A január 11.-i vizsga feladatai.

1.) Legyen ξ és η két független, exponenciális eloszlású valószínűségi változó λ illetve μ paraméterrel, λ ≠ μ, azaz legyen ξ és η sűrűségfüggvénye f(x) = λe^{−λx}, ha x ≥ 0, és f(x) = 0, ha x < 0, illetve g(x) = μe^{−μx}, ha x ≥ 0, és g(x) = 0, ha x < 0. Számítsa ki ξ + η sűrűségfüggvényét.

2.) Legyenek ξ_{1}, ξ_{2}, … független valószínűségi változók, Eξ_{n} = 0, Eξ_{n}^{2} < ∞, minden

n = 1, 2, … indexre. Definiáljuk az S_{n} = ( ∑_{j=1}^{n} ξ_{j})^{2}, n = 1, 2, …, valószínűségi

változókat. Bizonyítsa be, hogy az S_{1}, S_{2}, … sorozat szubmartingál?

3.) Legyen ξ és η két független standard normális eloszlású valószínűségi változó. Számolja ki az E (\frac{ξ^{4}+1}{η^{2}+1} | η) feltételes várható értéket.

4.) Legyenek ξ_{1}, …, ξ_{10 000} független, a [−1, 1] intervallumban egyenletes eloszlású valószínűségi változók, azaz legyen sűrűségfüggvényük f(x) = \frac{1}{2}, ha −1 ≤ x ≤ 1, és

f(x) = 0, ha x > 1 vagy x < −1. Legyen S = ∑_{j=1}^{10 000} ξ_{j}, és T = ∑_{j=1}^{10 000} ξ_{j}^{4}. Adjon jó

becslést a P (S < 170, T < 2200) valószínűségre.

5.) Legyen ξ_{1}, ξ_{2}, … martingál. Milyen eredményt ismer, amely azt mondja ki, hogy bizonyos feltételek teljesülése esetén a lim_{n→∞} ξ_{n} határérték 1 valószínűséggel létezik?

6.) Hogyan definiáljuk egy valószínűségi változó karakterisztikus függvényét? Mi a kapcsolat valószínűségi változók eloszlásban való konvergenciája és e valószínűségi változók karakterisztikus függvényeinek a konvergenciája között?

7.) Mikor mondjuk, hogy valószínűségi változók egy ξ_{1}, ξ_{2}, … sorozata sztochasztikusan illetve 1 valószínűséggel konvergál egy ξ valószínűségi változóhoz? Mutasson példát valószínűségi változók olyan ξ_{1}, ξ_{2}, … sorozatára, amely sztochasztikusan konvergál, de 1 valószínűséggel nem konvergál egy ξ valószínűségi változóhoz.