A január 25.-i vizsga feladatai.

1.) Legyen ξ és η két független exponenciális eloszlású valószínűségi változó λ = 1 paraméterrel, azaz legyen a sűrűségfüggvényük f(x) = e^{−x}, ha x ≥ 0 és f(x) = 0, ha x < 0. Számolja ki ξ − η sűrűségfüggvényét.

2.) Legyenek ξ_{1}, ξ_{2}, … független, standard normális eloszlású valószínűségi változók, és jelölje F_{n} = σ(ξ_{1}, …, ξ_{n}) a ξ_{1}, …, ξ_{n} valószínűségi változók által generált σ-

algebrát. Definiáljuk a Z_{n} = exp \{ ∑_{j=1}^{n} ξ_{j} − \frac{n}{2}\}, n = 1, 2, …, valószínűségi válto-

zókat. Bizonyítsa be, hogy a (Z_{n}, F_{n}), n = 1, 2, …, sorozat martingál.

3.) Legyenek ξ_{1}, ξ_{2}, …, ξ_{n} független, standard normális eloszlású valószínűségi válto-

zók, és definiáljuk az S_{k} = ∑_{j=1}^{k} ξ_{j}, 1 ≤ k ≤ n részletösszegeket. Bizonyítsa be,

hogy az (S_{k} − \frac{k}{n}S_{n}, 1 ≤ k ≤ n − 1) véletlen vektor és az S_{n} valószínűségi változó független egymástól.

4.) Ledobunk a [−1, 1] intervallumba egymástól függetlenül 20 000 pontot egymástól függetlenül egyenletes eloszlással, azaz a ledobott pontok ξ_{1}, …, ξ_{20 000} értékei független valószínűségi változók, és sűrűségfüggvényük f(x) = \frac{1}{2}, ha −1 ≤ x ≤ 1, és f(x) = 0, ha x < −1 vagy x > 1. Készítsünk két jegyzőkönyvet. Az első jegyzőkönyvbe beírjuk a ledobott pontok ξ_{j}, 1 ≤ j ≤ 20 000, értékeit. A második jegyzőkönyvbe a j-ik dobás után az 1 számot írjuk, ha ξ_{j} > \frac{1}{2}, a −1 számot írjuk, ha ξ_{j} < −\frac{1}{2}, és nem írunk be semmit, ha −\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}, 1 ≤ j ≤ 20 000. Jelölje S az első T pedig a második jegyzőkönyvbe írt számok összegét. Adjon jó becslést (egy normális eloszlástáblázat segítségével) a P (S < 80, T < 100) valószínűségre.

5.) Hogy szól a Borel–Cantelli lemma? (Ez az eredmény arról szól, hogy bizonyos A_{1}, A_{2}, … események közül mikor következik be véges sok és mikor következik be végtelen sok esemény.)

6.) Milyen tulajdonságokkal kell rendelkeznie egy A mátrixnak ahhoz, hogy létezzen olyan (ξ_{1}, …, ξ_{n}) véletlen vektor, amelynek ez az A mátrix a kovariancia mátrixa?

7.) Fogalmazzon meg olyan (minél általánosabb) határeloszlástételt, amelyben a határérték a Poisson eloszlás.