Feladatok:

1.) Legyen ξ és η két független valószínűségi változó, mind a kettő f(x) = \frac{1}{2}e^{−|x|}, −∞ < x < ∞, sűrűségfüggvénnyel. Lássuk be először, hogy f(x) valóban sűrűségfüggvény. Számítsuk ki a ξ + η valószínűségi változó g(x) sűrűségfüggvényét. Megoldás: Az f(x) függvény minden pontban nem negatív. Annak ellenőrzéséhez, hogy f(x) sűrűségfüggvény azt kell megmutatnunk, hogy ∫_{−∞}^{∞} f(x) dx = 1. Ez igaz, mert ∫_{−∞}^{∞} f(x) dx = \frac{1}{2} ∫_{−∞}^{0} e^{x} dx + \frac{1}{2} ∫_{0}^{∞} e^{−x} dx = \frac{1}{2} [e^{x}]_{−∞}^{0} + \frac{1}{2} [−e^{−x}]_{0}^{∞} = 1.

A ξ + η valószínűségi változó g(x) sűrűségfüggvényét a g(x) = ∫_{−∞}^{∞} f(y)f(x − y) dy formula segítségével számíthatjuk ki. Számítsuk ki ezt az integrált. Tekintsük először azt az esetet, amikor x ≥ 0. Az integrált számítsuk ki úgy, hogy nézzük mind a négy (elvileg) lehetséges esetet, amikor a) y ≥ 0 és x − y ≥ 0, b) y ≥ 0 és x−y < 0, c) y < 0, x−y ≥ 0, d) y < 0, x−y < 0. Számítsuk ki mind a négy esetben azt, hogy milyen tartományban veszi fel értékét az y változó, és mi az integrandus illetve az integrál értéke ebben a tartományban. Az a) esetben 0 ≤ y ≤ x, az integrandus f(y)f(x − y) = \frac{1}{4}e^{−y}e^{−(x−y)} = \frac{e^{−x}}{4} , az integrál pedig \frac{xe^{−x}}{4} az a) tartományban. A b) esetben y > x és f(y)f(x − y) = \frac{e^{−y}e^{x−y}}{4} = \frac{e^{x−2y}}{4} az integrál pedig \frac{1}{4} ∫_{x}^{∞} e^{x−2y} dy = \frac{e^{−x}}{8} , a c) esetben y < 0 és f(y)f(x − y) = \frac{1}{4}e^{y}e^{−(x−y)} = \frac{e^{2y−x}}{4} , az integrál pedig \frac{1}{4} ∫_{−∞}^{0} e^{2y−x} dy = \frac{e^{−x}}{8} , a d) eset nem lehetséges, mert ekkor egyrészt az y < 0 másrészt az y > x ≥ 0 feltételeknek kellene teljesülniük. Innen azt kapjuk, hogy g(x) = \frac{(x+1)e^{−x}}{4} , ha x > 0. Mivel f szimmetrikus függvény, ezért

mint nem nehéz megmutatni, f(x) is az. Tehát g(−x) = g(x), és g(x) = \frac{(|x|+1)e^{−|x|}}{4} . 2.) Legyen ξ normális eloszlású valószínűségi változó m = 2 várható értékkel, és d = 3

szórásnégyzettel. Számoljuk ki az Eξ^{4} várható értékét. Megoldás: Írjuk a ξ valószínűségi változót ξ = \sqrt{3}η + 2 alakban, ahol η sztandard normális eloszlású valószínűségi változó. Ekkor ξ^{4} = (\sqrt{3}η + 2)^{4} = 9η^{4} + 4 · 3\sqrt{3} · 2η^{3} + 6 · 3 · 4η^{2} + 4 · \sqrt{3} · 8η + 16. Várható értéket véve, és felhasználva, hogy Eη = Eη^{3} = 0 azt kapjuk, hogy Eξ^{4} = 9Eη^{4} + 72Eη^{2} + 16. Mivel Eη^{4} = 3, Eη^{2} = 1 az előző feladat eredménye szerint Eξ^{4} = 115.

3.) Legyen ξ és η két független valószínűségi változó, amelyek közül ξ egyenletes eloszlású a [0, 1] intervallumban, azaz sűrűségfüggvénye f(x) = 1, ha 0 ≤ x ≤ 1, és f(x) = 0 egyébként, η exponenciális eloszlású λ = 1 paraméterrel, azaz sűrűségfüggvénye g(x) = e^{−x}, ha x ≥ 0, és g(x) = 0 egyébként. Számoljuk ki a ξ + η valószínűségi változó h(x) sűrűségfüggvényét. Megoldás: h(x) = ∫_{−∞}^{∞} f(u)g(x − u) du. Határozzuk meg, hogy mely u értékekre lesz a fenti integrál f(u)g(x − u) integrandusa szigorúan pozitív. Ehhez az kell, hogy 0 ≤ u ≤ 1, és x − u ≥ 0, azaz u ≤ x. A két követelményt egy képletben egyesítve azt írhatjuk, hogy 0 ≤ u ≤ min(x, 1). Innen következik, hogy h(x) = 0, ha x ≤ 0, h(x) = ∫_{0}^{x} e^{−(x−u)} du = e^{−x}[e^{u}]_{0}^{x} = e^{−x}(e^{x} − 1) = 1 − e^{−x}, ha 0 ≤ x ≤ 1, és h(x) = ∫_{0}^{1} e^{−(x−u)} du = e^{−x}(e − 1), ha x > 1.

4.) Legyen ξ egyenletes eloszlású valószínűségi változó a [−1, 1] intervallumon, η egyenletes eloszlású valószínűségi változó a [−2, 2] intervallumban, és legyen ξ és η független egymástól. Számoljuk ki ξ + η sűrűségfüggvényét.

Megoldás: Jelölje f(x) = \frac{1}{2}, ha −1 ≤ x ≤ 1, f(x) = 0 egyébként a ξ valószínűségi változó, g(x) = \frac{1}{4}, ha −2 ≤ x ≤ 2, g(x) = 0 egyébként az η valószínűségi változó, és h(x) a ξ + η valószínűségi változó sűrűségfüggvényét. Ekkor h(x) = ∫_{−∞}^{∞} f(u)g(x − u) du. Határozzuk meg, hogy mely u értékekre lesz a fenti integrál f(u)g(x − u) integrandusa szigorúan pozitív. Ehhez az kell, hogy −1 ≤ u ≤ 1, és −2 ≤ x−u ≤ 2, azaz x−2 ≤ u ≤ x+2. Ha x > 0, akkor ez azt jelenti, hogy min(x−2, −1) ≤ u ≤ 1. Innen −1 ≤ u ≤ 1, ha 0 ≤ x ≤ 1, továbbá x−2 ≤ u ≤ 1, ha 1 ≤ x ≤ 3, és a tekintett halmaz üres, ha x > 2. Ezért h(x) = 0, ha x > 3, h(x) = \frac{1}{8} ∫_{x−2}^{1} du = \frac{3−x}{8}, ha 1 ≤ x ≤ 3, és h(x) = \frac{1}{8} ∫_{−1}^{1} du = \frac{1}{4}, ha 0 ≤ x ≤ 1. Mivel mind f(x) mind g(x) páros függvény, ugyanez igaz a h(x) függvényre is, azaz h(x) = h(−x). Innen h(x) = \frac{1}{4}, ha −1 ≤ x ≤ 1, h(x) = \frac{3−x}{8}, ha 1 ≤ |x| ≤ 3, és h(x) = 0, ha |x| ≥ 3.

5.) Legyen ξ egyenletes eloszlású valószínűségi változó a [0, 2] intervallumon, η egyenletes eloszlású valószínűségi változó az [1, 5] intervallumban, és legyen ξ és η független egymástól. Számoljuk ki ξ + η sűrűségfüggvényét.

Megoldás: A feladat megoldható az előző feladathoz hasonló módon kissé bonyolultabb számolással. De egyszerűbb azt közvetlenül visszavezetni az előző feladatra. Ennek érdekében vegyük észre, hogy a ξ̄ = ξ − 1 és η̄ = η − 3 valószínűségi változók teljesítik az előző feladat feltételeit. Ezért a ξ + η = ξ̄ + η̄ + 4 összeg h̃(x) sűrűségfüggvénye teljesíti a h̃(x) = h(x − 4) azonosságot, ahol h(x) az előző feladatban tekintett véletlen összeg sűrűségfüggvénye. Innen h̃(x) = \frac{1}{4}, ha −1 ≤ x − 4 ≤ 1, h̃(x) = \frac{3−x}{8}, ha 1 ≤ |x − 4| ≤ 3, és h̃(x) = 0, ha |x − 4| ≥ 3.

6.) Legyenek ξ_{1}, …, ξ_{n} független, (egyforma eloszlású) valószínűségi változók egyenletes eloszlással valamely [a, b] intervallumon. Vegyük e valószínűségi változók ξ_{1}^{∗} < ξ_{2}^{∗} < ⋯ < ξ_{n}^{∗} nagyság szerinti sorbarendezését, azaz a belőlük készített rendezett mintát. A (ξ_{1}^{∗}, ξ_{2}^{∗}, …, ξ_{n}^{∗}) véletlen vektor (létező) g(x_{1}, …, x_{k}) sűrűségfüggvényét az alábbi képlet adja meg: g(x_{1}, …, x_{k}) = \frac{n!}{(b−a)^{n}}, ha a ≤ x_{1} < x_{2} < ⋯ < x_{n} < b, és g(x_{1}, …, x_{n}) = 0 egyébként.

Megoldás: Azt kell belátni, hogy az n-dimenziós tér tetszőleges C ⊂ R^{n} (mérhető) részhalmazára

P ((ξ_{1}^{∗}, ξ_{2}^{∗}, …, ξ_{n}^{∗}) ∈ C) = ∫_{C} g(x_{1}, …, x_{n}) dx_{1} … dx_{n}.

Elég ezt az azonosságot a C ⊂ A, A = {(x_{1}, …, x_{n}): a < x_{1} < x_{2}, ⋯ < x_{n} < b} alakú halmazokra belátni a g(x_{1}, …, x_{n}) = \frac{n!}{(b−a)^{n}} függvénnyel, mert C ∈ R^{n} \ A esetén mind P ((ξ_{1}^{∗}, ξ_{2}^{∗}, …, ξ_{n}^{∗}) ∈ C) = 0, mind ∫_{C} g(x_{1}, …, x_{n}) dx_{1} … dx_{n} = 0. Adva egy C ⊂ A (mérhető) halmaz, vezessük be az {1, …, n} halmaz π ∈ Π_{n} permutációinak a halmazát, és legyen

C_{π} = {(x_{π(1)}, …, x_{π(n)}): (x_{1}, …, x_{n}) ∈ C, }

minden π ∈ Π_{n} permutációra és C ⊂ A halmazra. Definiáljuk a C̄ = ⋃_{π∈Π_{n}} C_{π} halmazt. Ekkor

{ω: (ξ_{1}^{∗}(ω), ξ_{2}^{∗}(ω), …, ξ_{n}^{∗}(ω)) ∈ C} = {ω: (ξ_{1}(ω), ξ_{2}(ω), …, ξ_{n})(ω)) ∈ C̄}, a C_{π} halmazok diszjunktak különböző π permutációkra, és minden C ⊂ A halmazra. Ezért

P ((ξ_{1}^{∗}, …, ξ_{n}^{∗}) ∈ C) = P ((ξ_{1}, …, ξ_{n}) ∈ C̄) = ∫C̄ \frac{1}{(b − a)^{n}} dx_{1} … dx_{n}

= ∫_{C} \frac{n!}{(b − a)^{n}} dx_{1} … dx_{n},

és innen következik a feladat állítása.