\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\parskip=4pt plus 1.5pt
\nopagenumbers
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}


\centerline{\bf A janu\'ar 25.-i vizsga feladatai.}
\medskip


\medskip
\item{1.)} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen
exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $\lambda=1$ param\'eterrel, azaz legyen a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\"uk $f(x)=e^{-x}$, ha $x\ge0$
\'es $f(x)=0$, ha $x<0$. Sz\'amolja ki $\xi-\eta$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.




\item{2.)} Legyenek $\xi_1,\xi_2,\dots$ f\"uggetlen, standard
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok,  
\'es jel\"olje $\Cal F_n=\sigma(\xi_1,\dots,\xi_n)$ a 
$\xi_1,\dots,\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok 
\'altal ge\-ne\-r\'alt $\sigma$-algebr\'at. Defini\'aljuk a
$Z_n=\exp\left\{\summ_{j=1}^n  \xi_j-\frac n2\right\}$, 
$n=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'o\-kat. 
Bizony\'{\i}tsa be, hogy a $(Z_n,\Cal F_n)$, $n=1,2,\dots$, 
sorozat marting\'al.


\item{3.)} Legyenek $\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen, standard
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok,
\'es defini\'aljuk az $S_k=\summ_{j=1}^k\xi_j$, $1\le k\le n$
r\'eszlet\"osszegeket. Bizony\'{\i}tsa be, hogy az 
$(S_k-\frac knS_n,\;1\le k\le n-1)$  v\'eletlen vektor \'es az $S_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o f\"uggetlen egym\'ast\'ol.


\item{4.)} Ledobunk a $[-1,1]$ intervallumba egym\'ast\'ol 
f\"uggetlen\"ul $20\,000$ pontot egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul 
egyenletes eloszl\'assal, azaz a ledobott pontok 
$\xi_1,\dots,\xi_{20\,000}$ \'ert\'ekei f\"uggetlen
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok, \'es
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\"uk $f(x)=\frac12$, ha $-1\le x\le1$, 
\'es $f(x)=0$, ha $x<-1$ vagy $x>1$. K\'esz\'{\i}ts\"unk k\'et
jegyz\H{o}k\"onyvet. Az els\H{o} jegy\-z\H{o}\-k\"onyv\-be 
be\'{\i}rjuk a ledobott pontok $\xi_j$, $1\le j\le 20~000$, 
\'ert\'ekeit. A m\'asodik jegy\-z\H{o}\-k\"onyv\-be a $j$-ik dob\'as 
ut\'an az 1 sz\'amot \'{\i}rjuk, ha $\xi_j>\frac12$,
a $-1$ sz\'amot \'{\i}rjuk, ha $\xi_j<-\frac12$, \'es nem \'{\i}runk
be semmit, ha $-\frac12<x<\frac12$, $1\le j\le 20~000$. Jel\"olje 
$S$ az els\H{o} $T$ pedig a m\'asodik jegyz\H{o}k\"onyvbe \'{\i}rt
sz\'amok \"osszeg\'et. Adjon j\'o becsl\'est (egy norm\'alis
eloszl\'ast\'abl\'azat seg\'{\i}ts\'eg\'evel) a $P(S<80,\,T<100)$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre.




\item{5.)} Hogy sz\'ol a Borel--Cantelli lemma? (Ez az eredm\'eny
arr\'ol sz\'ol, hogy bizonyos $A_1,A_2,\dots$ esem\'enyek k\"oz\"ul
mikor k\"ovetkezik be v\'eges sok \'es mikor k\"ovetkezik be
v\'egtelen sok esem\'eny.)


\item{6.)} Milyen tulajdons\'agokkal kell rendelkeznie egy $A$
m\'atrixnak ahhoz, hogy l\'etezzen olyan $(\xi_1,\dots,\xi_n)$
v\'eletlen vektor, amelynek ez az $A$ m\'atrix a kovariancia 
m\'atrixa?


\item{7.)} Fogalmazzon meg olyan (min\'el \'altal\'anosabb)
hat\'areloszl\'ast\'etelt, amelyben a ha\-t\'ar\-\'er\-t\'ek a 
Poisson eloszl\'as.




\bye

\item{3.)} Legyen $\xi$,\'es $\eta$ \'es $\zeta$ k\'et f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. Sz\'amolja ki az 
$E(\sin(\xi+\eta)|\eta)$ felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'eket.


\item{4.)} Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_{10\,000}$ f\"uggetlen, 
egyforma eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok, amelyekre
$P(\xi_j=1)=P(\xi_j=-1)=\frac14$, \'es $P(\xi_j=0)=\frac12$
minden $1\le j\le 10\,000$ indexre. Legyen
$S=\summ_{j=1}^{10\,000}\xi_j$, \'es
$T=\summ_{j=1}^{10\,000}\xi_j^2$. Adjon j\'o becsl\'est a
$P(S<70,\,T<4950)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre.


\item{6.)} Fogalmazza meg a Radon--Nikodym t\'etelt.
