A június 11.-i vizsga feladatai.

1.) Adott két urna, mindkettőben 20 piros és 30 fehér golyó. Kihúzunk egymás után tíz alkalommal egy-egy golyót mind a két urnából. Az első urnából visszatevéssel, a második urnából visszatevés nélkül húzzuk ki a golyót. Számoljuk ki azon húzáspárok számának a várható értékét és szórásnégyzetét, amelyek során a két kihúzott golyó színe megegyezik.

2.) Két egy méter hosszú botot véletlenszerűen, (egymástól függetlenül) egyenletes eloszlással eltörünk. Az első eltört bot rövidebb és a második eltört bot hosszabb darabját összeragasztjuk. Mi annak a valószínűsége, hogy az így kapott új bot hossza kisebb, mint 0.9 méter?

3.) Egy vizsgán 19 diák vesz részt. Összesen 11 vizsgakérdés van, amelyek közül minden diák kettőt kap. 9 diák kiválóan, 6 diák jól, és négy diák közepesen készült fel. Egy kiválóan felkészült diák mind a 11 kérdésre jól tud válaszolni, egy jól felkészült diák 8-ra, egy közepesen felkészült diák pedig 6-ra. Egy diák helyes választ ad mind a két kérdésre. Mi annak a valószínűsége, hogy ő a jól felkészült diákok közé tartozik?

4.) Legyen ξ és η két független, normális eloszlású valószínűségi változó Eξ = 1 és Eη = −2 várható értékekkel valamint Var ξ = 2 és Var η = 1 szórásnégyzetekkel. Számolja ki az E(ξ + η)^{4} várható értéket.

5.) Egy pénzdarabról az a feltevésünk, hogy ha feldobjuk, akkor \frac{2}{3} valószínűséggel esik a fej és \frac{1}{3} valószínűséggel az írás oldalára. Ennek ellenőrzése érdekében feldobjuk a pénzdarabot 18 000 alkalommal. Akkor tekintjük feltevésünket helyesnek, ha körülbelül 12 000 alkalommal történt fejdobás. Válasszunk egy viszonylag kis intervallumot, és fogadjuk el feltevésünket helyesnek akkor, ha a fejdobások száma ebbe az intervallumba esik. Hogyan válasszuk ezt az intervallumot, ha azt akarjuk, hogy döntésünk elsőfajú hibája kisebb legyen, mint 0.1, azaz amennyiben a pénzdarab rendelkezik a feltételezett tulajdonsággal, akkor a dobássorozat eredménye alapján feltevésünket 0.9 valószínűséggel helyesnek fogadjuk el?

6.) Legyen adva egy urna, benne M fehér és N piros golyó. Kihúzunk az urnából n, n ≤ N + M, golyót visszatevés nélkül. Jelölje a ξ valószínűségi változó a kihúzott piros golyók számát. Mi a ξ valószínűségi változó eloszlása? Számolja ki a ξ valószínűségi változó várható értékét és szórásnégyzetét.

7.) Feldobunk egy szabályos dobókockát, majd egy szabályos pénzdarabot annyi alkalommal, amennnyi a dobás eredménye volt. Megfigyeljük ennek a dobássorozatnak az eredményét. Konstruáljon egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőt, és definiáljon rajta olyan eseményeket, amelyek együttese tekinthető a fenti véletlen kisérlet modelljének.