\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\parskip=4pt plus 1.5pt
\nopagenumbers
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}

\nopagenumbers

\centerline{\bf Vizsga feladatok \'es k\'erd\'esek}
\medskip


\item{1.)} Legyen $W(t)$, $t\ge0$, egy Wiener folyamat. Mutassa meg,
hogy a $Z(u)=\frac{W(e^u)}{e^{u/2}}$, $-\infty<u<\infty$, sztochasztikus
folyamat stacion\'arius.


\item{2.)} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen standard
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.
Sz\'amolja ki az $\left.E\(\frac{\xi^4+1}{\eta^2+1}\right|\eta\)$
felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'eket.

\item{3.)} Mi a stacion\'arius sorozat definici\'oja? Hogy sz\'ol
az ergod t\'etel? Mi a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'enye, \'es
mi a kapcsolata az ergod t\'etellel?

\item{4.)} Hogy sz\'ol a Bochner t\'etel? Mi a spektr\'al m\'ert\'ek,
\'es mi a v\'eletlen spektr\'al m\'ert\'ek? Mik a legfontosabb
eredm\'enyek vel\"uk kapcsolatban?

\item{5.)} Mi a regul\'aris \'es szingul\'aris 
stacion\'arius sorozat definici\'oja? Melyek a r\'oluk sz\'ol\'o
legfontosabb eredm\'enyek? Mi a Wold felbont\'as?

\item{6.)} Mi a moving average \'es ARMA folyamat definici\'oja?
Milyen tipus\'uak ezek spektr\'al s\H{u}r\H{u}s\'ege?

\item{7.)} Hogy sz\'ol a K\'alm\'an-f\'ele filterr\H{o}l 
sz\'ol\'o feladat? Ismertesse r\"oviden a feladat 
meg\-ol\-d\'a\-s\'a\-nak legfontosabb tulajdons\'agait.


\item{8.)} Hogyan sz\'ol a Radon--Nikodym t\'etel?




\bye

\item{1.)} Legyenek $\xi_1,\xi_2,\dots$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, \'es defini\'aljuk az
$S_n=\summ_{j=1}^n\xi_j$, $n=1,2,\dots$ szorzatokat. Mikor lesz az
$S_1,S_2,\dots$ sorozat marting\'al?





\item{2.)} Ledobunk egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul 24~000 pontot a
$[0,2]$ intervalumra egyenletes eloszl\'assal, (azaz annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy egy ledobott pont \'ert\'eke
$x$-n\'el kisebb $\frac x2$-vel egyenl\H{o}, ha $0\le x\le 2$, eggyel
egyenl\H{o}, ha $x\ge2$, \'es nulla, ha $x\le0$.) \H{O}rizz\"uk meg
azokat a ledobott pontokat, melyek \'ert\'eke 1-n\'el kisebb, \'es
hagyjuk el azokat, melyek \'ert\'eke, nagyobb mint egy. Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a meg\"orz\"ott pontok \'ert\'ekeinek
az \"osszege 5900  \'es 6075 k\"oz\'e esik? Adjunk erre a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre j\'o k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est
a mell\'ekelt norm\'alis eloszl\'ast\'abl\'azat
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.


\item{3.)} Legyenek $\xi$, $\eta$ \'es $\zeta$ f\"uggetlen
standard norm\'alis eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok. Bizony\'{\i}tsa
be, hogy a $\xi+\eta+\zeta$, $3\xi-2\eta-\zeta$ \'es
$\xi+4\eta-5\zeta$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek.


\item{5.)} Mi a Wiener bridge definici\'oja?


\item{6.)} Hogyan sz\'ol a funkcion\'alis centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel?


\item{7.)} Mikor nevez\"unk egy Markov l\'ancot tranziens, rekurrens,
null-rekurrens illetve po\-zi\-t\'{\i}v rekurrensnek? Milyen eredm\'enyeket
ismer, amelyek seg\'{\i}tenek eld\"onteni, hogy egy Markov l\'anc
mikor tranziens, mikor null-rekurrens \'es mikor pozit\'{\i}v rekurrens?

