\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\parskip=4pt plus 1.5pt
\nopagenumbers
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}


\centerline{\bf A janu\'ar 4.-i vizsga feladatai.}
\medskip


\item{1.)} K\'et egy m\'eter hossz\'u botot
v\'eletlenszer\H{u}en, (egym\'ast\'ol f\"ug\-get\-le\-n\"ul)
egyenletes eloszl\'assal elt\"or\"unk. Az els\H{o} elt\"ort bot
r\"ovidebb \'es a m\'asodik elt\"ort bot hosszabb darabj\'at
\"osszeragasztjuk. Mi annak a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge,
hogy az \'{\i}gy kapott \'uj bot hossza kisebb, mint 0.9 m\'eter?


\item{2.)} Legyenek $\xi_1,\xi_2,\dots$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, \'es defini\'aljuk az
$S_n=\summ_{j=1}^n\xi_j$, $n=1,2,\dots$ r\'eszlet\"osszegeket.
Mikor lesz az $S_1,S_2,\dots$ sorozat marting\'al?


\item{3.)} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen standard
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.
Sz\'amolja ki az $E(\xi|\xi+\eta)$ felt\'eteles v\'arhat\'o
\'ert\'eket.


\item{4.)} Egy nagyv\'arosban n\'epszavaz\'ast tartanak egy
k\'erd\'esr\H{o}l. A v\'aros egy foly\'o k\'et oldal\'an fekszik,
\'es a foly\'o k\'et oldal\'an lak\'okn\'al m\'as mind a k\'erd\'es
t\'amogatotts\'aga, mind a szavaz\'asi hajland\'os\'ag. A foly\'o
baloldal\'an 85000 szavaz\'opolg\'ar lakik, az ottlak\'ok $\frac34$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel t\'amogatj\'ak a javaslatot, \'es
$\frac45$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel mennek el szavazni. A foly\'o
jobbpartj\'an 50400 szavaz\'opolg\'ar lakik, az ottlak\'ok $\frac12$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel t\'amgatj\'ak a javaslatot,
\'es $\frac23$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel mennek el szavazni. Az
egyes lakosok v\'elem\'enye \'es szavaz\'asi hajland\'os\'aga
f\"uggetlen egym\'ast\'ol. Mi annak a (k\"ozel\'{\i}t\H{o})
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a leadott igen szavazatok sz\'ama
nagyobb, mint a leadott nem szavazatok k\'etszerese plusz 1080?


\item{5.)} Hogy sz\'ol a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
leg\'altal\'anosabb tanult alakja? Ennek az eredm\'enynek milyen
\'erdekes speci\'alis eseteit ismeri?


\item{6.)} Hogy sz\'ol a Kolmogorov-f\'ele nulla--egy t\"orv\'eny?


\item{7.)} Hogy sz\'ol a Borel--Cantelli lemma? (Ez az eredm\'eny
arr\'ol sz\'ol, hogy bizonyos $A_1,A_2,\dots$ esem\'enyek k\"oz\"ul
mikor k\"ovetkezik be v\'eges sok \'es mikor k\"ovetkezik be
v\'egtelen sok esem\'eny.)



\bye




