\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\parskip=4pt plus 1.5pt
\nopagenumbers
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}


\centerline{\bf A janu\'ar 18.-i vizsga feladatai.}
\medskip


\item{1.)} K\'et ember k\'{\i}v\'an tal\'alkozni. Egy v\'eletlen 
id\H{o}pontban 7 \'es 8 \'ora k\"oz\"ott mind a k\'et ember 
kimegy a v\'aros f\H{o}ter\'ere, \'es 10 percig v\'ar a
m\'asikra. Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy a k\'et
ember tal\'alkozik, ha a k\'et ember f\H{o}t\'erre val\'o
meg\'erkez\'es\'enek az id\H{o}pontja k\'et egym\'ast\'ol
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, \'es mind a
kett\H{o} egyenletes eloszl\'as\'u a 7 \'ora \'es 8 \'ora
k\"oz\"otti id\H{o}pontok k\"oz\"otti id\H{o}intervallumban?



\item{2.)} Legyenek $\xi_1,\xi_2,\dots$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, $E\xi_n=0$,
minden $n=1,2,\dots$ indexre, \'es jel\"olje
$\Cal F_n=\sigma(\xi_1,\dots,\xi_n)$ a $\xi_1,\dots,\xi_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'altal ge\-ne\-r\'alt
$\sigma$-algebr\'at. Defini\'aljuk a
$Z_n=\summ_{j=1}^n  \xi_1\xi_2\cdots\xi_j$, $n=1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'o\-kat. Bizony\'{\i}tsa 
be, hogy a $(Z_n,\Cal F_n)$, $n=1,2,\dots$, sorozat marting\'al.


\item{3.)} Legyen $\xi$, $\eta$ \'es $\zeta$ h\'arom f\"uggetlen
standard norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o. Mutassa meg, hogy a $\xi+\eta+\zeta$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \'es a
$(\xi-\eta,\xi-\zeta)$ v\'eletlen vektor f\"uggetlen egym\'ast\'ol.

\item{4.)} Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_{10\,000}$ f\"uggetlen, 
egyforma eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok, amelyekre
$P(\xi_j=1)=P(\xi_j=-1)=\frac14$, \'es $P(\xi_j=0)=\frac12$
minden $1\le j\le 10\,000$ indexre. Legyen
$S=\summ_{j=1}^{10\,000}\xi_j$, \'es
$T=\summ_{j=1}^{10\,000}\xi_j^2$. Adjon j\'o becsl\'est a
$P(S<70,\,T<4950)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre.



\item{5.)} Hogy sz\'ol az ergod t\'etel? Mit jelent az, hogy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egy sorozata stacion\'arius?



\item{6.)} Hogyan sz\'ol a t\"obbv\'altoz\'os centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel? Milyen a t\"obbv\'altoz\'os norm\'alis
eloszl\'as tulajdons\'agair\'ol sz\'ol\'o t\'etelr\H{o}l tanult,
amelynek ismerete sz\"uks\'eges annak indokl\'as\'ahoz, hogy a 
kimondott t\'etel \'ertelmes \'all\'{\i}t\'as?




\item{7.)} Fogalmazza meg a tanult leg\'altal\'anosabb centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etelet sz\'e\-ria\-so\-ro\-za\-tok\-ra. Mutasson 
p\'eld\'at olyan $\xi_{k,j}$, $k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$, 
sz\'eriasorozatra, amelyre a $\xi_{k,j}$, $1\le j\le n_k$, 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok r\"ogz\'{\i}tett $k$ 
indexre f\"uggetlenek, $E\xi_{k,j}=0$, $E\xi_{k,j}^2<\infty$,
$\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}E\xi_{k,j}^2=1$, a 
sz\'eriasorozat teljes\'{\i}ti az egyenletes kicsis\'eg 
felt\'etel\'et, de nem teljes\'{\i}ti a centr\'alis 
hat\'areloszl\'ast\'etelt.




\bye
