\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\parskip=4pt plus 1.5pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}


\centerline{\bf A m\'ajus 21.-i vizsga feladatai.}

\item{1.)} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at addig dobunk fel egym\'as 
ut\'an, am\'{\i}g 5. alkalommal jelenik meg egy hatos dob\'as. Mi a 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy az utols\'o el\H{o}tti 
dob\'as eredm\'enye egy p\'aros sz\'am?


\item{2.)} Egy urn\'aban 20 piros \'es 30 feh\'er goly\'o van.
Kih\'uzunk visszatev\'essel 101 goly\'ot. Jel\"olje $\xi$ azon
h\'uz\'asok sz\'am\'at, amikor a kih\'uzott goly\'o sz\'{\i}ne
megegyezik az el\H{o}z\H{o}leg kih\'uzott goly\'o sz\'{\i}n\'evel.
Sz\'amoljuk ki $\xi$ v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es
sz\'or\'asn\'egyzet\'et.


\item{3.)} Egy utaz\'o az \'utlevel\'et keresi
\'{\i}r\'oasztal\'anak 6 fi\'okj\'aban. De egy\'altal\'an nem
biztos, hogy az \'utlev\'el az \'{\i}r\'oasztalban tal\'alhat\'o.
Ennek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege 0.9, \'es az \'utlev\'el egyforma
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel lehet mindegyik fi\'okban. Mennyi annak
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az \'utlev\'el a 6. fi\'okban
van, ha az utaz\'o az els\H{o} 5 fi\'okot m\'ar kinyitotta, de ezek
egyik\'eben sem tal\'alta az \'utlevel\'et?


\item{4.)}  Legyen $\xi$ exponenci\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\lambda=1$ param\'eterrel,
azaz legyen $\xi$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=e^{-x}$, ha
$x\ge0$, \'es $f(x)=0$, ha $x<0$. Sz\'amolja ki a $\xi+\xi^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.


\item{5.)} Egy p\'enzdarabr\'ol ellen\H{o}rizni akarjuk, hogy igaz-e
az a hipot\'ezis, amely szerint ez az \'erme legal\'abb $\frac34$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esik a fej \'es legfeljebb $\frac14$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel az \'{\i}r\'as oldal\'ara. Ennek
\'erdek\'eben feldobjuk a p\'enzdarabot 30~000 alkalommal, \'es a
k\"ovetkez\H{o} d\"ont\'esi szab\'alyt hozzuk. V\'alasztunk egy $k$
sz\'amot, \'es akkor fogadjuk el a hipot\'ezist helyesnek, ha
legal\'abb $k$ fejdob\'as t\"ort\'ent. Legal\'abb mekkor\'anak kell
v\'alasztanunk ezt a $k$ sz\'amot, ha azt akarjuk, hogy egy a
hipot\'ezist teljes\'{\i}t\H{o} p\'enzdarab eset\'en legal\'abb 0.9
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel d\"onts\"unk \'ugy, hogy a
hipot\'ezis teljes\"ul?


\item{6.)} Mikor mondjuk, hogy $F_n(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek
sorozata, $n=1,2,\dots$, eloszl\'asban konverg\'al egy $F_0(x)$ 
eloszl\'asf\'uggv\'enyhez?


\item{7.)} Mi a negat\'{\i}v binomi\'alis \'es speci\'alisan a 
geometriai eloszl\'as definici\'oja, illetve szem\-l\'e\-le\-tes 
(val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asi) tartalma? Milyen
kapcsolat van az \'altal\'anos negat\'{\i}v binomi\'alis \'es a
geometriai eloszl\'as k\"oz\"ott?



\bye
