\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\parskip=4pt plus 1.5pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}


\centerline{\bf A m\'ajus 28.-i vizsga feladatai.}
\medskip


\item{1.)} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk egym\'as ut\'an
v\'egtelen sokszor. Mi annak a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, 
hogy a hatodik h\'arommal oszthat\'o sz\'am
a harmadik h\'arommal oszthat\'o dob\'as ut\'an 20 dob\'assal 
k\'es\H{o}bb jelenik meg?


\item{2.)} Egy urn\'aban 20 piros \'es 30 feh\'er goly\'o van.
Kih\'uzunk visszatev\'es n\'elk\"ul 20 alkalommal egy goly\'ot,
\'es ett\H{o}l f\"uggetlen\"ul feldobunk minden egyes h\'uz\'as
ut\'an egy szab\'alyos p\'enzdarabot. Ha a $j$-ik alkalommal
piros goly\'ot h\'uzunk ki, \'es a p\'enzdob\'as eredm\'enye 
fej, akkor egy forintot nyer\"unk, ellenkez\H{o} esetben nem
nyer\"unk, \'es nem is vesz\'{\i}t\"unk semmit. Sz\'amolja ki
nyerem\'eny\"unk v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es
sz\'or\'asn\'egyzet\'et.


\item{3.)} Feldobunk egy szab\'alyos dob\'okock\'at, majd ezut\'an
k\'et szab\'alyos dob\'okock\'at do\-bunk fel akkor, ha a dob\'as
eredm\'enye p\'aros \'es egy dob\'okock\'at, ha a dob\'as
ered\-m\'e\-nye p\'aratlan sz\'am. Mi a felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy az els\H{o} dob\'asban hatost
dobtunk, felt\'eve, hogy a m\'asodik dob\'asban  nem jelent meg
hatos dob\'as?


\item{4.)}  Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen 
exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'o $\lambda=1$ param\'eterrel, azaz legyen mind $\xi$ mind
$\eta$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=e^{-x}$, ha
$x\ge0$, \'es $f(x)=0$, ha $x<0$. Sz\'amolja ki a $\xi-\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.


\item{5.)} A k\"ovetkez\H{o} j\'at\'ekot j\'atsszuk. K\'et szab\'alyos
p\'enzdarabot feldobnak egym\'as ut\'an 10~000 alkalommal. Ha egy
dob\'as eredm\'enye k\'et fejdob\'as akkor 2 forintot nyer\"unk, ha
az eredm\'eny k\'et \'{\i}r\'asdob\'as akkor 2 forintot veszt\"unk,
ha az eredm\'eny egy fej \'es egy \'{\i}r\'asdob\'as akkor 1 forintot
nyer\"unk. Adjunk j\'o becsl\'est a mell\'ekelt norm\'alis
elosz\'ast\'abl\'azat alapj\'an annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere,
hogy nyerem\'eny\"unk \"osszege 4850 \'es 5300 forint k\"oz\"ott lesz.


\item{6.)} Mit jelent az, hogy teljes\"ul a nagy sz\'amok gyenge,
illetve a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'enye? Mi a sz\"uks\'eges
\'es el\'egs\'eges felt\'etele annak, hogy teljes\"ulj\"on
a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'enye?


\item{7.)} Mi egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}nek \'es egy ezen a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n 
defini\'alt esem\'enynek illetve val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'onak a definici\'oja?


\bye


\item{7.)} 
Legyen adva van $A_1,A_2,\dots$ ese\-m\'e\-nyek\-nek egy
v\'egtelen sorozata. Mit mond a Borel--Cantelli lemma arr\'ol, hogy
mikor k\"ovetkezik be ezen $A_n$ esem\'enyek k\"o\-z\"ul 
1~val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel csak v\'eges sok 
\'es mikor k\"ovetkezik be k\"oz\"ul\"uk
1~va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel v\'egtelen sok esem\'eny?






\bye
