A május 28.-i vizsga feladatai.

1.) Egy szabályos dobókockát feldobunk egymás után végtelen sokszor. Mi annak a valószínűsége, hogy a hatodik hárommal osztható szám a harmadik hárommal osztható dobás után 20 dobással később jelenik meg?

2.) Egy urnában 20 piros és 30 fehér golyó van. Kihúzunk visszatevés nélkül 20 alkalommal egy golyót, és ettől függetlenül feldobunk minden egyes húzás után egy szabályos pénzdarabot. Ha a j-ik alkalommal piros golyót húzunk ki, és a pénzdobás eredménye fej, akkor egy forintot nyerünk, ellenkező esetben nem nyerünk, és nem is veszítünk semmit. Számolja ki nyereményünk várható értékét és szórásnégyzetét.

3.) Feldobunk egy szabályos dobókockát, majd ezután két szabályos dobókockát dobunk fel akkor, ha a dobás eredménye páros és egy dobókockát, ha a dobás eredménye páratlan szám. Mi a feltételes valószínűsége annak, hogy az első dobásban hatost dobtunk, feltéve, hogy a második dobásban nem jelent meg hatos dobás?

4.) Legyen ξ és η két független exponenciális eloszlású valószínűségi változó λ = 1 paraméterrel, azaz legyen mind ξ mind η sűrűségfüggvénye f(x) = e^{−x}, ha x ≥ 0, és f(x) = 0, ha x < 0. Számolja ki a ξ − η valószínűségi változó sűrűségfüggvényét.

5.) A következő játékot játsszuk. Két szabályos pénzdarabot feldobnak egymás után 10 000 alkalommal. Ha egy dobás eredménye két fejdobás akkor 2 forintot nyerünk, ha az eredmény két írásdobás akkor 2 forintot vesztünk, ha az eredmény egy fej és egy írásdobás akkor 1 forintot nyerünk. Adjunk jó becslést a mellékelt normális eloszástáblázat alapján annak a valószínűségére, hogy nyereményünk összege 4850 és 5300 forint között lesz.

6.) Mit jelent az, hogy teljesül a nagy számok gyenge, illetve a nagy számok erős törvénye? Mi a szükséges és elégséges feltétele annak, hogy teljesüljön a nagy számok erős törvénye?

7.) Mi egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőnek és egy ezen a valószínűségi mezőn definiált eseménynek illetve valószínűségi változónak a definiciója?