A május 21.-i vizsga feladatai.

1.) Egy szabályos dobókockát addig dobunk fel egymás után, amíg 5. alkalommal jelenik meg egy hatos dobás. Mi a valószínűsége annak, hogy az utolsó előtti dobás eredménye egy páros szám?

2.) Egy urnában 20 piros és 30 fehér golyó van. Kihúzunk visszatevéssel 101 golyót. Jelölje ξ azon húzások számát, amikor a kihúzott golyó színe megegyezik az előzőleg kihúzott golyó színével. Számoljuk ki ξ várható értékét és szórásnégyzetét.

3.) Egy utazó az útlevelét keresi íróasztalának 6 fiókjában. De egyáltalán nem biztos, hogy az útlevél az íróasztalban található. Ennek valószínűsége 0.9, és az útlevél egyforma valószínűséggel lehet mindegyik fiókban. Mennyi annak a valószínűsége, hogy az útlevél a 6. fiókban van, ha az utazó az első 5 fiókot már kinyitotta, de ezek egyikében sem találta az útlevelét?

4.) Legyen ξ exponenciális eloszlású valószínűségi változó λ = 1 paraméterrel, azaz legyen ξ sűrűségfüggvénye f(x) = e^{−x}, ha x ≥ 0, és f(x) = 0, ha x < 0. Számolja ki a ξ + ξ^{2} valószínűségi változó sűrűségfüggvényét.

5.) Egy pénzdarabról ellenőrizni akarjuk, hogy igaz-e az a hipotézis, amely szerint ez az érme legalább \frac{3}{4} valószínűséggel esik a fej és legfeljebb \frac{1}{4} valószínűséggel az írás oldalára. Ennek érdekében feldobjuk a pénzdarabot 30 000 alkalommal, és a következő döntési szabályt hozzuk. Választunk egy k számot, és akkor fogadjuk el a hipotézist helyesnek, ha legalább k fejdobás történt. Legalább mekkorának kell választanunk ezt a k számot, ha azt akarjuk, hogy egy a hipotézist teljesítő pénzdarab esetén legalább 0.9 valószínűséggel döntsünk úgy, hogy a hipotézis teljesül?

6.) Mikor mondjuk, hogy F_{n}(x) eloszlásfüggvények sorozata, n = 1, 2, …, eloszlásban konvergál egy F_{0}(x) eloszlásfúggvényhez?

7.) Mi a negatív binomiális és speciálisan a geometriai eloszlás definiciója, illetve szemléletes (valószínűségszámítási) tartalma? Milyen kapcsolat van az általános negatív binomiális és a geometriai eloszlás között?