\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\nopagenumbers

\centerline{\bf A JANU\'AR 16.-I VIZSGA FELADATAI}

\bigskip

\item{1.)}  Legyen $\xi$ exponenci\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\lambda=1$ param\'eterrel,
azaz legyen $\xi$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=e^{-x}$, ha
$x\ge0$, \'es $f(x)=0$, ha $x<0$. Sz\'amolja ki a $\xi+\xi^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.

\item{2.)} Feldobunk egy szab\'alyos p\'enzdarabot egym\'ast\'ol
f\"ugggetlen\"ul v\'eletlen sokszor. Le\-gyen a dob\'asok sz\'ama
Poisson eloszl\'as\'u $\lambda=1$ param\'eterrel, azaz annak
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy $k$ dob\'ast v\'egz\"unk 
legyen $\frac1{k!}e^{-1}$, $k=0,1,2,\dots$. Mutassa meg, hogy a fej 
\'es \'{\i}r\'asdob\'asok sz\'ama k\'et egym\'ast\'ol f\"uggetlen 
Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
$\lambda=\frac12$ param\'eterrel.

\item{3.)} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, $\xi$ norm\'alis eloszl\'as\'u
1 v\'arhat\'o \'ert\'ekkel \'es 1 sz\'or\'asn\'egyzettel, $\eta$
egyenletes eloszl\'as\'u a $[0,1]$ intervallumon. Sz\'a\-mol\-ja ki az
$E(\xi+\eta)^4$ v\'arhat\'o \'ert\'eket.

\item{4.)} Ledobunk a $[0,2]$ intervallumra egym\'ast\'ol 
f\"uggetlen\"ul 5040 pontot egyenletes el\-osz\-l\'as\-sal, azaz a 
ledobott pontok hely\'enek a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye 
$f(x)=\frac12$, ha $0\le x\le2$, \'es $f(x)=0$ egy\'ebk\'ent. Azon 
dob\'asok \'ert\'ekeit, amelyek a $[0,1]$ intervallumba esnek egy 
jegyz\H{o}k\"onyvbe \'{\i}rjuk v\'altoztat\'as n\'elk\"ul, azon 
dob\'asok eset\'en, amelyek az $[1,2]$ intervallumba estek 1-et 
\'{\i}runk a jegyz\H{o}k\"onyvbe.  Adjunk a mell\'ekelt norm\'alis 
eloszl\'ast\'abl\'azat seg\'{\i}ts\'eg\'evel j\'o becsl\'est annak a 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere, hogy a jegyz\H{o}k\"onyvbe \'{\i}rt 
sz\'amok n\'egyzet\"osszege 3304 \'es 3402 k\"oz\'e esik.


\item{5.)} Legyen adva $k$-v\'altoz\'os eloszl\'asf\"uggv\'enyeknek
egy $F_n(x_1,\dots,x_k)$, $n=1,2,\dots$, sorozata. Mikor mondjuk,
hogy ezek az eloszl\'asf\"uggv\'enyek eloszl\'asban 
kon\-ver\-g\'al\-nak egy $F_0(x_1,\dots,x_k)$ 
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez?


\item{6.)} Legyen adva egy $\xi$ v\'altoz\'o \'es egy $\Cal F$,
$\Cal F\subset \Cal A$, $\sigma$-algebra egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Defini\'alja az
$E(\xi|\Cal F)$ felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'eket. (Feltessz\"uk,
hogy l\'etezik az $E|\xi|<\infty$ v\'arhat\'o \'ert\'ek.)


\item{7.)} Legyenek $(\xi_1,\eta_1)$, $(\xi_2,\eta_2)$,\dots,
$(\xi_n,\eta_n)$ k\'etv\'altoz\'os v\'eletlen vektorok egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Mikor
mondjuk, hogy e v\'eletlen vektorok f\"uggetlenek?

%\item{8.)} Milyen felt\'eteleket kell teljes\'{\i}tenie egy $A$
%m\'atrixnak ahhoz, hogy l\'etezzen olyan v\'eletlen vektor, amelynek
%\H{o} a kovariancia m\'atrixa?

\item{8.)} Mikor mondjuk, hogy f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata teljes\'{\i}ti a
nagy sz\'amok er\H{o}s illetve a nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'et?
Mi a sz\"uks\'eges \'es el\'egs\'eges felt\'etele annak, hogy egy 
ilyen sorozat teljes\'{\i}tse a nagy sz\'amok er\H{o}s 
t\"or\-v\'e\-ny\'et?

\bye



