\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\parskip=4pt plus 1.5pt
\nopagenumbers
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}


\medskip\noindent
{\bf T\'etel irracion\'alis sz\'am t\"obbsz\"or\"oseinek 
eloszl\'as\'ar\'ol modul\'o 1.} {\it Legyen $\alpha$ irracion\'alis
sz\'am. R\"ogz\'{\i}ts\"unk egy $[a,b]\subset[0,1]$ intervallumot,
\'es tekints\"uk minden $n$ pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'amra
a $k\alpha$~modul\'o~1, $1\le k\le n$, sorozatot, illetve e 
sorozat $[a,b]$ intervallumba es\H{o} pontjainak  
$\frac1n\#\{k\colon\; \{k\alpha\}\in[a,b],\; 1\le k\le n\}$
relat\'{\i}v gyakoris\'ag\'at, ahol $\# A$ egy $A$ halmaz elemeinek
sz\'am\'at jel\"oli, $\{x\}$ pedig egy $x$ sz\'am t\"ort r\'esz\'et.
Ez a relat\'{\i}v gyakoris\'ag tetsz\H{o}leges $[a,b]\subset[0,1]$
intevallumra konverg\'al az $[a,b]$ intervallum $b-a$ hossz\'ahoz,
ha $n\to\infty$.}

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as.} Az \'all\'{\i}t\'as \'atfogalmazhat\'o a
k\"ovetkez\H{o} m\'odon. Defini\'aljuk minden $n$ sz\'amra a 
k\"ovetkez\H{o} $\mu_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'eket:
A $\mu_n$ m\'ert\'ek a $k\alpha$~(mod~1), $1\le k\le n$,
pontokba van koncentr\'alva, \'es minden ilyen $k\alpha$~(mod 1)
pont $\mu_n$ m\'ert\'eke~$\frac1n$. Ekkor a t\'etel \'all\'{\i}t\'asa
ekvivalens azzal, hogy a $\mu_n$ m\'ert\'eksorozat eloszl\'asban
konverg\'al a $[0,1]$ intervallumban $f(x)\equiv1$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel rendelkez\H{o} $\mu_0$ egyenletes 
eloszl\'ashoz.

A karakterisztikus f\"uggv\'eny m\'odszer, pontosabban annak a 
$[0,1]$~mod~1 csoportra megfogalmazott v\'altozata azt mondja ki,
hogy $\mu_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekek egy
so\-ro\-za\-t\'a\-nak eloszl\'asban val\'o konvergenci\'aja egy
$\mu_0$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekhez ekvivalens azzal, 
hogy teljes\"ul a $\limm_{n\to\infty}\int e^{2\pi ijx}\mu_n(\,dx)
=\int e^{2\pi ijx}\mu_0(\,dx)$ rel\'aci\'o minden 
$j=0,\pm1,\pm2,\dots$ eg\'esz sz\'amra, ahol $i=\sqrt{-1}$. 
Val\'oj\'aban ez az ekvivalencia k\"ovetkezik Weierstrass 
m\'asodik approxim\'aci\'os t\'etel\'eb\H{o}l, \'es az eloszl\'asban
val\'o konvergencia k\"ovetkez\H{o} jel\-lem\-z\'e\-s\'e\-b\H{o}l: 
Tekints\"uk a $[0,1]$~mod~1 egys\'egk\"ort, \'es azon $\mu_n$, 
$n=0,1,2,\dots$, va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi 
m\'er\-t\'e\-ke\-ket. A $\mu_n$ m\'ert\'ekek akkor \'es csak 
akkor konverg\'alnak eloszl\'asban a $\mu_0$ 
m\'ert\'ekhez $n\to\infty$ eset\'en, ha 
$\limm_{n\to\infty}\int f(x)\mu_n(\,dx)=\int f(x)\mu_0(\,dx)$
minden az egys\'egk\"or\"on folytonos (\'es ez\'ert korl\'atos)
$f(x)$ f\"uggv\'enyre. (Olyan f\"uggv\'enyeket tekint\"unk, amelyekre
$f(1)=f(0)$.)

Viszont a t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'ahoz sz\"uks\'eges limesz
rel\'aci\'okat k\"onnyen ellen\H{o}rizhetj\"uk az adott esetben.
Val\'oban $\int e^{2\pi ijx}\mu_0(\,dx)=\int_0^1e^{2\pi ijx}\,dx=0$,
ha $j\neq0$, \'es 
$$
\int e^{2\pi ijx}\mu_n(\,dx)=\frac1n\summ_{k=1}^ne^{2\pi ijk\alpha}=
\frac{e^{2\pi i(n+1)j\alpha}-e^{2\pi ij\alpha}}{n(e^{2\pi ij\alpha}-1)}
\to0,
$$
ha $n\to\infty$, \'es $j\neq0$, mert
$\left|\frac{e^{2\pi i(n+1)j\alpha}-e^{2\pi ij\alpha}}
{n(e^{2\pi ij\alpha}-1)}\right|\le\frac2{n(1-\cos 2\pi j\alpha)}$, 
\'es $1-\cos2\pi j\alpha>0$ minden $j\neq0$ eg\'esz sz\'amra, ha 
$\alpha$ irracion\'alis sz\'am. M\'asr\'eszt a $j=0$ indexre 
$e^{2\pi ijx}=1$, \'es $\int \mu_n(\,dx)=\int \mu_0(\,dx)=1$
minden $n=1,2,\dots$ sz\'amra.

\medskip
{\it Feladat:}

\medskip
\item{} Legyen $\alpha_1,\dots,\alpha_k$ $k$  irracion\'alis

Viszont a t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'ahoz sz\"uks\'eges limesz
rel\'aci\'okat k\"onnyen ellen\H{o}rizhetj\"uk az adott esetben.
Val\'oban $\int e^{2\pi ijx}\mu_0(\,dx)=\int_0^1e^{2\pi ijx}\,dx=0$,
ha $j\neq0$, \'es 
$$
\int e^{2\pi ijx}\mu_n(\,dx)=\frac1n\summ_{k=1}^ne^{2\pi ijk\alpha}=
\frac{e^{2\pi i(n+1)j\alpha}-e^{2\pi ij\alpha}}{n(e^{2\pi ij\alpha}-1)}
\to0,
$$
ha $n\to\infty$, \'es $j\neq0$, mert
$\left|\frac{e^{2\pi i(n+1)j\alpha}-e^{2\pi ij\alpha}}
{n(e^{2\pi ij\alpha}-1)}\right|\le\frac2{n(1-\cos 2\pi j\alpha)}$, 
\'es $1-\cos2\pi j\alpha>0$ minden $j\neq0$ eg\'esz sz\'amra, ha 
$\alpha$ irracion\'alis sz\'am. M\'asr\'eszt a $j=0$ indexre 
$e^{2\pi ijx}=1$, \'es $\int \mu_n(\,dx)=\int \mu_0(\,dx)=1$
minden $n=1,2,\dots$ sz\'amra.

\bigskip
\medskip
{\it A vizsg\'an t\'argyalt feladatok:}

\medskip
\item{} Legyen $\alpha_1,\dots,\alpha_k$ $k$  irracion\'alis
sz\'am, amelyek kieg\'esz\'{\i}tve az $\alpha_0=1$ sz\'ammal 
line\'arisan f\"uggetlenek a racion\'alis sz\'amok teste felett, 
azaz az $r_0+\summ_{j=1}^k r_j\alpha_j=0$ rel\'aci\'o
racion\'alis $r_j$, $0\le j\le k$, sz\'amokkal csak akkor 
teljes\"ul, ha $r_j=0$ minden $0\le j\le k$  indexre. 
R\"ogz\'{\i}ts\"unk egy $B=\prodd_{j=1}^k[a_j,b_j]\subset [0,1]^k$
a $k$-dimenzi\'os egys\'egkocka \'altal tartalmazott 
t\'eg\-la\-tes\-tet, \'es tekints\"uk minden $n$ pozit\'{\i}v 
eg\'esz sz\'amra azon $l$ sz\'amok relat\'{\i}v gyakoris\'ag\'at 
az $1\le l\le n$ eg\'esz sz\'amok k\"oz\"ott, amelyekre az
($l\alpha_1$~mod~1,\dots, $l\alpha_k$~mod~1) vektor beleesik a $B$
t\'eglatestbe. L\'assuk be, hogy ez a relat\'{\i}v gyakoris\'ag
tart a $B$ t\'eglatest t\'erfogat\'ahoz, ha $n\to\infty$.



\item{} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk egym\'as ut\'an
eg\'eszen addig, amig megjelenik az els\H{o} hatos dob\'as. 
Mi a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge annak, hogy ez a 
dob\'assorozat tartalmaz n\'egyes vagy \"ot\"os dob\'ast? 


\item{} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk egym\'as ut\'an
v\'egtelen sokszor. Mi annak a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, 
hogy a hatodik h\'arommal oszthat\'o sz\'am
a harmadik h\'arommal oszthat\'o dob\'as ut\'an 20 dob\'assal 
k\'es\H{o}bb jelenik meg?


\item{} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at addig dobunk fel egym\'as 
ut\'an, am\'{\i}g 5. alkalommal jelenik meg egy hatos dob\'as. Mi a 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy az utols\'o el\H{o}tti 
dob\'as eredm\'enye egy p\'aros sz\'am?




\item{} K\'et ember egy telefonbesz\'elget\'esen elhat\'arozza,
hogy tal\'alkozik. A k\'et ember a besz\'elget\'es befejez\'ese
ut\'an egym\'ast\'ol v\'eletlen ideig otthon marad, majd lemegy a
f\H{o}t\'erre, ott 10 percig v\'ar a m\'asikra, majd hazamegy. 
Az otthon marad\'as ideje mind a  k\'et ember eset\'eben
f\"uggetlen exponenci\'alis eloszl\'as\'u 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\lambda=1$
param\'eterrel. Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy
tal\'alkoznak?  











\bye