A június 25.-i vizsga feladatai.

1.) Minden héten kitöltöttünk egy lottószelvényt, és addig játszottunk, amíg nem lett egyszer (pontosan) 2 találatunk. Mi a valószínűsége annak, hogy valamelyik héten volt 1 találatunk?

(Egy kiszámolható képletet kérek, nem kell a kérdezett valószínűség értékét numerikusan is kiszámolni.)

2.) Adott egy urna, és abban 20 piros és 30 fehér golyó. Kihúzunk egymás után tíz alkalommal egy golyót visszatevéssel. Számoljuk ki az olyan húzások számának a várható értékét, amelyekre teljesül, hogy mind ebben, mind az őt követő két húzásban piros golyót húztunk.

3.) Három fordulóban játszunk, és minden fordulóban feldobunk egy vagy két szabályos dobókockát. Az első fordulóban egy szabályos dobókockát dobunk fel, a második fordulóban egy szabályos kockát dobunk fel, ha páratlan és kettőt, ha páros volt a kockadobás eredménye az első fordulóban. A harmadik fordulóban két kockát dobunk fel, ha a második fordulóban volt páros dobás, és egyet, ha nem volt páros dobás. Mi a valószínűsége annak, hogy az első fordulóban páros volt a dobás eredménye, feltéve, hogy a harmadik fordulóban volt páros dobás?

4.) Legyen ξ exponenciális eloszlású valószínűségi változó λ = 1 paraméterrel, azaz legyen a sűrűségfüggvénye f(x) = e^{−x}, ha x > 0, és f(x) = 0, ha x < 0. Számolja ki a 2ξ + ξ^{2} valószínűségi változó sűrűségfüggvényét.

5.) Ledobunk a [−1, 1] intervallumra 4500 pontot egyenletes eloszlással, tehát a ledobott pontok helyének a sűrűségfüggvénye f(x) = \frac{1}{2}, ha −1 ≤ x ≤ 1, és f(x) = 0 egyébként. Adjunk jó közelítő becslést egy normális eloszlástáblázat segítségével annak valószínűségére, hogy a kapott pontok értékeinek a négyzetösszege nagyobb, mint 1470.

6.) Mi az exponenciális eloszlás definiciója, és mik a róla tanult legfontosabb eredmények?

7.) Hogy szól a Fubini tétel? Miért következik belőle, hogy független két valószínűségi változó szorzatának a várható értéke megegyezik e valószínűségi változók várható értékének a szorzatával?