A január 18.-i vizsga feladatai.

1.) Két ember kíván találkozni. Egy véletlen időpontban 7 és 8 óra között mind a két ember kimegy a város főterére, és 10 percig vár a másikra. Mi a valószínűsége annak, hogy a két ember találkozik, ha a két ember főtérre való megérkezésének az időpontja két egymástól független valószínűségi változó, és mind a kettő egyenletes eloszlású a 7 óra és 8 óra közötti időpontok közötti időintervallumban?

2.) Legyenek ξ_{1}, ξ_{2}, … független valószínűségi változók, Eξ_{n} = 0, minden n = 1, 2, … indexre, és jelölje F_{n} = σ(ξ_{1}, …, ξ_{n}) a ξ_{1}, …, ξ_{n} valószínűségi változók által ge-

nerált σ-algebrát. Definiáljuk a Z_{n} = ∑_{j=1}^{n} ξ_{1}ξ_{2} ⋯ ξ_{j}, n = 1, 2, …, valószínűségi

változókat. Bizonyítsa be, hogy a (Z_{n}, F_{n}), n = 1, 2, …, sorozat martingál.

3.) Legyen ξ, η és ζ három független standard normális eloszlású valószínűségi változó. Mutassa meg, hogy a ξ + η + ζ valószínűségi változó és a (ξ − η, ξ − ζ) véletlen vektor független egymástól.

4.) Legyenek ξ_{1}, …, ξ_{10 000} független, egyforma eloszlású valószínűségi változók, amelyekre P (ξ_{j} = 1) = P (ξ_{j} = −1) = \frac{1}{4}, és P (ξ_{j} = 0) = \frac{1}{2} minden 1 ≤ j ≤ 10 000

indexre. Legyen S = ∑_{j=1}^{10 000} ξ_{j}, és T = ∑_{j=1}^{10 000} ξ_{j}^{2}. Adjon jó becslést a P (S < 70, T <

4950) valószínűségre.

5.) Hogy szól az ergod tétel? Mit jelent az, hogy valószínűségi változók egy sorozata stacionárius?

6.) Hogyan szól a többváltozós centrális határeloszlástétel? Milyen a többváltozós normális eloszlás tulajdonságairól szóló tételről tanult, amelynek ismerete szükséges annak indoklásához, hogy a kimondott tétel értelmes állítás?

7.) Fogalmazza meg a tanult legáltalánosabb centrális határeloszlástételet szériasorozatokra. Mutasson példát olyan ξ_{k,j}, k = 1, 2, …, 1 ≤ j ≤ n_{k}, szériasorozatra, amelyre a ξ_{k,j}, 1 ≤ j ≤ n_{k}, valószínűségi változók rögzített k indexre függetlenek,

Eξ_{k,j} = 0, Eξ_{k,j}^{2} < ∞, lim_{k→∞} ∑_{j=1}^{n_{k}} Eξ_{k,j}^{2} = 1, a szériasorozat teljesíti az egyenletes

kicsiség feltételét, de nem teljesíti a centrális határeloszlástételt.