A JANUÁR 16.-I VIZSGA FELADATAI

1.) Legyen ξ exponenciális eloszlású valószínűségi változó λ = 1 paraméterrel, azaz legyen ξ sűrűségfüggvénye f(x) = e^{−x}, ha x ≥ 0, és f(x) = 0, ha x < 0. Számolja ki a ξ + ξ^{2} valószínűségi változó sűrűségfüggvényét.

2.) Feldobunk egy szabályos pénzdarabot egymástól függgetlenül véletlen sokszor. Legyen a dobások száma Poisson eloszlású λ = 1 paraméterrel, azaz annak valószínűsége, hogy k dobást végzünk legyen \frac{1}{k!}e^{−1}, k = 0, 1, 2, . . .. Mutassa meg, hogy a fej és írásdobások száma két egymástól független Poisson eloszlású valószínűségi változó λ = \frac{1}{2} paraméterrel.

3.) Legyen ξ és η két független valószínűségi változó, ξ normális eloszlású 1 várható értékkel és 1 szórásnégyzettel, η egyenletes eloszlású a [0, 1] intervallumon. Számolja ki az E(ξ + η)^{4} várható értéket.

4.) Ledobunk a [0, 2] intervallumra egymástól függetlenül 5040 pontot egyenletes eloszlással, azaz a ledobott pontok helyének a sűrűségfüggvénye f(x) = \frac{1}{2}, ha 0 ≤ x ≤ 2, és f(x) = 0 egyébként. Azon dobások értékeit, amelyek a [0, 1] intervallumba esnek egy jegyzőkönyvbe írjuk változtatás nélkül, azon dobások esetén, amelyek az [1, 2] intervallumba estek 1-et írunk a jegyzőkönyvbe. Adjunk a mellékelt normális eloszlástáblázat segítségével jó becslést annak a valószínűségére, hogy a jegyzőkönyvbe írt számok négyzetösszege 3304 és 3402 közé esik.

5.) Legyen adva k-változós eloszlásfüggvényeknek egy F_{n}(x_{1}, …, x_{k}), n = 1, 2, …, sorozata. Mikor mondjuk, hogy ezek az eloszlásfüggvények eloszlásban konvergálnak egy F_{0}(x_{1}, …, x_{k}) eloszlásfüggvényhez?

6.) Legyen adva egy ξ változó és egy F, F ⊂ A, σ-algebra egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőn. Definiálja az E(ξ|F) feltételes várható értéket. (Feltesszük, hogy létezik az E|ξ| < ∞ várható érték.)

7.) Legyenek (ξ_{1}, η_{1}), (ξ_{2}, η_{2}), …, (ξ_{n}, η_{n}) kétváltozós véletlen vektorok egy (Ω, A, P)

valószínűségi mezőn. Mikor mondjuk, hogy e véletlen vektorok függetlenek? 8.) Mikor mondjuk, hogy független, egyforma eloszlású valószínűségi változók sorozata

teljesíti a nagy számok erős illetve a nagy számok gyenge törvényét? Mi a szükséges és elégséges feltétele annak, hogy egy ilyen sorozat teljesítse a nagy számok erős törvényét?