Vizsga feladatok és kérdések

1.) Legyen (ξ, η) egy két-dimenziós normális eloszlású véletlen vektor Eξ = Eη = 0 várható értékkel, és ismert Var ξ, Var η szórásnégyzetekkel és Cov (ξ, η) kovarianciával. Számítsa ki az E(ξ|η) feltételes várható értéket.

2.) Legyenek ξ_{1}, ξ_{2}, … független, korlátos valószínűségi változók. Vezessük be a ξ_{1}, …, ξ_{n} valószínűségi változók által generált F_{n} = σ(ξ_{1}, …, ξ_{n}) σ-algebrát, és

definiáljuk az S_{n} = ∑_{k=1}^{n} ξ_{1} ⋯ ξ_{k}, n = 1, 2, …, valószínűségi változókat. Mutassa

meg, hogy ha Eξ_{n} = 0 minden n = 2, 3, … indexre, akkor az (S_{n}, F_{n}), n = 1, 2, …, sorozat martingál.

3.) Mi a többváltozós normális eloszlás definiciója, és melyek a legfontosabb tulajdonságai ennek az eloszlásnak?

4.) Hogy szól a Bochner tétel? Mi a spektrál mérték, és mi a véletlen spektrál mérték? Mik a legfontosabb eredmények velük kapcsolatban?

5.) Mi a reguláris és szinguláris stacionárius sorozat definiciója? Melyek a róluk szóló legfontosabb eredmények? Mi a Wold felbontás?

6.) Milyen komplex függvénytani feladatot kellett megoldani annak érdekében, hogy megtaláljuk egy stacionárius sorozat Wold felbontását? Milyen eredmények segítettek abban, hogy az eredeti feladatot erre a komplex függvénytani feladatra vezessük vissza?

7.) Hogy szól a Kálmán-féle filterről szóló feladat? Ismertesse röviden a feladat megoldásának legfontosabb tulajdonságait.

8.) Legyen adva egy ξ valószínűségi változó és egy F ⊂ A σ-algebra egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőn. Hogyan definiáljuk az E(ξ|F) feltételes várható értéket?