A december 21.-i vizsga feladatai.

1.) Legyen ξ normális eloszlású valószínűségi változó Eξ = 2 várható értékkel és Var ξ = 4 szórásnégyzettel. Számolja ki az Ee^{ξ} várható értéket.

2.) Legyenek ξ_{1}, ξ_{2}, … független valószínűségi változók, és definiáljuk az S_{n} = ∏_{j=1}^{n} ξ_{j},

n = 1, 2, … szorzatokat. Mikor lesz az S_{1}, S_{2}, … sorozat martingál?

3.) Legyen ξ és η két független valószínűségi változó. Számolja ki az E(ξ^{2}η^{3} + ξ^{3}η^{2}|η) feltételes várható értéket.

4.) Legyenek ξ, η és ζ független standard normális eloszlású valószínűségi változók. Bizonyítsa be, hogy a ξ + η + ζ, 3ξ − 2η − ζ és ξ + 4η − 5ζ valószínűségi változók függetlenek.

5.) Egy A n × n méretű négyzetes mátrixhoz mikor lehet találni olyan (ξ_{1}, …, ξ_{n}) véletlen vektort, amelynek ő a kovariancia mátrixa?

6.) Hogy szól a nagy számok gyenge és a nagy számok erős törvénye?

7.) Fogalmazzon meg olyan (minél általánosabb) határeloszlástételt, amelyben a határérték a Poisson eloszlás.