\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\parskip=4pt plus 1.5pt
\nopagenumbers
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}


\centerline{\bf A janu\'ar 11.-i vizsga feladatai.}
\medskip

\item{1.)} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen, 
exponenci\'alis eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'o $\lambda$ illetve $\mu$ param\'eterrel, $\lambda\neq\mu$, 
azaz legyen $\xi$ \'es $\eta$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$, ha $x\ge0$, \'es $f(x)=0$, ha $x<0$,
illetve $g(x)=\mu e^{-\mu x}$, ha $x\ge0$, \'es $g(x)=0$, ha $x<0$.
Sz\'am\'{\i}tsa ki $\xi+\eta$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.


\item{2.)} Legyenek $\xi_1,\xi_2,\dots$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, $E\xi_n=0$,
$E\xi_n^2<\infty$, minden $n=1,2,\dots$ indexre. Defini\'aljuk az
$S_n=\(\summ_{j=1}^n\xi_j\)^2$, $n=1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. Bizony\'{\i}tsa be,
hogy az $S_1,S_2,\dots$ sorozat szubmarting\'al?


\item{3.)} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen standard
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.
Sz\'amolja ki az $\left.E\(\frac{\xi^4+1}{\eta^2+1}\right|\eta\)$
felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'eket.



\item{4.)} Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_{10\,000}$ f\"uggetlen, a
$[-1,1]$ intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok, azaz legyen
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\"uk $f(x)=\frac12$, ha $-1\le x\le 1$,
\'es $f(x)=0$, ha $x>1$ vagy $x<-1$. Legyen 
$S=\summ_{j=1}^{10\,000}\xi_j$, \'es
$T=\summ_{j=1}^{10\,000}\xi_j^4$. Adjon j\'o becsl\'est a
$P(S<170,\,T<2200)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre.



\item{5.)} Legyen $\xi_1,\xi_2,\dots$ marting\'al. Milyen
eredm\'enyt ismer, amely azt mondja ki, hogy bizonyos felt\'etelek 
teljes\"ul\'ese eset\'en a $\limm_{n\to\infty}\xi_n$
hat\'ar\'ert\'ek 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel l\'etezik?


\item{6.)} Hogyan defini\'aljuk egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o karakterisztikus f\"uggv\'eny\'et? Mi a kapcsolat
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asban val\'o
konvergenci\'aja \'es e val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok karakterisztikus f\"uggv\'enyeinek a konvergenci\'aja
k\"oz\"ott?

\item{7.)} Mikor mondjuk, hogy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok egy $\xi_1,\xi_2,\dots$ sorozata sztochasztikusan
illetve 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel konverg\'al egy $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz? Mutasson p\'eld\'at
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok olyan 
$\xi_1,\xi_2,\dots$ sorozat\'ara, amely sztochasztikusan
konverg\'al, de 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel nem konverg\'al 
egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz.




\bye

\item{7.)} Mutasson p\'eld\'at olyan $\xi_{k,j}$, $1\le j\le n_k$,
sz\'eriasorozatot, amelyre a $\xi_{k,j}$, $1\le j\le n_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok r\"ogz\'{\i}tett $k$
param\'eterre f\"uggetlenek, $\xi_{j,k}=0$, $E\xi_{k,j}^2<\infty$,
$\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}\xi_{k,j}^2=1$, a sz\'eriasorozat
teljes\'{\i}ti az egyenletes kicsis\'eg felt\'etel\'et, de nem
teljes\'{\i}ti a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelt.

