\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\parskip=4pt plus 1.5pt
\nopagenumbers
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}

\nopagenumbers

\centerline{\bf Vizsgak\'erd\'esek}
\medskip


\item{1.)} Hogy sz\'ol a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel 
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok 
sz\'e\-ria\-so\-ro\-za\-tai\-ra? (A sz\"uks\'eges \'es 
el\'egs\'eges felt\'etel megfogalmaz\'as\'at k\'erem.) 

\item{2.)} Mikor mondjuk, hogy a sz\'amegyenesen defini\'alt 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
m\'er\-t\'e\-kek egy  sorozata feszes? Mi\'ert hasznos ez a fogalom
a hat\'areloszl\'asok elm\'elet\'eben? Milyen eredm\'enyeket ismer, 
amelyek seg\'{\i}tenek annak el\-d\"on\-t\'e\-s\'e\-ben, hogy 
a sz\'am\-egye\-ne\-sen defini\'alt val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
m\'ert\'ekek egy sorozata feszes-e?

\item{3.)} Hogyan lehet megadni a karakterisztikus f\"uggv\'enyek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel azt, hogy va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'ok egy sorozata mikor konverg\'al eloszl\'asban? Mi az 
eloszl\'asban val\'o kon\-ver\-gen\-cia definici\'oja?

\item{4.)} Egy sz\'ep tulajdons\'agokkal rendelkez\H{o}
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enyt hogyan tudunk kisz\'a\-mol\-ni 
a Fourier transzform\'altja seg\'{\i}ts\'eg\'evel? Mikor
\'erv\'enyes ez a formula? Hogy sz\'ol Weierstrass m\'asodik
approxim\'aci\'os t\'etele (folytonos f\"uggv\'enyek
app\-ro\-xi\-m\'al\-ha\-t\'o\-s\'a\-g\'a\-r\'ol 
trigonometrikus polinomokkal)?

\item{5.)} Milyen eredm\'enyeket ismer, amelyek egy f\"ugg\-v\'eny 
\'es annak Fourier transz\-for\-m\'alt\-j\'a\-nak a viselked\'ese 
k\"oz\"otti kapcsolatr\'ol sz\'olnak?

\item{6.)} Mi a korl\'atlanul oszthat\'o eloszl\'asok definici\'oja?
Milyen eredm\'enyt ismer az ilyen eloszl\'asok jellemz\'es\'er\H{o}l? 
Mi\'ert \'erdekes ez a fogalom a hat\'areloszl\'ast\'etelek 
el\-m\'e\-le\-t\'e\-ben?

\item{7.)} Milyen marting\'alokr\'ol sz\'ol\'o centr\'alis 
hat\'areloszl\'ast\'etelt ismer? Ismertesse a t\'etel 
bizony\'{\i}t\'as\'anak n\'eh\'any fontos gondolat\'at.








\bye

\item{1.)} Legyenek $\xi_1,\xi_2,\dots$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, \'es defini\'aljuk az
$S_n=\summ_{j=1}^n\xi_j$, $n=1,2,\dots$ szorzatokat. Mikor lesz az
$S_1,S_2,\dots$ sorozat marting\'al?





\item{2.)} Ledobunk egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul 24~000 pontot a
$[0,2]$ intervalumra egyenletes eloszl\'assal, (azaz annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy egy ledobott pont \'ert\'eke
$x$-n\'el kisebb $\frac x2$-vel egyenl\H{o}, ha $0\le x\le 2$, eggyel
egyenl\H{o}, ha $x\ge2$, \'es nulla, ha $x\le0$.) \H{O}rizz\"uk meg
azokat a ledobott pontokat, melyek \'ert\'eke 1-n\'el kisebb, \'es
hagyjuk el azokat, melyek \'ert\'eke, nagyobb mint egy. Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a meg\"orz\"ott pontok \'ert\'ekeinek
az \"osszege 5900  \'es 6075 k\"oz\'e esik? Adjunk erre a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre j\'o k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est
a mell\'ekelt norm\'alis eloszl\'ast\'abl\'azat
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.


\item{3.)} Legyenek $\xi$, $\eta$ \'es $\zeta$ f\"uggetlen
standard norm\'alis eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok. Bizony\'{\i}tsa
be, hogy a $\xi+\eta+\zeta$, $3\xi-2\eta-\zeta$ \'es
$\xi+4\eta-5\zeta$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek.


\item{5.)} Mi a Wiener bridge definici\'oja?


\item{6.)} Hogyan sz\'ol a funkcion\'alis centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel?


\item{7.)} Mikor nevez\"unk egy Markov l\'ancot tranziens, rekurrens,
null-rekurrens illetve po\-zi\-t\'{\i}v rekurrensnek? Milyen eredm\'enyeket
ismer, amelyek seg\'{\i}tenek eld\"onteni, hogy egy Markov l\'anc
mikor tranziens, mikor null-rekurrens \'es mikor pozit\'{\i}v rekurrens?

