A december 14.-i vizsga feladatai.

1.) Két egy méter hosszú botot véletlenszerűen, (egymástól függetlenül) egyenletes eloszlással eltörünk. Az első eltört bot rövidebb és a második eltört bot hosszabb darabját összeragasztjuk. Mi annak a valószínűsége, hogy az így kapott új bot hossza kisebb, mint 0.9 méter?

2.) Legyenek ξ_{1}, ξ_{2}, … független valószínűségi változók, és definiáljuk az S_{n} = ∏_{j=1}^{n} ξ_{j},

n = 1, 2, … szorzatokat. Mikor lesz az S_{1}, S_{2}, … sorozat martingál?

3.) Legyen ξ és η két független valószínűségi változó. Számolja ki az E(ξ^{2}η^{3}+ξ^{3}η^{2}|ξ, η) feltételes várható értéket.

4.) Legyenek ξ_{1}, …, ξ_{n} független, a [−\frac{1}{2}, \frac{1}{2}] intervallumban egyenletes eloszlású valószí-

nűségi változók. Mi a \frac{1}{\sqrt{n}} ∑_{j=1}^{n} ξ_{j} és \frac{1}{\sqrt{n}} ∑_{j=1}^{n} (ξ_{j}^{2} − \frac{1}{12}) valószínűségi változók együttes

eloszlásának a határértéke, ha n → ∞?

5.) Egy A n × n méretű négyzetes mátrixhoz mikor lehet találni olyan (ξ_{1}, …, ξ_{n}) véletlen vektort, amelynek ő a kovariancia mátrixa?

6.) Hogy szól a nagy számok gyenge és a nagy számok erős törvénye?

7.) Fogalmazzon meg (minél általánosabb) olyan határeloszlástételt, amelyben a határérték a Poisson eloszlás.