\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\parskip=4pt plus 1.5pt
\nopagenumbers
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}


\centerline{\bf A j\'unius 11.-i vizsga feladatai.}
\medskip


\item{1.)} Adott k\'et urna, mindkett\H{o}ben 20 piros \'es 30
feh\'er goly\'o. Kih\'uzunk egym\'as ut\'an t\'{\i}z alkalommal
egy-egy goly\'ot mind a k\'et urn\'ab\'ol. Az els\H{o} urn\'ab\'ol
visszatev\'essel, a m\'asodik urn\'ab\'ol visszatev\'es n\'elk\"ul
h\'uzzuk ki a goly\'ot. Sz\'amoljuk ki azon h\'uz\'asp\'arok
sz\'am\'anak a v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es
sz\'or\'asn\'egyzet\'et, amelyek sor\'an a k\'et kih\'uzott goly\'o
sz\'{\i}ne megegyezik.



\item{2.)}  K\'et egy m\'eter hossz\'u botot
v\'eletlenszer\H{u}en, (egym\'ast\'ol f\"ug\-get\-le\-n\"ul)
egyenletes eloszl\'assal elt\"or\"unk. Az els\H{o} elt\"ort bot 
r\"ovidebb \'es a m\'asodik elt\"ort bot hosszabb darabj\'at
\"osszeragasztjuk. Mi annak a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge,
hogy az \'{\i}gy kapott \'uj bot hossza kisebb, mint 0.9 m\'eter?


\item{3.)} Egy vizsg\'an 19 di\'ak vesz r\'eszt. \"Osszesen 11
vizsgak\'erd\'es van, amelyek k\"oz\"ul minden di\'ak kett\H{o}t
kap. 9 di\'ak kiv\'al\'oan, 6 di\'ak j\'ol, \'es
n\'egy di\'ak k\"ozepesen k\'esz\"ult fel. Egy kiv\'al\'oan
felk\'esz\"ult di\'ak mind a 11 k\'erd\'esre j\'ol tud
v\'alaszolni, egy j\'ol felk\'esz\"ult di\'ak 8-ra, egy
k\"ozepesen felk\'esz\"ult di\'ak pedig 6-ra. Egy di\'ak
helyes v\'alaszt ad mind a k\'et k\'erd\'esre. Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy \H{o} a j\'ol felk\'esz\"ult
di\'akok k\"oz\'e tartozik?

\item{4.)} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen, norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $E\xi=1$ \'es
$E\eta=-2$ v\'arhat\'o \'ert\'ekekkel valamint $\Var\xi=2$ \'es
$\Var\eta=1$ sz\'or\'asn\'egyzetekkel. Sz\'amolja ki az 
$E(\xi+\eta)^4$ v\'arhat\'o \'ert\'eket.


\item{5.)} Egy p\'enzdarabr\'ol az a feltev\'es\"unk, hogy ha 
feldobjuk, akkor $\frac23$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esik a 
fej  \'es $\frac13$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel az \'{\i}r\'as 
oldal\'ara. Ennek ellen\H{o}rz\'ese \'erdek\'eben feldobjuk a 
p\'enzdarabot 18~000 alkalommal. Akkor tekintj\"uk feltev\'es\"unket
helyesnek, ha k\"or\"ulbel\"ul 12~000 alkalommal t\"ort\'ent
fejdob\'as. V\'alasszunk egy viszonylag kis intervallumot, \'es
fogadjuk el feltev\'es\"unket helyesnek akkor, ha a fejdob\'asok 
sz\'ama ebbe az intervallumba esik. Hogyan v\'alasszuk ezt az 
intervallumot, ha azt akarjuk, hogy d\"ont\'es\"unk els\H{o}faj\'u 
hib\'aja kisebb legyen, mint 0.1, azaz amennyiben a p\'enzdarab 
rendelkezik a felt\'etelezett tulajdons\'aggal, akkor a 
dob\'assorozat eredm\'enye alapj\'an feltev\'es\"unket 
0.9~val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel helyesnek fogadjuk el?




\item{6.)} Legyen adva egy urna, benne $M$ feh\'er \'es $N$
piros goly\'o. Kih\'uzunk az urn\'ab\'ol $n$, $n\le N+M$, goly\'ot 
visszatev\'es n\'elk\"ul. Jel\"olje a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'o a kih\'uzott piros goly\'ok sz\'am\'at. Mi a $\xi$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asa? Sz\'amolja ki a
$\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et 
\'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.


\item{7.)} Feldobunk egy szab\'alyos dob\'okock\'at, majd egy
szab\'alyos p\'enzdarabot annyi alkalommal, amennnyi a dob\'as
eredm\'enye volt. Megfigyelj\"uk ennek a dob\'assorozatnak az
eredm\'eny\'et. Konstru\'aljon egy $(\Omega,\Cal A,P)$ 
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o}t, \'es defini\'aljon 
raj\-ta olyan esem\'enyeket, amelyek egy\"uttese tekinthet\H{o} a 
fen\-ti v\'eletlen kis\'erlet mo\-dell\-j\'e\-nek.

\bye


\item{7.)} Hogy sz\'ol a Fubini t\'etel? Mi\'ert k\"ovetkezik
bel\H{o}le, hogy f\"uggetlen k\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'o szorzat\'anak a v\'arhat\'o \'ert\'eke megegyezik e 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok v\'rhat\'o \'ert\'ek\'enek
a szorzat\'aval?

\item{6.)} Mikor mondjuk, hogy $n$ darab $\xi_1,\dots,\xi_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o f\"uggetlen?
Mikor mondjuk, hogy $n$ darab $A_1,\dots,A_n$ esem\'eny
f\"uggetlen? Mutasson p\'eld\'at h\'arom olyan esem\'enyre,
amelyek p\'aronk\'ent f\"uggetlenek, de nem f\"uggetlenek.

\bye



\bye


