Állítás: Legyen W (t, ω) = (W_{1}(t, ω), W_{2}(t, ω)), 0 ≤ t < ∞, kétváltozós Wiener folyamat. Ekkor minden δ > 0 számra és majdnem minden ω elemi eseményhez létezik olyan ε(δ, ω) > 0 szám, amelyre inf_{0<t≤1} t^{−( \frac{1}{2} +δ)}|W (t, ω)| ≥ ε(δ, ω). (Jelölésünkben |W (t, ω)| =

\sqrt{W_{1}(t, ω)^{2} + W_{2}(t, ω)^{2})}.)

Bizonyításvázlat. Azt látjuk be, hogy minden ε > 0 számhoz létezik olyan (elég kicsi) η = η(ε, δ) > 0 szám, amelyre

P ( inf_{0<t≤η} t^{−( \frac{1}{2} +δ)}|W (t, ω)| ≥ 1) ≥ 1 − ε.  (1)

Ezen egyenlőtlenség segítségével nem nehéz belátni az eredeti állítást.

Válasszuk a következő (duplán exponenciális) sorozatot a [0, 1] intervallumban. Definiáljuk az t_{k} = 2^{−2^{εk}}, k = 1, 2, … sorozatot, és legyen u_{k} = t_{k}^{(1+δ)/2}. Először a

P (k, ε, δ) = P ( inf_{t_{k}≤t≤t_{k−1}} |W (t)| < u_{k})

valószínűségre adunk jó becslést. Nem nehéz belátni, hogy P (|W (t_{k})| < t_{k}^{1/2}k^{−1}) ≤ k^{−2}. Becsülni akarjuk először az

A(k, ε, δ) = P ({ inf_{t_{k}≤t≤t_{k−1}} |W (t)| < u_{k}} ∩ {|W (t_{k})| ≥ t_{k}^{−1/2}k^{−1}})

valószínűséget. Nem nehéz belátni, hogy a P ( inf_{t_{k}≤t≤t_{k−1}} |W (t)| < u_{k}| |W (t_{k})| = y)

feltételes valószínűség az y > 0 paraméter monoton csökkenő függvénye. mert az u^{1/2}W (ut) és W (t) Wiener folyamatok eloszása megegyezik. Ezért

A(k, ε, δ) ≤ P ( inf_{t_{k}≤t≤t_{k−1}} |W (t)| < u_{k}| |W (t_{k})| = t_{k}^{−1/2}k^{−1})

= P ( inf_{0≤t≤t_{k}−t_{k−1}} |W (t) + x̃_{k}| < u_{k}) ≤ P ( inf_{0≤t≤t_{k}} |W (t) + x̃_{k}| < u_{k}) ,

ahol x̃_{k} tetszőleges olyan vektor az R^{2} síkon, amelyre |x̃_{k}| = x_{k} = t_{k}^{−1/2}k^{−1}. Becsülni

akarjuk a B(k, ε, δ) = P ( inf_{0≤t≤t_{k}} |W (t) + x̃_{k}| < u_{k}) valószínűséget. Ennek érdekében

vezessük be a következő mennyiséget. Adva valamely 0 < u < x < v számok, jelölje S(0, u) illetve S(0, v) az origó középpontú u illetve v sugarú körvonalat, legyen x̃ ∈ R^{2} egy olyan vektor, amelyre |x̃| = x, és vezessük be a következő valószínűséget:

Q(x, u, v) = P (Az x̃ + W (t) Wiener folyamat, 0 ≤ t < ∞, előbb éri el az S(0, u)

kört, mint az S(0, v) kört.)

Ismeretes (lásd például a Dynkin–Yushkevich könyvet), hogy Q(x, u, v) = \begin{matrix}log & \frac{v}{x} \\ log & \frac{v}{u} \end{matrix}. Azt állítom, hogy u_{k} < x_{k} < v_{k} és |x̃_{k}| = x_{k} esetén

P ( inf_{0≤t≤t_{k}} |W (t) + x̃_{k}| < u_{k}) ≤ P ( sup_{0≤t≤t_{k}} |W (t)| > v_{k} − x_{k}) + Q(x_{k}, u_{k}, v_{k}). (2)

Valóban, válasszunk egy v_{k} > x_{k} számot. Az inf_{0≤t≤t_{k}} |W (t) + x̃_{k}| < u_{k} esemény csak úgy következhet be, hogy a következő A) vagy B) események valamelyike bekövetkezik. A) esemény: A W (t) + x_{k} folyamat előbb éri el az S(0, v_{k}) kört, mint az S(0, u_{k}) kört, és ez a t_{k} időpont előtt megtörténik, (hogy a Wiener folyamat még a t_{k} időpont előtt elérhesse az S(0, u_{k}) kört is.). B) esemény: W (t) + x_{k} előbb éri el az S(0, u_{k}) mint az

S(0, v_{k}) kört. Az A) esemény valószínűsége kisebb, mint P ( sup_{0≤t≤t_{k}} |W (t) + x̃_{k}| > v_{k}),

a B) esemény valószínűsége pedig Q(x_{k}, u_{k}, v_{k}). Innen következik a (2) formula.

A P (inf_{0≤t≤t_{k}} |W (t) + x̃_{k}| < u_{k}) valószínűséget a (2) formula segítségével fogjuk becsülni u_{k} = t_{k}^{(1+δ)2}, x_{k} = t_{k}^{1/2}k^{−1} és v_{k} = t_{k}^{1/2}k választással, ahol t_{k} = 2^{−2^{kε}}.

Nem nehéz belátni, hogy a fenti választással P ( sup_{0≤t≤t_{k}} |W (t)| > v_{k} − x_{k}) ≤ k^{−2}.

A Q(x_{k}, u_{k}, v_{k}) kifejezés becslése érdekében vegyük észre, hogy log \frac{v_{k}}{x_{k}} = 2 log k. Más-

részt log \frac{v_{k}}{u_{k}} = δ2^{εk} +log k. Innen nem nehéz belátni, hogy Q(x_{k}.u_{k}, v_{k}) = \begin{matrix}log & \frac{v_{k}}{x_{k}} \\ log & \frac{v_{k}}{u_{k}} \end{matrix} ≤ k^{−2},

ha k ≥ k_{0}(ε, δ). A fenti becslésekből adódik, hogy létezik olyan p = p(ε, δ) szám, amelyre

∑_{k=p}^{∞} P ( inf_{t_{k}≤t≤t_{k−1}} |W (t)| < u_{k}) < ε.

Másrészt vegyük észre, hogy tetszőleges t_{k} ≤ t ≤ t_{k−1} számokra t^{1/2+δ} ≤ t_{k−1}^{1/2+δ} ≤ t_{k}^{(1+δ)/2}. Valóban, elég megmutatni, hogy \frac{1+δ}{2} log t_{k} − (\frac{1}{2} + δ) log t_{k−1} ≥ 0, azaz −(\frac{1}{2} + \frac{δ}{2})2^{kε} +(\frac{1}{2} +δ)2^{(k−1)ε} = 2^{kε}[(\frac{1}{2} +δ)2^{−ε} −(\frac{1}{2} + \frac{δ}{2})] ≥ 0, ami igaz akkor, ha az ε = ε(δ) > 0 számot elég kicsinek választjuk. Ezért az utolsó egyenlőtlenségből következik, hogy ilyen ε választással

∑_{k=p}^{∞} P ( inf_{t_{k}≤t≤t_{k−1}} \frac{|W (t)|}{t^{\frac{1}{2} +δ}} < 1) < ∑_{k=p}^{∞} P ( inf_{t_{k}≤t≤t_{k−1}} \frac{|W (t)|}{u_{k}} < 1) < ε.

Innen következik a bizonyítandó (1) formula. Nem nehéz belátni hogy minden η > 0 és ε > 0 számhoz létezik olyan η′ = η′(η, ε) > 0 szám, amelyre

P ( inf_{η<t≤1} t^{−( \frac{1}{2} +δ)}|W (t, ω)| ≥ η′) ≥ 1 − ε.

Az (1) formulából és ebből az egyenlőtlenségből következik a bizonyítandó állítás.