A június 4.-i vizsga feladatai.

1.) Egy szabályos dobókockát feldobunk egymás után egészen addig, amig megjelenik az első hatos dobás. Mi a valószínűsége annak, hogy ez a dobássorozat tartalmaz négyes vagy ötös dobást?

2.) Egy szabályos pénzdarabot feldobunk 102 alkalommal. Arra vagyunk kiváncsiak, hányszor fordult elő három egymást követő fejdobás. Számoljuk ki ennek várható értékét és szórásnégyzetét.

3.) Van három sziget, az igazmondók, a hazugok és a felelőtlenül fecsegők szigete. Bármely feltett kérdésre az igazmondók szigetén mindenki 0.9 valószínűséggel igaz, a hazugok szigetén pedig 0.8 valószínűséggel hamis választ ad. A felelőtlenül fecsegők szigetén minden kérdésre \frac{1}{2} valószínűséggel igen, \frac{1}{2} valószínűséggel nemmel válaszolnak. Valaki éjjel a viharos tengeren hajózva eljut a három sziget valamelyikére, \frac{1}{3} valószínűséggel az igazmondók, \frac{1}{3} valószínűséggel a hazugok és \frac{1}{3} valószínűséggel a felelőtlenül fecsegők szigetére. Megkérdezi az első szembejövő embert, hogy az igazmondók szigetére került-e. Azt a választ kapja, hogy igen. A második embertől, akivel találkozik azt kérdezi, hogy igaz-e, hogy kétszer kettő néggyel egyenlő. Erre a kérdésre is igenlő választ kap. Mi a valószínűsége annak, hogy emberünk az igazmondók szigetére került?

4.) Legyen ξ és η két független valószínűségi változó. Legyen ξ egyenletes eloszlású a [0, 1] intervallumban, azaz legyen sűrűségfüggvénye f(x) = 1, ha 0 ≤ x ≤ 1, és f(x) = 0 egyébként. Legyen η egyenletes eloszlású a [−1, 0] intervallumban, azaz legyen sűrűségfüggvénye g(x) = 1, ha −1 ≤ x ≤ 0, és g(x) = 0 egyébként. Számolja ki ξ − η sűrűségfüggvényét.

5.) Ledobunk egymástól függetlenül 24 000 pontot a [0, 2] intervalumra egyenletes eloszlással, (azaz annak a valószínűsége, hogy egy ledobott pont értéke x-nél kisebb \frac{x}{2}-vel egyenlő, ha 0 ≤ x ≤ 2, eggyel egyenlő, ha x ≥ 2, és nulla, ha x ≤ 0.) Őrizzük meg azokat a ledobott pontokat, melyek értéke 1-nél kisebb, és hagyjuk el azokat, melyek értéke, nagyobb mint egy. Mi annak a valószínűsége, hogy a megörzött pontok értékeinek az összege 5900 és 6075 közé esik? Adjunk erre a valószínűségre jó közelítő becslést a mellékelt normális eloszlástáblázat segítségével.

6.) Mit jelent az, hogy egy ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású? Mik a Poisson eloszlásról tanult legfontosabb eredmények?

7.) Legyen adva van A_{1}, A_{2}, … eseményeknek egy végtelen sorozata. Mit mond a Borel–Cantelli lemma arról, hogy mikor következik be ezen A_{n} események közül 1 valószínűséggel csak véges sok és mikor következik be közülük 1 valószínűséggel végtelen sok esemény?