Tétel irracionális szám többszöröseinek eloszlásáról moduló 1. Legyen α irracionális szám. Rögzítsünk egy [a, b] ⊂ [0, 1] intervallumot, és tekintsük minden n pozitív egész számra a kα moduló 1, 1 ≤ k ≤ n, sorozatot, illetve e sorozat [a, b] intervallumba eső pontjainak \frac{1}{n}#\{k: \{kα\} ∈ [a, b], 1 ≤ k ≤ n\} relatív gyakoriságát, ahol #A egy A halmaz elemeinek számát jelöli, {x} pedig egy x szám tört részét. Ez a relatív gyakoriság tetszőleges [a, b] ⊂ [0, 1] intevallumra konvergál az [a, b] intervallum b − a hosszához, ha n → ∞.

Bizonyítás. Az állítás átfogalmazható a következő módon. Definiáljuk minden n számra a következő μ_{n} valószínűségi mértéket: A μ_{n} mérték a kα (mod 1), 1 ≤ k ≤ n, pontokba van koncentrálva, és minden ilyen kα (mod 1) pont μ_{n} mértéke \frac{1}{n}. Ekkor a tétel állítása ekvivalens azzal, hogy a μ_{n} mértéksorozat eloszlásban konvergál a [0, 1] intervallumban f(x) ≡ 1 sűrűségfüggvénnyel rendelkező μ_{0} egyenletes eloszláshoz.

A karakterisztikus függvény módszer, pontosabban annak a [0, 1] mod 1 csoportra megfogalmazott változata azt mondja ki, hogy μ_{n} valószínűségi mértékek egy sorozatának eloszlásban való konvergenciája egy μ_{0} valószínűségi mértékhez ekvivalens azzal, hogy teljesül a lim_{n→∞} ∫ e^{2πijx}μ_{n}( dx) = ∫ e^{2πijx}μ_{0}( dx) reláció minden j = 0, ±1, ±2, …

egész számra, ahol i = \sqrt{−1}. Valójában ez az ekvivalencia következik Weierstrass második approximációs tételéből, és az eloszlásban való konvergencia következő jellemzéséből: Tekintsük a [0, 1] mod 1 egységkört, és azon μ_{n}, n = 0, 1, 2, …, valószínűségi mértékeket. A μ_{n} mértékek akkor és csak akkor konvergálnak eloszlásban a μ_{0} mértékhez n → ∞ esetén, ha lim_{n→∞} ∫ f(x)μ_{n}( dx) = ∫ f(x)μ_{0}( dx) minden az egységkörön folytonos (és ezért korlátos) f(x) függvényre. (Olyan függvényeket tekintünk, amelyekre f(1) = f(0).)

Viszont a tétel bizonyításához szükséges limesz relációkat könnyen ellenőrizhetjük az adott esetben. Valóban ∫ e^{2πijx}μ_{0}( dx) = ∫_{0}^{1} e^{2πijx} dx = 0, ha j ≠ 0, és

∫ e^{2πijx}μ_{n}( dx) = \frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n} e^{2πijkα} = \frac{e^{2πi(n+1)jα} − e^{2πijα}}{n(e^{2πijα} − 1)} → 0,

ha n → ∞, és j ≠ 0, mert |\frac{e^{2πi(n+1)jα}−e^{2πijα}}{n(e^{2πijα}−1)} | ≤ \frac{2}{n(1−cos 2πjα)}, és 1−cos 2πjα > 0 minden

j ≠ 0 egész számra, ha α irracionális szám. Másrészt a j = 0 indexre e^{2πijx} = 1, és ∫ μ_{n}( dx) = ∫ μ_{0}( dx) = 1 minden n = 1, 2, … számra.

Feladat:

Legyen α_{1}, …, α_{k} k irracionális

Viszont a tétel bizonyításához szükséges limesz relációkat könnyen ellenőrizhetjük az adott esetben. Valóban ∫ e^{2πijx}μ_{0}( dx) = ∫_{0}^{1} e^{2πijx} dx = 0, ha j ≠ 0, és

∫ e^{2πijx}μ_{n}( dx) = \frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n} e^{2πijkα} = \frac{e^{2πi(n+1)jα} − e^{2πijα}}{n(e^{2πijα} − 1)} → 0,

ha n → ∞, és j ≠ 0, mert |\frac{e^{2πi(n+1)jα}−e^{2πijα}}{n(e^{2πijα}−1)} | ≤ \frac{2}{n(1−cos 2πjα)}, és 1−cos 2πjα > 0 minden

j ≠ 0 egész számra, ha α irracionális szám. Másrészt a j = 0 indexre e^{2πijx} = 1, és ∫ μ_{n}( dx) = ∫ μ_{0}( dx) = 1 minden n = 1, 2, … számra.

A vizsgán tárgyalt feladatok:

Legyen α_{1}, …, α_{k} k irracionális szám, amelyek kiegészítve az α_{0} = 1 számmal

lineárisan függetlenek a racionális számok teste felett, azaz az r_{0} + ∑_{j=1}^{k} r_{j}α_{j} = 0

reláció racionális r_{j}, 0 ≤ j ≤ k, számokkal csak akkor teljesül, ha r_{j} = 0 minden 0 ≤

j ≤ k indexre. Rögzítsünk egy B = ∏_{j=1}^{k}[a_{j}, b_{j}] ⊂ [0, 1]^{k} a k-dimenziós egységkocka

által tartalmazott téglatestet, és tekintsük minden n pozitív egész számra azon l számok relatív gyakoriságát az 1 ≤ l ≤ n egész számok között, amelyekre az (lα_{1} mod 1, …, lα_{k} mod 1) vektor beleesik a B téglatestbe. Lássuk be, hogy ez a relatív gyakoriság tart a B téglatest térfogatához, ha n → ∞.

Egy szabályos dobókockát feldobunk egymás után egészen addig, amig megjelenik az első hatos dobás. Mi a valószínűsége annak, hogy ez a dobássorozat tartalmaz négyes vagy ötös dobást?

Egy szabályos dobókockát feldobunk egymás után végtelen sokszor. Mi annak a valószínűsége, hogy a hatodik hárommal osztható szám a harmadik hárommal osztható dobás után 20 dobással később jelenik meg?

Egy szabályos dobókockát addig dobunk fel egymás után, amíg 5. alkalommal jelenik meg egy hatos dobás. Mi a valószínűsége annak, hogy az utolsó előtti dobás eredménye egy páros szám?

Két ember egy telefonbeszélgetésen elhatározza, hogy találkozik. A két ember a beszélgetés befejezése után egymástól véletlen ideig otthon marad, majd lemegy a főtérre, ott 10 percig vár a másikra, majd hazamegy. Az otthon maradás ideje mind a két ember esetében független exponenciális eloszlású valószínűségi változó λ = 1 paraméterrel. Mi a valószínűsége annak, hogy találkoznak?