\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\parskip=4pt plus 1.5pt
\nopagenumbers
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}

\nopagenumbers

\centerline{\bf A december 21.-i vizsga feladatai.}
\medskip


\item{1.)} Legyen $\xi$ norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $E\xi=2$ v\'arhat\'o
\'ert\'ekkel \'es $\Var\xi=4$ sz\'or\'asn\'egyzettel. Sz\'amolja 
ki az $Ee^\xi$ v\'arhat\'o \'ert\'eket.

%\item{1.)} K\'et egy m\'eter hossz\'u botot
%v\'eletlenszer\H{u}en, (egym\'ast\'ol f\"ug\-get\-le\-n\"ul)
%egyenletes eloszl\'assal elt\"or\"unk. Az els\H{o} elt\"ort bot
%r\"ovidebb \'es a m\'asodik elt\"ort bot hosszabb darabj\'at
%\"osszeragasztjuk. Mi annak a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge,
%hogy az \'{\i}gy kapott \'uj bot hossza kisebb, mint 0.9 m\'eter?

\item{2.)} Legyenek $\xi_1,\xi_2,\dots$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, \'es defini\'aljuk az
$S_n=\prodd_{j=1}^n\xi_j$, $n=1,2,\dots$ szorzatokat. Mikor lesz az
$S_1,S_2,\dots$ sorozat marting\'al?

\item{3.)} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. Sz\'amolja ki az
$E(\xi^2\eta^3+\xi^3\eta^2|\eta)$ felt\'eteles v\'arhat\'o
\'ert\'eket.



\item{4.)} Legyenek $\xi$, $\eta$ \'es $\zeta$ f\"uggetlen
standard norm\'alis eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok. Bizony\'{\i}tsa
be, hogy a $\xi+\eta+\zeta$, $3\xi-2\eta-\zeta$ \'es
$\xi+4\eta-5\zeta$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek.



%\item{4.)} Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen, a
%$\[-\frac12,\frac12\]$ intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u
%va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok. Mi a
%$\frac1{\sqrt n}\summ_{j=1}^n\xi_j$ \'es
%$\frac1{\sqrt n}\summ_{j=1}^n\(\xi_j^2-\frac 1{12}\)$
%val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egy\"ut\-tes
%el\-osz\-l\'as\'anak a hat\'ar\'ert\'eke, ha $n\to\infty$?

\item{5.)} Egy $A$ $n\times n$ m\'eret\H{u} n\'egyzetes m\'atrixhoz
mikor lehet tal\'alni olyan $(\xi_1,\dots,\xi_n)$ v\'eletlen vektort,
amelynek \H{o} a kovariancia m\'atrixa?

\item{6.)} Hogy sz\'ol a nagy sz\'amok gyenge \'es a nagy sz\'amok
er\H{o}s t\"orv\'enye?

\item{7.)} Fogalmazzon meg olyan (min\'el \'altal\'anosabb)
hat\'areloszl\'ast\'etelt, amelyben a ha\-t\'ar\-\'er\-t\'ek a 
Poisson eloszl\'as.



\bye



