\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\parskip=4pt plus 1.5pt
\nopagenumbers
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}


\centerline{\bf A j\'unius 25.-i vizsga feladatai.}
\medskip


\item{1.)} Minden h\'eten kit\"olt\"ott\"unk egy lott\'oszelv\'enyt,
\'es addig j\'atszottunk, am\'{\i}g nem lett egyszer (pontosan) 
2 tal\'alatunk. Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy 
valamelyik h\'eten volt 1 tal\'alatunk?
\item{} (Egy kisz\'amolhat\'o k\'epletet k\'erek, nem kell a
k\'erdezett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'ert\'ek\'et numerikusan is 
kisz\'amolni.)


\item{2.)} Adott egy urna, \'es abban 20 piros \'es 30
feh\'er goly\'o. Kih\'uzunk egym\'as ut\'an t\'{\i}z alkalommal
egy goly\'ot visszatev\'essel. Sz\'amoljuk ki az olyan 
h\'uz\'asok sz\'am\'anak a v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et, amelyekre
teljes\"ul, hogy mind ebben, mind az \H{o}t k\"ovet\H{o} k\'et
h\'uz\'asban piros goly\'ot h\'uztunk.


\item{3.)} H\'arom fordul\'oban j\'atszunk, \'es minden fordul\'oban 
feldobunk egy vagy k\'et szab\'alyos dob\'okock\'at. Az els\H{o} 
fordul\'oban egy szab\'alyos dob\'okock\'at dobunk fel, a m\'asodik 
fordul\'oban egy szab\'alyos kock\'at dobunk fel, ha p\'aratlan 
\'es kett\H{o}t, ha p\'aros volt a kockadob\'as eredm\'enye
az els\H{o} fordul\'oban. A harmadik fordul\'oban k\'et kock\'at 
dobunk fel, ha a m\'asodik fordul\'oban volt p\'aros dob\'as, \'es 
egyet, ha nem volt p\'aros dob\'as. Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege 
annak, hogy az els\H{o} fordul\'oban p\'aros volt a dob\'as 
eredm\'enye, felt\'eve, hogy a harmadik fordul\'oban volt p\'aros 
dob\'as?


\item{4.)} Legyen $\xi$ exponenci\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\lambda=1$ param\'eterrel, 
azaz legyen a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=e^{-x}$, 
ha $x>0$, \'es $f(x)=0$, ha $x<0$. Sz\'amolja ki a $2\xi+\xi^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o 
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et. 

\item{5.)} Ledobunk a $[-1,1]$ intervallumra 4500 pontot egyenletes
eloszl\'assal, teh\'at a le\-do\-bott pontok hely\'enek a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=\frac12$, ha $-1\le x\le1$, \'es
$f(x)=0$ egy\'ebk\'ent. Adjunk j\'o k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est 
egy norm\'alis eloszl\'ast\'abl\'azat seg\'{\i}ts\'eg\'evel annak 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere, hogy  a kapott pontok \'ert\'ekeinek 
a n\'egyzet\"osszege nagyobb, mint 1470. 


\item{6.)} Mi az exponenci\'alis eloszl\'as definici\'oja, \'es
mik a r\'ola tanult legfontosabb ered\-m\'e\-nyek?


\item{7.)} Hogy sz\'ol a Fubini t\'etel? Mi\'ert k\"ovetkezik
bel\H{o}le, hogy f\"uggetlen k\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'o szorzat\'anak a v\'arhat\'o \'ert\'eke megegyezik e 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok v\'arhat\'o \'ert\'ek\'enek
a szorzat\'aval?


\bye


