Vizsgakérdések

1.) Mi az elégséges statisztika definiciója? Milyen tételt tanult az elégséges statisztikák jellemzéséről? (Neyman–Fisher faktorizációs tétel).

2.) Milyen eredményt tanult arról, hogy ha van egy elégséges statisztika, akkor elég csak ezen elégséges statisztikán alapuló becslésekkel foglalkozni? (Rao–Blackwell-Kolmogorov tétel)

3.) Hogy szól a Neyman–Pearson lemma?

4.) Mi a Wald-féle valószínűséghányados próba? Milyen eredményt tud ennek jó tulajdonságairól? (Wald és Wolfowitz tétele.)

5.) Mi a Fisher információ definiciója? Hogy szól a Cramer–Rao egyenlőtlenség?

6.) Mi a maximum likelihood becslés? Milyen eredményeket tud ezek jó tulajdonságairól?

7.) Mi a Wishart mátrix definiciója? Legyenek X_{1}, …, X_{n} független vektor értékű normális eloszlású valószínűségi változók m várható értékkel és C kovarianciamátrixszal. Definiáljuk az

X̄ = \frac{1}{n} ∑_{j=1}^{n} X_{j}

véletlen vektort és

S = ∑_{j=1}^{n}(X_{j} − X̄)(X_{j} − X̄)^{T}

véletlen mátrixot. Mit tud ezek tulajdonságairól?

8.) Tekintsünk egy vektor értékű normális eloszlást ismeretlen m várható értékkel és C kovarianciamátrixszal. Feltesszük, hogy a C kovarianciamátrix invertálható. Legyen adva egy n elemű X_{1}, …, X_{n} minta ezzel az eloszlással. Mi az m várható érték és C kovarianciamátrix maximum likelihood becslése e minta alapján?

9.) Hogy szól a Cochran–Fisher tétel (kvadratikus alakok négyzetösszegeiről)?

10.) Legyenek Y, X_{1}, …, X_{n} együttesen normális eloszlású valószínűségi változók ismert EY és EX_{j}, 1 ≤ j ≤ k, várható értékekkel Cov (Y, X_{j}), Cov (X_{i}, X_{j}) kovarianciákkal, 1 ≤ i, j ≤ n, és Var Y szórásnégyzettel. Hogyan határozza meg Y legjobb lineáris becslését az X_{1}, …, X_{n} valószínűségi változók segítségével? Mit tud ezen becslés tulajdonságairól?

11.) Mi az egyszempontos varianciaanalízis, illetve a kétszempontos varianciaanalízis feladata interakció nélkül és interakcióval?