\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\parskip=4pt plus 1.5pt
\nopagenumbers
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}


\centerline{\bf A j\'unius 4.-i vizsga feladatai.}
\medskip


\item{1.)} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk egym\'as ut\'an
eg\'eszen addig, amig megjelenik az els\H{o} hatos dob\'as. 
Mi a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge annak, hogy ez a 
dob\'assorozat tartalmaz n\'egyes vagy \"ot\"os dob\'ast? 


\item{2.)} Egy szab\'alyos p\'enzdarabot feldobunk 102 alkalommal.
Arra vagyunk kiv\'ancsiak, h\'anyszor fordult el\H{o} h\'arom
egym\'ast k\"ovet\H{o} fejdob\'as. Sz\'amoljuk ki ennek v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.



\item{3.)} Van h\'arom sziget, az igazmond\'ok, a hazugok \'es 
a felel\H{o}tlen\"ul fecseg\H{o}k szigete. B\'armely feltett 
k\'erd\'esre az igazmond\'ok sziget\'en mindenki 0.9 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel igaz, a hazugok sziget\'en pedig 
0.8~val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel hamis v\'alaszt ad. A 
felel\H{o}tlen\"ul fe\-cse\-g\H{o}k sziget\'en minden 
k\'erd\'esre $\frac12$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel igen, 
$\frac12$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel nemmel v\'a\-la\-szol\-nak. 
Valaki \'ejjel a viharos tengeren haj\'ozva eljut a h\'arom sziget 
valamelyik\'ere, $\frac13$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel 
az igazmond\'ok, $\frac13$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel a hazugok 
\'es $\frac13$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel a felel\H{o}tlen\"ul 
fecseg\H{o}k sziget\'ere. Megk\'erdezi az els\H{o} szembej\"ov\H{o} 
embert, hogy az  igazmond\'ok sziget\'ere ker\"ult-e. Azt a 
v\'alaszt kapja, hogy  igen. A m\'asodik embert\H{o}l, akivel 
tal\'alkozik azt k\'erdezi, hogy igaz-e, hogy k\'etszer kett\H{o} 
n\'eggyel egyenl\H{o}. Erre a k\'erd\'esre is igenl\H{o} v\'alaszt 
kap. Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy ember\"unk az 
igazmond\'ok sziget\'ere ker\"ult?



\item{4.)} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. Legyen $\xi$ egyenletes
eloszl\'as\'u a $[0,1]$ intervallumban, azaz legyen
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=1$, ha $0\le x\le1$, \'es
$f(x)=0$ egy\'ebk\'ent. Legyen $\eta$ egyenletes
eloszl\'as\'u a $[-1,0]$ intervallumban, azaz legyen
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $g(x)=1$, ha $-1\le x\le0$,
\'es $g(x)=0$ egy\'ebk\'ent. Sz\'amolja ki $\xi-\eta$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.


\item{5.)} Ledobunk egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul 24~000 pontot a
$[0,2]$ intervalumra egyenletes eloszl\'assal, (azaz annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy egy ledobott pont \'ert\'eke
$x$-n\'el kisebb $\frac x2$-vel egyenl\H{o}, ha $0\le x\le 2$, eggyel
egyenl\H{o}, ha $x\ge2$, \'es nulla, ha $x\le0$.) \H{O}rizz\"uk meg
azokat a ledobott pontokat, melyek \'ert\'eke 1-n\'el kisebb, \'es
hagyjuk el azokat, melyek \'ert\'eke, nagyobb mint egy. Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a meg\"orz\"ott pontok \'ert\'ekeinek
az \"osszege 5900  \'es 6075 k\"oz\'e esik? Adjunk erre a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre j\'o k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est
a mell\'ekelt norm\'alis eloszl\'ast\'abl\'azat
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.


\item{6.)} Mit jelent az, hogy egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o Poisson eloszl\'as\'u? Mik a Poisson eloszl\'asr\'ol
tanult legfontosabb eredm\'enyek?


\item{7.)} 
Legyen adva van $A_1,A_2,\dots$ ese\-m\'e\-nyek\-nek egy
v\'egtelen sorozata. Mit mond a Borel--Cantelli lemma arr\'ol, hogy
mikor k\"ovetkezik be ezen $A_n$ esem\'enyek k\"o\-z\"ul 
1~val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel csak v\'eges sok 
\'es mikor k\"ovetkezik be k\"oz\"ul\"uk
1~va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel v\'egtelen sok esem\'eny?






\bye
