ert\'eket.




\item{2.)} Adott egy urna, benne 10 piros \'es 20
feh\'er goly\'o. Kih\'uzunk egym\'as ut\'an t\'{\i}z alkalommal
egy goly\'ot visszatev\'es n\'elk\"ul. Sz\'amolja ki az olyan 
h\'uz\'asok sz\'am\'anak a v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et, amelyekre
teljes\"ul, hogy mind ebben, mind az \H{o}t k\"ovet\H{o} k\'et
h\'uz\'asban piros goly\'ot h\'uztunk.


\item{3.)} Egy urn\'aban $z$ z\"old \'es $s$ s\'arga goly\'o van.
Egym\'as ut\'an kih\'uzunk n\'egy goly\'ot \'ugy, hogy minden
h\'uz\'as ut\'an a goly\'ot visszadobjuk az urn\'aba, \'es vele
egy\"utt az urn\'aba dobunk 2 ellenkez\H{o} sz\'{\i}n\H{u} goly\'ot.
Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege egy z\"old, z\"old, z\"old, s\'arga
h\'uz\'assorozatnak?


\item{4.)} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. Legyen $\xi$ egyenletes
eloszl\'as\'u a $[0,1]$ intervallumban, azaz legyen
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=1$, ha $0\le x\le1$, \'es
$f(x)=0$ egy\'ebk\'ent. Legyen $\eta$ egyenletes
eloszl\'as\'u a $[1,2]$ intervallumban, azaz legyen
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $g(x)=1$, ha $1\le x\le2$,
\'es $g(x)=0$ egy\'ebk\'ent. Sz\'amolja ki $\xi+\eta$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.


\item{5.} A k\"ovetkez\H{o} j\'at\'ekot j\'atsszuk. K\'et szab\'alyos
p\'enzdarabot feldobnak egym\'as ut\'an 10~000 alkalommal. Ha egy
dob\'as eredm\'enye k\'et fejdob\'as akkor 2 forintot nyer\"unk, ha
az eredm\'eny k\'et \'{\i}r\'asdob\'as akkor 2 forintot veszt\"unk,
ha az eredm\'eny egy fej \'es egy \'{\i}r\'asdob\'as akkor 1 forintot
nyer\"unk. Adjunk j\'o becsl\'est a mell\'ekelt norm\'alis
elosz\'ast\'abl\'azat alapj\'an annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere,
hogy nyerem\'eny\"unk \"osszege 4850 \'es 5300 forint k\"oz\"ott lesz.


\item{6.)} Mi a majdnem minden\"utt, a sztochasztikus \'es
az eloszl\'asban val\'o konvergencia definici\'oja, \'es
mi a kapcsolat ezen konvergenciafogalmak k\"oz\"ott?


\item{7.)} Mit jelent az, hogy egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o Poisson eloszl\'as\'u? Mik a Poisson eloszl\'asr\'ol
tanult legfontosabb eredm\'enyek?



\bye


