Vizsga feladatok és kérdések

1.) Legyen W (t), t ≥ 0, egy Wiener folyamat. Mutassa meg, hogy a Z(u) = \frac{W (e^{u})}{e^{u/2}}, −∞ < u < ∞, sztochasztikus folyamat stacionárius.

2.) Legyen ξ és η két független standard normális eloszlású valószínűségi változó. Számolja ki az E (\frac{ξ^{4}+1}{η^{2}+1} | η) feltételes várható értéket.

3.) Mi a stacionárius sorozat definiciója? Hogy szól az ergod tétel? Mi a nagy számok erős törvénye, és mi a kapcsolata az ergod tétellel?

4.) Hogy szól a Bochner tétel? Mi a spektrál mérték, és mi a véletlen spektrál mérték? Mik a legfontosabb eredmények velük kapcsolatban?

5.) Mi a reguláris és szinguláris stacionárius sorozat definiciója? Melyek a róluk szóló legfontosabb eredmények? Mi a Wold felbontás?

6.) Mi a moving average és ARMA folyamat definiciója? Milyen tipusú ezek spektrál sűrűsége?

7.) Hogy szól a Kálmán-féle filterről szóló feladat? Ismertesse röviden a feladat megoldásának legfontosabb tulajdonságait.

8.) Mi a többváltozós normális eloszlás definiciója? Hogy szól a többváltozós centrális határeloszlástétel független, egyforma eloszlású véletlen vektorok összegére? Milyen eredményeket kell ismernünk annak megmutatásához, hogy ezen tétel állítása értelmes?