\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\parskip=4pt plus 1.5pt
\nopagenumbers
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}


\centerline{\bf A j\'unius 18.-i vizsga feladatai.}
\medskip


\item{1.)} Adott egy urna, benne 10 piros \'es 30 feh\'er 
goly\'o. Kih\'uzunk az urn\'ab\'ol egym\'as ut\'an t\'{\i}z 
alkalommal egy goly\'ot visszatev\'es n\'elk\"ul. A p\'aros 
sz\'am\'u h\'uz\'asokn\'al 1 forintot nyer\"unk, ha feh\'er, 
\'es sem nem nyer\"unk sem nem vesz\'{\i}t\"unk, ha piros 
goly\'ot h\'uzunk. A p\'aratlan sz\'am\'u h\'uz\'asokn\'al 
2 forintot nyer\"unk, ha piros, \'es sem nem nyer\"unk sem 
nem vesz\'{\i}t\"unk, ha feh\'er goly\'ot h\'uzunk. 
Sz\'amolja ki nyerem\'eny\"unk v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et 
\'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.



\item{2.)} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelyek k\"oz\"ul 
$\xi$ exponenci\'alis eloszl\'as\'u $\lambda=1$ param\'eterrel, 
azaz s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=e^{-x}$, ha $x>0$, 
\'es $f(x)=0$, ha $x<0$, $\eta$ pedig egyenletes eloszl\'as\'u 
a $[0,1]$ intervallumon, azaz s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$g(x)=1$, ha $0\le x\le 1$, \'es $g(x)=0$, ha $x<0$ vagy $x>1$.
Sz\'amolja ki a $\xi+\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et. 


\item{3.)}  Egy teszt-vizsg\'an, ahol h\'arom lehet\H{o}s\'eg k\"oz\"ul
kell kiv\'alasztani a helyes v\'alaszt ketten vesznek r\'eszt. Az
els\H{o} r\'esztvev\H{o} $p_1$, a m\'asodik r\'esztvev\H{o} pedig
$p_2$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel tudja a helyes v\'alaszt,
tov\'abb\'a a vizsga k\'et r\'esztvev\H{o}je egym\'ast\'ol
f\"uggetlen\"ul tudja vagy nem tudja, hogy mi a helyes v\'alasz.
Mindk\'et r\'esztvev\H{o} a j\'o v\'alaszt jel\"oli meg, ha tudja
azt, ellenkez\H{o} esetben pedig mindent\H{o}l f\"uggetlen\"ul
egyforma val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel v\'eletlen\"ul bejel\"oli a
h\'arom lehets\'eges v\'alasz valamelyik\'et. Mi a felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy mind a k\'et r\'esztvev\H{o}
a helyes v\'alaszt jel\"olte be, felt\'eve, hogy ugyanazt a v\'alaszt
adta?


\item{4.)} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, $\xi$ egyenletes
eloszl\'as\'u a $[0,1]$, $\eta$ pedig egyenletes eloszl\'as\'u
a $[0,2]$ intervallumon. Sz\'amolja ki az $E(\xi+\eta)^3$ 
v\'arhat\'o \'ert\'eket.


\item{5.)} Egy gy\'ar \'altal gy\'artott l\'amp\'ak \'elettartamai
(egym\'ast\'ol f\"uggetlen) exponenci\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, azaz \'elettartamuk
eloszl\'asa $F(x)=1-e^{-\lambda x}$, ha $x>0$, \'es $F(x)=0$, ha 
$x<0$ (valamilyen sz\'amunkra ismeretlen $\lambda>0$ 
param\'eterrel). Az a feltev\'es\"unk, hogy a l\'amp\'ak 
v\'arhat\'o \'elettartama (azaz \'elet\-tar\-ta\-muk v\'arhat\'o
\'ert\'eke) nagyobb, mint 10 \'ora. Ennek 
ellen\H{o}rz\'ese \'erdek\'eben vesz\"unk 900 l\'amp\'at,
\'es megm\'erj\"uk ezen l\'amp\'ak \"ossz\'elettartam\'at.
Akkor fogjuk feltev\'es\"unket helyesnek elfogadni, ha az
ellen\H{o}rz\"ott l\'amp\'ak \"ossz\'elettartama el\'eg nagy.
A l\'amp\'ak mekkora \"ossz\'elettartama eset\'en fogadjuk el 
feltev\'es\"unket helyesnek, ha azt akarjuk, hogy 
d\"ont\'es\"unk els\H{o}faj\'u hib\'aja kisebb legyen, mint 0.1? 
Az, hogy az els\H{o}faj\'u hiba kisebb, mint 0.1 azt jelenti, 
hogy ha feltev\'es\"unk igaz, azaz a l\'amp\'ak v\'arhat\'o 
\'elettartama legal\'abb 10 \'ora, akkor m\'er\'essorozatunk 
eredm\'enye alapj\'an fel\-te\-v\'e\-s\"un\-ket legal\'abb 
0.9~va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel fogadjuk el helyesnek.


\item{6.)} Mikor mondjuk, hogy $n$ darab $\xi_1,\dots,\xi_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o f\"uggetlen?
Mikor mondjuk, hogy $n$ darab $A_1,\dots,A_n$ esem\'eny
f\"uggetlen? Mutasson p\'eld\'at h\'arom olyan esem\'enyre,
amelyek p\'aronk\'ent f\"uggetlenek, de nem f\"uggetlenek.


\item{7.)} Milyen felt\'eteleket kell teljes\'{\i}tenie egy
k\'etv\'altoz\'os $F(x,y)$, $-\infty<x,y<\infty$, f\"uggv\'enynek
ahhoz, hogy egy k\'et-dimenzi\'os v\'eletlen vektor 
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'e\-nek legyen tekinthet\H{o}?

\bye


\item{1.)} Adott egy urna, benne 20 piros \'es 30
feh\'er goly\'o. Kih\'uzunk egym\'as ut\'an t\'{\i}z alkalommal
egy goly\'ot visszatev\'essel. Sz\'amoljuk ki az olyan 
h\'uz\'asok sz\'am\'anak a v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et, amikor
mind az adott h\'uz\'asban, mind az azt k\"ovet\H{o} k\'et
h\'uz\'as sor\'an piros goly\'ot h\'uztunk.


\item{6.} Mi az exponenci\'alis eloszl\'as definici\'oja, \'es
mik a r\'ola tanult legfontosabb ered\-m\'e\-nyek?



\item{7.)} Hogy sz\'ol a Fubini t\'etel? Mi\'ert k\"ovetkezik
bel\H{o}le, hogy f\"uggetlen k\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'o szorzat\'anak a v\'arhat\'o \'ert\'eke megegyezik e 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok v\'arhat\'o \'ert\'ek\'enek
a szorzat\'aval?


\bye


