\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\parskip=4pt
\nopagenumbers

\noindent{\bf Feladatok:}

\medskip
El\H{o}sz\"or a Wiener folyamat \'es a Brown bridge kapcsolat\'aval
foglalkozunk. Egy $W(t)$, $0\le t\le 1$, Wiener folyamat a $[0,1]$ 
intervallumon olyan folytonos trajekt\'ori\'aj\'u Gauss folyamat,
amelyre $EW(t)=0$, $EW(s)W(t)=\min(s,t)$, ha $0\le s,t\le 1$, Egy
$B(t)$, $0\le t\le 1$, olyan folytonos trajekt\'ori\'aj\'u Gauss folyamat,
amelyre $EB(t)=0$, $EB(s)B(t)=s(1-t)$, ha $0\le s\le t\le 1$.

\medskip
\item{1.)} Legyen $W(t)$ Wiener folyamat a $[0,1]$ intervallumon,
Egy $B(t)$ folytonos tra\-jek\-t\'o\-ri\'a\-j\'u sztochasztikus folyamat,
akkor \'es csak akkor Brown bridge, ha a v\'eges dimenzi\'os
eloszl\'asai megegyeznek az al\'abbi $B_0(t)$ sztochasztikus
folyamat v\'eges dimenzi\'os eloszl\'asaival. $B_0(t)=W(t)-tW(1)$,
$0\le t\le 1$. A $B_0(t)$ Brown bridge \'es a $W(1)$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o f\"uggetlen egym\'ast\'ol.

\item{2.)} Legyen $B(t)$, $0\le t\le 1$, Brown bridge, \'es legyenek
adva valamely $0\le s\le u\le v\le1$ sz\'amok. Mutassa meg,
hogy $E[B(u)-B(s)][B(v)-B(s)]=(u-s)(1-v+s)$.

\item{3.)} Legyen adva egy $W(t)$, $0\le t\le 1$, Wiener folyamat. 
R\"ogz\'{\i}ts\"unk valamely $0\le s\le t\le1$ sz\'amokat, \'es
konstru\'aljuk meg a Wiener folyamat seg\'{\i}ts\'eg\'evel a 
k\"ovetkez\H{o} $B_0(u)$, $s\le u\le t$, sztochasztikus folyamatot
az $[s,t]$ intervallumon. $B_0(u)=[W(u)-W(s)]-\frac{u-s}{t-s}[W(t)-W(s)]$,
$s\le u\le t$. Ez tekinthet\H{o} egy \'atsk\'al\'azott Brown bridge-nek
a k\"ovetkez\H{o} \'ertelemben. A $B(u)=(t-s)^{-1/2}B_0(s+u(t-s))$, 
$0\le u\le1$, sztochasztikus folyamat Brown bridge. Tov\'abb\'a, a 
$B_0(u)$, $s\le u\le t$, sztochasztikus folyamat \'es a $W(t)-W(s)$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o f\"uggetlenek.

\item{} {\it Megjegyz\'es.}\/ A konstru\'alt $B(t)$ sztochasztikus
folyamat folytonos trajekt\'ori\'aj\'u Gauss folyamat nulla v\'arhat\'o
\'ert\'ekkel. Ahhoz, hogy bel\'assuk, hogy Brown bridge el\'eg megmutatni,
hogy $EB(u)B(v)=u(1-v)$, ha $0\le u\le v\le1$.

\item{4.)} Bizony\'{\i}tsuk be a ``N\'eh\'any alapvet\H{o} eredm\'eny a
$\xi^2$ statisztik\'ar\'ol'' c\'{\i}m\H{u} ismertet\'es 3. feladat\'anak 
eredm\'eny\'et a Cochran--Fisher t\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel. A 
bizony\'{\i}t\'asban azt mutassuk meg el\H{o}sz\"or, hogy a
$X_1,\dots,X_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'altal
meg\-ha\-t\'a\-ro\-zott
$X_1^2+\cdots+X_k^2-(\sqrt{p_1}X_1+\cdots+\sqrt{p_k}X_k)^2$ 
kvadratikus alakhoz, ahol a $p_j$ egy\"utthat\'okra 
$\sum_{j=1}^kp_j=1$, olyan  $(p_{i,j})$, $1\le i,j\le k$, szimmetrikus
m\'atrix tartozik, amelynek elemeit a $p_{i,i}=1-p_i$, 
$p_{i,j}=-\sqrt{p_i p_j}$, ha $i\neq j$, $1\le i,j\le k$, k\'eplet 
adja meg $1\le j\le k$, konstansokkal, \'es egy ilyen m\'atrix rangja
legfeljebb $k-1$. (Azt kell \'eszrevenni, hogy ha az $i$-edik sort 
beszorzom $\sqrt{p_i}$-vel, akkor az \'{\i}gy kapott sorok \"osszege nulla.)


\medskip
Ismeretes az eloszl\'asban val\'o konvergencia k\"ovetkez\H{o} 
jellemz\'ese. Tekints\"unk az egyszer\H{u}s\'eg kedv\'e\'ert csak 
\'ert\'ekeit az $R^k$ Euklideszi t\'eren felvev\H{o} 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'o\-kat. Vegy\"uk 
$\xi_n$, $n=0,1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok 
egy sorozat\'at. A $\xi_n,$ $n=1,2,,\dots$, sorozat akkor \'es 
csak akkor konverg\'al eloszl\'asban a $\xi_0$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz, ha 
$Eg(\xi_n)\to Eg(\xi_0)$ minden (az $R^k$ Euklideszi t\'eren 
defini\'alt) folytonos \'es korl\'atos $g(x)$ f\"uggv\'enyre.

\medskip
\item{5.)} Bizony\'{\i}tsa be az eloszl\'asban val\'o konvergencia fenti
jellemz\'es\'enek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel azt, hogy ha   
$\xi_n$, $n=1,2,,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egy 
sorozata  eloszl\'asban konverg\'al egy $\xi_0$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz, \'es $h(x)$ egy folytonos 
f\"uggv\'eny (azon az $R^k$ t\'eren, ahol a $\xi_n$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok felveszik az \'ert\'ek\"uket),
akkor a $h(\xi_n)$, $n=1,2,,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'ok sorozata eloszl\'asban konverg\'al a $h(\xi_0)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'o\-hoz. 

\item{6..} Legyen adva egy $(f_1(x),\dots,f_n(x))$ vektor \'ert\'ek\H{u}
f\"uggveny (val\'os sz\'am \'ert\'ek\H{u} koordin\'at\'akkal), ahol 
$x\in{\Cal X}$ valamilyen ${\Cal X}$ t\'eren, \'es egy
$\mu$ m\'ert\'ek az ${\Cal X}$ t\'eren. Defini\'aljuk az 
$A_{i,j}= \int f_i(x)f_j(x)\mu(\,dx$ koordin\'at\'akb\'ol a
\'all\'o, $(A_{i,j})$, $1\le i,j\le n$, $n\times n$ m\'eret\H{u}
m\'atrixot. Bizony\'{i}tsa be, hogy ez az $(A_{i,j})$, $1\le i,j\le n$,
m\'atrix pozit\'{\i}v szemidefinit. Bizony\'{\i}tsa be ezen eredm\'eny 
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy a t\"obbdmenzi\'os Cramer--Rao 
egyenl\H{o}tlens\'egben szerepl\H{o} Fisher-f\'ele inform\'aci\'o
m\'at\-rix pozit\'{\i}v szemidefinit.

\item{7.)} Legyen egy norm\'alis eloszl\'as\'u $(Z_1,\dots Z_k)$
vektor v\'erhat\'o \'ert\'ek vektora 0, kovariancia m\'atrixa
$D=(D_{i,j})$, $1\le i,j\le k$. Tekints\"uk a $Z=\sum_{i=1}^k a_iZ_i$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot valamilyen $a_1,\dots a_k$
egy\"utthat\'okkal. Mutassa meg, hogy $Z$ norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o nulla v\'arhat\'o
\'ert\'ekkel, \'es $(a_1,\dots,a_k)D(a_1,\dots,a_k)^T$ 
sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-zet\-tel. Ha a $Z^{(n)}=(Z^{(n)}_1,\dots,Z^{(n)}_k)$, 
$n=1,2,\dots$, v\'eletlen vek\-to\-rok eloszl\'asban konverg\'alnak 
a $Z$ v\'eletlen vektorhoz, $n\to\infty$ eset\'en, akkor a 
$\sum_{i=1}^k Z^{(n)}_i$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi 
v\'altoz\'ok eloszl\'asban koverg\'alnak a $\sum_{i=1}^k Z_i$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz $n\to\infty$ ese\-t\'en.



\bye

