A június 18.-i vizsga feladatai.

1.) Adott egy urna, benne 10 piros és 30 fehér golyó. Kihúzunk az urnából egymás után tíz alkalommal egy golyót visszatevés nélkül. A páros számú húzásoknál 1 forintot nyerünk, ha fehér, és sem nem nyerünk sem nem veszítünk, ha piros golyót húzunk. A páratlan számú húzásoknál 2 forintot nyerünk, ha piros, és sem nem nyerünk sem nem veszítünk, ha fehér golyót húzunk. Számolja ki nyereményünk várható értékét és szórásnégyzetét.

2.) Legyen ξ és η két független valószínűségi változó, amelyek közül ξ exponenciális eloszlású λ = 1 paraméterrel, azaz sűrűségfüggvénye f(x) = e^{−x}, ha x > 0, és f(x) = 0, ha x < 0, η pedig egyenletes eloszlású a [0, 1] intervallumon, azaz sűrűségfüggvénye g(x) = 1, ha 0 ≤ x ≤ 1, és g(x) = 0, ha x < 0 vagy x > 1. Számolja ki a ξ + η valószínűségi változó sűrűségfüggvényét.

3.) Egy teszt-vizsgán, ahol három lehetőség közül kell kiválasztani a helyes választ ketten vesznek részt. Az első résztvevő p_{1}, a második résztvevő pedig p_{2} valószínűséggel tudja a helyes választ, továbbá a vizsga két résztvevője egymástól függetlenül tudja vagy nem tudja, hogy mi a helyes válasz. Mindkét résztvevő a jó választ jelöli meg, ha tudja azt, ellenkező esetben pedig mindentől függetlenül egyforma valószínűséggel véletlenül bejelöli a három lehetséges válasz valamelyikét. Mi a feltételes valószínűsége annak, hogy mind a két résztvevő a helyes választ jelölte be, feltéve, hogy ugyanazt a választ adta?

4.) Legyen ξ és η két független valószínűségi változó, ξ egyenletes eloszlású a [0, 1], η pedig egyenletes eloszlású a [0, 2] intervallumon. Számolja ki az E(ξ + η)^{3} várható értéket.

5.) Egy gyár által gyártott lámpák élettartamai (egymástól független) exponenciális eloszlású valószínűségi változók, azaz élettartamuk eloszlása F (x) = 1 − e^{−λx}, ha x > 0, és F (x) = 0, ha x < 0 (valamilyen számunkra ismeretlen λ > 0 paraméterrel). Az a feltevésünk, hogy a lámpák várható élettartama (azaz élettartamuk várható értéke) nagyobb, mint 10 óra. Ennek ellenőrzése érdekében veszünk 900 lámpát, és megmérjük ezen lámpák összélettartamát. Akkor fogjuk feltevésünket helyesnek elfogadni, ha az ellenőrzött lámpák összélettartama elég nagy. A lámpák mekkora összélettartama esetén fogadjuk el feltevésünket helyesnek, ha azt akarjuk, hogy döntésünk elsőfajú hibája kisebb legyen, mint 0.1? Az, hogy az elsőfajú hiba kisebb, mint 0.1 azt jelenti, hogy ha feltevésünk igaz, azaz a lámpák várható élettartama legalább 10 óra, akkor méréssorozatunk eredménye alapján feltevésünket legalább 0.9 valószínűséggel fogadjuk el helyesnek.

6.) Mikor mondjuk, hogy n darab ξ_{1}, …, ξ_{n} valószínűségi változó független? Mikor mondjuk, hogy n darab A_{1}, …, A_{n} esemény független? Mutasson példát három olyan eseményre, amelyek páronként függetlenek, de nem függetlenek.

7.) Milyen feltételeket kell teljesítenie egy kétváltozós F (x, y), −∞ < x, y < ∞, függvénynek ahhoz, hogy egy két-dimenziós véletlen vektor eloszlásfüggvényének legyen tekinthető?