Feladatok:

Először a Wiener folyamat és a Brown bridge kapcsolatával foglalkozunk. Egy W (t), 0 ≤ t ≤ 1, Wiener folyamat a [0, 1] intervallumon olyan folytonos trajektóriájú Gauss folyamat, amelyre EW (t) = 0, EW (s)W (t) = min(s, t), ha 0 ≤ s, t ≤ 1, Egy B(t), 0 ≤ t ≤ 1, olyan folytonos trajektóriájú Gauss folyamat, amelyre EB(t) = 0, EB(s)B(t) = s(1 − t), ha 0 ≤ s ≤ t ≤ 1.

1.) Legyen W (t) Wiener folyamat a [0, 1] intervallumon, Egy B(t) folytonos trajektóriájú sztochasztikus folyamat, akkor és csak akkor Brown bridge, ha a véges dimenziós eloszlásai megegyeznek az alábbi B_{0}(t) sztochasztikus folyamat véges dimenziós eloszlásaival. B_{0}(t) = W (t) − tW (1), 0 ≤ t ≤ 1. A B_{0}(t) Brown bridge és a W (1) valószínűségi változó független egymástól.

2.) Legyen B(t), 0 ≤ t ≤ 1, Brown bridge, és legyenek adva valamely 0 ≤ s ≤ u ≤ v ≤ 1 számok. Mutassa meg, hogy E[B(u) − B(s)][B(v) − B(s)] = (u − s)(1 − v + s).

3.) Legyen adva egy W (t), 0 ≤ t ≤ 1, Wiener folyamat. Rögzítsünk valamely 0 ≤ s ≤ t ≤ 1 számokat, és konstruáljuk meg a Wiener folyamat segítségével a következő B_{0}(u), s ≤ u ≤ t, sztochasztikus folyamatot az [s, t] intervallumon. B_{0}(u) = [W (u) − W (s)] − \frac{u−s}{t−s}[W (t) − W (s)], s ≤ u ≤ t. Ez tekinthető egy átskálázott Brown bridge-nek a következő értelemben. A B(u) = (t − s)^{−1/2}B_{0}(s + u(t − s)), 0 ≤ u ≤ 1, sztochasztikus folyamat Brown bridge. Továbbá, a B_{0}(u), s ≤ u ≤ t, sztochasztikus folyamat és a W (t) − W (s) valószínűségi változó függetlenek.

Megjegyzés. A konstruált B(t) sztochasztikus folyamat folytonos trajektóriájú Gauss folyamat nulla várható értékkel. Ahhoz, hogy belássuk, hogy Brown bridge elég megmutatni, hogy EB(u)B(v) = u(1 − v), ha 0 ≤ u ≤ v ≤ 1.

4.) Bizonyítsuk be a “Néhány alapvető eredmény a ξ^{2} statisztikáról” című ismertetés 3. feladatának eredményét a Cochran–Fisher tétel segítségével. A bizonyításban azt mutassuk meg először, hogy a X_{1}, …, X_{k} valószínűségi változók által meghatározott X_{1}^{2} + ⋯ + X_{k}^{2} − (\sqrt{p_{1}}X_{1} + ⋯ + \sqrt{p_{k}}X_{k})^{2} kvadratikus alakhoz, ahol a p_{j} együtthatókra ∑_{j=1}^{k} p_{j} = 1, olyan (p_{i,j}), 1 ≤ i, j ≤ k, szimmetrikus mátrix tartozik, amelynek elemeit a p_{i,i} = 1 − p_{i}, p_{i,j} = −\sqrt{p_{i}p_{j}}, ha i ≠ j, 1 ≤ i, j ≤ k, képlet adja meg 1 ≤ j ≤ k, konstansokkal, és egy ilyen mátrix rangja legfeljebb k − 1. (Azt kell észrevenni, hogy ha az i-edik sort beszorzom \sqrt{p_{i}}-vel, akkor az így kapott sorok összege nulla.)

Ismeretes az eloszlásban való konvergencia következő jellemzése. Tekintsünk az egyszerűség kedvéért csak értékeit az R^{k} Euklideszi téren felvevő valószínűségi változókat. Vegyük ξ_{n}, n = 0, 1, 2, …, valószínűségi változók egy sorozatát. A ξ_{n}, n = 1, 2, , …, sorozat akkor és csak akkor konvergál eloszlásban a ξ_{0} valószínűségi változóhoz, ha Eg(ξ_{n}) → Eg(ξ_{0}) minden (az R^{k} Euklideszi téren definiált) folytonos és korlátos g(x) függvényre.

5.) Bizonyítsa be az eloszlásban való konvergencia fenti jellemzésének a segítségével azt, hogy ha ξ_{n}, n = 1, 2, , …, valószínűségi változók egy sorozata eloszlásban konvergál egy ξ_{0} valószínűségi változóhoz, és h(x) egy folytonos függvény (azon az R^{k} téren, ahol a ξ_{n} valószínűségi változók felveszik az értéküket), akkor a h(ξ_{n}), n = 1, 2, , …, valószínűségi változók sorozata eloszlásban konvergál a h(ξ_{0}) valószínűségi változóhoz.

6.. Legyen adva egy (f_{1}(x), …, f_{n}(x)) vektor értékű függveny (valós szám értékű koordinátákkal), ahol x ∈ X valamilyen X téren, és egy μ mérték az X téren. Definiáljuk az A_{i,j} = ∫ f_{i}(x)f_{j}(x)μ( dx koordinátákból a álló, (A_{i,j}), 1 ≤ i, j ≤ n, n × n méretű mátrixot. Bizonyítsa be, hogy ez az (A_{i,j}), 1 ≤ i, j ≤ n, mátrix pozitív szemidefinit. Bizonyítsa be ezen eredmény segítségével, hogy a többdmenziós Cramer–Rao egyenlőtlenségben szereplő Fisher-féle információ mátrix pozitív szemidefinit.

7.) Legyen egy normális eloszlású (Z_{1}, … Z_{k}) vektor vérható érték vektora 0, kovariancia mátrixa D = (D_{i,j}), 1 ≤ i, j ≤ k. Tekintsük a Z = ∑_{i=1}^{k} a_{i}Z_{i} valószínűségi változót valamilyen a_{1}, … a_{k} együtthatókkal. Mutassa meg, hogy Z normális eloszlású valószínűségi változó nulla várható értékkel, és (a_{1}, …, a_{k})D(a_{1}, …, a_{k})^{T} szórásnégyzettel. Ha a Z^{(n)} = (Z_{1}^{(n)}, …, Z_{k}^{(n)}), n = 1, 2, …, véletlen vektorok eloszlásban konvergálnak a Z véletlen vektorhoz, n → ∞ esetén, akkor a ∑_{i=1}^{k} Z_{i}^{(n)} valószínűségi változók eloszlásban kovergálnak a ∑_{i=1}^{k} Z_{i} valószínűségi változóhoz n → ∞ esetén.