\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\TagsOnRight


%\parskip=1pt plus 1pt
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}

\centerline{\bf Feladatok:}
\medskip

\item{1.)} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o,
mind a kett\H{o} $f(x)=\frac12e^{-|x|}$, $-\infty<x<\infty$,
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel. L\'assuk be el\H{o}sz\"or, hogy
$f(x)$ val\'oban s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'eny.
Sz\'am\'{\i}tsuk ki a $\xi+\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $g(x)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Az $f(x)$ f\"uggv\'eny minden pontban
nem negat\'{\i}v. Annak ellen\H{o}rz\'es\'ehez, hogy $f(x)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny azt kell megmutatnunk,
hogy $\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx=1$. Ez igaz, mert
$\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx=\frac12\int_{-\infty}^0 e^{x}\,dx
+\frac12\int_0^{\infty}
e^{-x}\,dx=\frac12\[e^x\]_{-\infty}^0+\frac12\[-e^{-x}\]_0^\infty=1$.
\item{} A $\xi+\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o  $g(x)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et a $g(x)=\int_{-\infty}^\infty
f(y)f(x-y)\,dy$ formula seg\'{\i}ts\'eg\'evel
sz\'am\'{\i}thatjuk ki. Sz\'am\'{\i}tsuk ki ezt az integr\'alt.
Tekints\"uk el\H{o}sz\"or azt az esetet, amikor $x\ge0$. Az
integr\'alt sz\'am\'{\i}tsuk ki \'ugy, hogy n\'ezz\"uk mind
a n\'egy (elvileg) lehets\'eges esetet, amikor a) $y\ge0$ \'es
$x-y\ge0$, b)  $y\ge0$ \'es $x-y<0$, c) $y<0$, $x-y\ge0$, d) $y<0$,
$x-y<0$. Sz\'am\'{\i}tsuk ki mind a n\'egy esetben azt, hogy milyen
tartom\'anyban veszi fel \'ert\'ek\'et az $y$ v\'altoz\'o, \'es
mi az integrandus illetve az integr\'al \'ert\'eke ebben a
tartom\'anyban. Az a) esetben $0\le y\le x$, az integrandus
$f(y)f(x-y)=\frac14e^{-y}e^{-(x-y)}=\frac{e^{-x}}4$, az integr\'al
pedig $\frac{xe^{-x}}4$ az a) tartom\'anyban. A b) esetben  $y>x$
\'es $f(y)f(x-y)= \frac{e^{-y}e^{x-y}}4=\frac{e^{x-2y}}4$ az
integr\'al pedig $\frac14\int_x^\infty e^{x-2y}\,dy=\frac{e^{-x}}8$,
a c) esetben $y<0$ \'es
$f(y)f(x-y)=\frac14e^{y}e^{-(x-y)}=\frac{e^{2y-x}}4$, az integr\'al
pedig $\frac14\int_{-\infty}^0 e^{2y-x}\,dy=\frac{e^{-x}}8$, a d)
eset nem lehets\'eges, mert ekkor egyr\'eszt az $y<0$ m\'asr\'eszt
az $y>x\ge0$ felt\'eteleknek kellene teljes\"ulni\"uk. Innen
azt kapjuk, hogy $g(x)=\frac{(x+1)e^{-x}}4$, ha $x>0$. Mivel $f$
szimmetrikus f\"uggv\'eny, ez\'ert mint nem neh\'ez megmutatni,
$f(x)$ is az. Teh\'at $g(-x)=g(x)$, \'es
$g(x)=\frac{(|x|+1)e^{-|x|}}4$.

\item{2.)} Legyen $\xi$ norm\'alis eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o $m=2$ v\'arhat\'o
\'ert\'ekkel, \'es $d=3$ sz\'or\'asn\'egyzettel. Sz\'amoljuk ki az
$E\xi^4$ v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et.
\item{} {\it Megold\'as:} \'Irjuk a $\xi$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ot $\xi=\sqrt3\eta+2$
alakban, ahol $\eta$ sztandard norm\'alis eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o. Ekkor
$\xi^4=(\sqrt3\eta+2)^4=9\eta^4+4\cdot3\sqrt3\cdot2\eta^3+6\cdot3\cdot4\eta^2+
4\cdot\sqrt3\cdot8\eta+16$. V\'arhat\'o \'ert\'eket v\'eve, \'es
felhaszn\'alva, hogy $E\eta=E\eta^3=0$ azt kapjuk, hogy
$E\xi^4=9E\eta^4+72E\eta^2+16$. Mivel $E\eta^4=3$, $E\eta^2=1$ az
el\H{o}z\H{o} feladat eredm\'enye szerint $E\xi^4=115$.

\item{3.)} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelyek k\"oz\"ul $\xi$
egyenletes eloszl\'as\'u a $[0,1]$ intervallumban, azaz
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=1$, ha $0\le x\le1$, \'es
$f(x)=0$ egy\'ebk\'ent, $\eta$ exponenci\'alis eloszl\'as\'u
$\lambda=1$ param\'eterrel, azaz s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$g(x)=e^{-x}$, ha $x\ge0$, \'es $g(x)=0$ egy\'ebk\'ent. Sz\'amoljuk
ki a $\xi+\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $h(x)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
$h(x)=\int_{-\infty}^\infty f(u)g(x-u)\,du$. Hat\'arozzuk meg, hogy
mely $u$ \'ert\'ekekre lesz a fenti integr\'al $f(u)g(x-u)$
integrandusa szigor\'uan pozit\'{\i}v. Ehhez az kell, hogy
$0\le u\le 1$, \'es $x-u\ge0$, azaz $u\le x$. A k\'et
k\"ovetelm\'enyt egy k\'epletben egyes\'{\i}tve azt \'{\i}rhatjuk,
hogy $0\le u\le\min(x,1)$. Innen k\"ovetkezik, hogy $h(x)=0$, ha $x\le0$,
$h(x)=\int_0^xe^{-(x-u)}\,du=e^{-x}[e^u]_0^x=e^{-x}(e^x-1)=1-e^{-x}$,
ha $0\le x\le1$, \'es $h(x)=\int_0^1e^{-(x-u)}\,du=e^{-x}(e-1)$, ha
$x>1$.

\item{4.)} Legyen $\xi$ egyenletes eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o a $[-1,1]$ intervallumon,
$\eta$ egyenletes eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o a $[-2,2]$ intervallumban, \'es legyen $\xi$ \'es
$\eta$ f\"uggetlen egym\'ast\'ol. Sz\'amoljuk ki $\xi+\eta$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $f(x)=\frac12$, ha
$-1\le x\le1$, $f(x)=0$ egy\'ebk\'ent a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, $g(x)=\frac14$, ha
$-2\le x\le2$, $g(x)=0$ egy\'ebk\'ent az $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, \'es $h(x)$ a $\xi+\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et. Ekkor
$h(x)=\int_{-\infty}^\infty f(u)g(x-u)\,du$. Hat\'arozzuk meg, hogy
mely $u$ \'ert\'ekekre lesz a fenti integr\'al $f(u)g(x-u)$
integrandusa szigor\'uan pozit\'{\i}v. Ehhez az kell, hogy
$-1\le u\le1$, \'es $-2\le x-u\le2$, azaz $x-2\le u\le x+2$. Ha $x>0$,
akkor ez azt jelenti, hogy $\min(x-2,-1)\le u\le1$. Innen
$-1\le u\le1$, ha $0\le x\le1$, tov\'abb\'a $x-2\le u\le1$, ha
$1\le x\le3$, \'es a tekintett halmaz \"ures, ha $x>2$. Ez\'ert
$h(x)=0$, ha $x>3$, $h(x)=\frac18\int_{x-2}^1\,du=\frac{3-x}8$, ha
$1\le x\le3$, \'es $h(x)=\frac18\int_{-1}^1\,du=\frac14$, ha
$0\le x\le1$. Mivel mind $f(x)$ mind $g(x)$ p\'aros f\"uggv\'eny,
ugyanez igaz a $h(x)$ f\"uggv\'enyre is, azaz $h(x)=h(-x)$. Innen
$h(x)=\frac14$, ha $-1\le x\le1$, $h(x)=\frac{3-x}8$, ha
$1\le|x|\le3$, \'es $h(x)=0$, ha $|x|\ge3$.

\item{5.)} Legyen $\xi$ egyenletes eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o a $[0,2]$ intervallumon,
$\eta$ egyenletes eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o az $[1,5]$ intervallumban, \'es legyen $\xi$ \'es
$\eta$ f\"ug\-get\-len egym\'ast\'ol. Sz\'amoljuk ki $\xi+\eta$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ A feladat megoldhat\'o az
el\H{o}z\H{o} feladathoz hasonl\'o m\'odon kiss\'e bo\-nyo\-lul\-tabb
sz\'amol\'assal. De egyszer\H{u}bb azt k\"ozvetlen\"ul
visszavezetni az el\H{o}z\H{o} fel\-adat\-ra. Ennek \'erdek\'eben
vegy\"uk \'eszre, hogy a $\bar\xi=\xi-1$ \'es $\bar\eta=\eta-3$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok teljes\'{\i}tik az
el\H{o}z\H{o} feladat felt\'eteleit. Ez\'ert a
$\xi+\eta=\bar\xi+\bar\eta+4$ \"osszeg $\tilde h(x)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye teljes\'{\i}ti a 
$\tilde h(x)=h(x-4)$ azonoss\'agot, ahol $h(x)$ az
el\H{o}z\H{o} feladatban tekintett v\'eletlen \"osszeg
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye. Innen $\tilde h(x)=\frac14$, ha
$-1\le x-4\le1$, $\tilde h(x)=\frac{3-x}8$, ha
$1\le|x-4|\le3$, \'es $\tilde h(x)=0$, ha $|x-4|\ge3$.

\item{6.)} Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen, (egyforma
eloszl\'as\'u) val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egyenletes
eloszl\'assal valamely $[a,b]$ intervallumon. Vegy\"uk e
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
$\xi_1^{*}<\xi_2^{*}<\dots<\xi_n^{*}$ nagys\'ag szerinti
sorbarendez\'es\'et, azaz a bel\H{o}l\"uk k\'esz\'{\i}tett
rendezett mint\'at. A $(\xi_1^*,\xi_2^*,\dots,\xi_n^*)$
v\'eletlen vektor (l\'etez\H{o}) $g(x_1,\dots,x_k)$
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et
az al\'abbi k\'eplet adja meg:
$g(x_1,\dots,x_k)=\frac{n!}{(b-a)^n}$, ha
$a\le x_1<x_2<\cdots<x_n<b$, \'es $g(x_1,\dots,x_n)=0$
egy\'ebk\'ent.

\item{}{\it Megold\'as:}\/ Azt kell bel\'atni, hogy az
$n$-dimenzi\'os t\'er tetsz\H{o}leges $C\subset R^n$
(m\'erhet\H{o}) r\'eszhalmaz\'ara
$$
P((\xi_1^{*},\xi_2^{*},\dots,\xi_n^{*})\in C)
=\int_C g(x_1,\dots,x_n)\,dx_1\dots\,dx_n.
$$
El\'eg ezt az azonoss\'agot a $C\subset A$, $A=\{(x_1,\dots,x_n)
\colon\; a< x_1<x_2,\dots<x_n<b\}$ alak\'u halmazokra bel\'atni
a $g(x_1,\dots,x_n)=\frac{n!}{(b-a)^n}$ f\"uggv\'ennyel, mert
$C\in R^n\setminus A$ eset\'en mind
$P((\xi_1^{*},\xi_2^{*},\dots,\xi_n^{*})\in C)=0$, mind
$\int_Cg(x_1,\dots,x_n)\,dx_1\dots\,dx_n=0$. Adva egy
$C\subset A$ (m\'erhet\H{o}) halmaz, vezess\"uk be az
$\{1,\dots,n\}$ halmaz $\pi\in\Pi_n$ permut\'aci\'oinak a halmaz\'at,
\'es legyen
$$
C_\pi=\{(x_{\pi(1)},\dots,x_{\pi(n)})\colon\; (x_1,\dots,x_n)\in C,\}
$$
minden $\pi\in \Pi_n$ permut\'aci\'ora \'es $C\subset A$
halmazra. Defini\'aljuk a
$\bar C=\bigcupp_{\pi\in\Pi_n}C_{\pi}$ halmazt. Ekkor
$$
\{\oo\colon\;(\xi_1^{*}(\oo),\xi_2^{*}(\oo),\dots,
\xi_n^{*}(\oo))\in C\}=
\{\oo\colon\;(\xi_1(\oo),\xi_2(\oo),\dots,\xi_n)(\oo))\in \bar C\},
$$
a $C_\pi$ halmazok diszjunktak k\"ul\"onb\"oz\H{o} $\pi$
permut\'aci\'okra, \'es minden $C\subset A$ halmazra.
Ez\'ert
$$
\align
P((\xi_1^{*},\dots,\xi_n^{*})\in C)&=P((\xi_1,\dots,\xi_n)\in\bar C)
=\int_{\bar C}\frac1{(b-a)^n} \,dx_1\dots\,dx_n\\
&=\int_C \frac{n!}{(b-a)^n} \,dx_1\dots\,dx_n,
\endalign
$$
\'es innen k\"ovetkezik a feladat \'all\'{\i}t\'asa.

\bye