\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\parskip=3pt
\TagsOnRight


\noindent
{\bf \'All\'{\i}t\'as:} {\it Legyen 
$W(t,\omega)=(W_1(t,\omega),W_2(t,\omega))$, $0\le t<\infty$,
k\'etv\'altoz\'os Wiener folyamat. Ekkor minden $\delta>0$ sz\'amra
\'es majdnem minden $\omega$ elemi esem\'enyhez l\'etezik olyan
$\varepsilon(\delta,\omega)>0$ sz\'am, amelyre
$\inf\limits_{0<t\le 1}t^{-(\frac12+\delta)}|W(t,\omega)|
\ge\varepsilon(\delta,\omega)$. (Jel\"ol\'es\"unkben 
$|W(t,\omega)|=\sqrt{W_1(t,\omega)^2+W_2(t,\omega)^2)}$.)}

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'asv\'azlat.} Azt l\'atjuk be, hogy minden 
$\varepsilon>0$ sz\'amhoz l\'etezik olyan (el\'eg kicsi) 
$\eta=\eta(\varepsilon,\delta)>0$ sz\'am, amelyre
$$
P\left(\inf_{0<t\le \eta}t^{-(\frac12+\delta)}|W(t,\omega)|\ge1\right)
\ge1-\varepsilon. \tag1
$$
Ezen egyenl\H{o}tlens\'eg seg\'{\i}ts\'eg\'evel nem neh\'ez
bel\'atni az eredeti \'all\'{\i}t\'ast.

V\'alasszuk a k\"ovetkez\H{o} (dupl\'an exponenci\'alis) sorozatot a 
$[0,1]$ intervallumban. Defini\'aljuk az $t_k=2^{-2^{\varepsilon k}}$, 
$k=1,2,\dots$ sorozatot, \'es legyen $u_k=t_k^{(1+\delta)/2}$. 
El\H{o}sz\"or a 
$$
P(k,\varepsilon,\delta)=P\left(\inf_{t_k\le t\le t_{k-1}}|W(t)|<u_k\right)
$$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre adunk j\'o becsl\'est. Nem neh\'ez 
bel\'atni, hogy $P(|W(t_k)|<t_k^{1/2}k^{-1})\le k^{-2}$. Becs\"ulni 
akarjuk el\H{o}sz\"or az
$$
A(k,\varepsilon,\delta)=P\left(\left\{\inf_{t_k\le t\le t_{k-1}}|W(t)|<u_k\right\}
\cap \{|W(t_k)|\ge t^{-1/2}_k k^{-1}\}\right)
$$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget. Nem neh\'ez bel\'atni, hogy a 
$P\left.\left(\inf\limits_{t_k\le t\le t_{k-1}}|W(t)|<u_k\right|
|W(t_k)|=y\right)$ felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg az $y>0$
param\'eter monoton cs\"okken\H{o} f\"uggv\'enye. 
mert az $u^{1/2}W(ut)$ \'es $W(t)$ Wiener folyamatok elosz\'asa megegyezik. 
Ez\'ert
$$
\align
A(k,\varepsilon,\delta)&\le 
P\left.\left(\inf_{t_k\le t\le t_{k-1}}|W(t)|<u_k\right|
|W(t_k)|= t^{-1/2}_k k^{-1}\right) \\
&=P\left(\inf_{0\le t\le t_k-t_{k-1}}|W(t)+\tilde x_k|<u_k \right)
\le P\left(\inf_{0\le t\le t_k}|W(t)+\tilde x_k|<u_k \right),
\endalign
$$
ahol $\tilde x_k$ tetsz\H{o}leges olyan vektor az $R^2$ s\'{\i}kon, 
amelyre $|\tilde x_k|=x_k=t_k^{-1/2}k^{-1}$. Becs\"ulni akarjuk a
$B(k,\varepsilon,\delta)
=P\left(\inf\limits_{0\le t\le t_k}|W(t)+\tilde x_k|<u_k \right)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget. Ennek \'erdek\'eben vezess\"uk be
a k\"ovetkez\H{o} mennyis\'eget. Adva valamely $0<u<x<v$ sz\'amok, 
jel\"olje $S(0,u)$ illetve $S(0,v)$ az orig\'o k\"oz\'eppont\'u $u$ 
illetve $v$ sugar\'u k\"orvonalat, legyen $\tilde x\in R^2$ egy 
olyan vektor, amelyre $|\tilde x|=x$, \'es vezess\"uk be a 
k\"ovetkez\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget:
$$
\align
Q(x,u,v)&=P(\text{Az }\tilde x+W(t) \text{ Wiener folyamat, } 0\le t<\infty,
\text { el\H{o}bb \'eri el az } S(0,u) \\ 
&\qquad\qquad \text{k\"ort, mint az } S(0,v) \text { k\"ort.})
\endalign
$$
Ismeretes (l\'asd p\'eld\'aul a Dynkin--Yushkevich k\"onyvet), hogy
$Q(x,u,v)=\frac{\log \frac vx}{\log \frac vu}$. Azt \'all\'{\i}tom, 
hogy $u_k<x_k<v_k$ \'es $|\tilde x_k|=x_k$ eset\'en
$$
P\left(\inf_{0\le t\le t_k}|W(t)+\tilde x_k|<u_k \right)\le
P\left(\sup_{0\le t\le t_k}|W(t)|>v_k-x_k\right)+Q(x_k,u_k,v_k). \tag2
$$
Val\'oban, v\'alasszunk egy $v_k>x_k$ sz\'amot. Az
$\inf_{0\le t\le t_k}|W(t)+\tilde x_k|<u_k$ esem\'eny csak \'ugy 
k\"ovetkezhet be, hogy a k\"ovetkez\H{o} A) vagy B) esem\'enyek 
valamelyike be\-k\"o\-vet\-ke\-zik. A)~esem\'eny: A $W(t)+x_k$ folyamat 
el\H{o}bb \'eri el az $S(0,v_k)$ k\"ort, mint az $S(0,u_k)$
k\"ort, \'es ez a $t_k$ id\H{o}pont el\H{o}tt megt\"ort\'enik, 
(hogy a Wiener folyamat m\'eg a $t_k$ id\H{o}pont el\H{o}tt 
el\'erhesse az $S(0,u_k)$ 
k\"ort is.). B)~esem\'eny: $W(t)+x_k$ el\H{o}bb \'eri el az 
$S(0,u_k)$ mint az $S(0,v_k)$ k\"ort. Az A)~ esem\'eny 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege kisebb, mint
$P\left(\sup\limits_{0\le t\le t_k}|W(t)+\tilde x_k|>v_k \right)$, a 
B)~esem\'eny val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege pedig $Q(x_k,u_k,v_k)$. 
Innen k\"ovetkezik a (2) formula.

A $P\left(\inf_{0\le t\le t_k}|W(t)+\tilde x_k|<u_k \right)$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget a (2) formula seg\'{\i}ts\'eg\'evel
fog\-juk becs\"ulni $u_k=t_k^{(1+\delta)2}$, $x_k=t_k^{1/2}k^{-1}$
\'es $v_k=t_k^{1/2}k$ v\'alaszt\'assal, ahol $t_k=2^{-2^{k\varepsilon}}$.

Nem neh\'ez bel\'atni, hogy a fenti v\'alaszt\'assal 
$P\left(\sup\limits_{0\le t\le t_k}|W(t)|>v_k-x_k\right)\le k^{-2}$. A 
$Q(x_k,u_k,v_k)$ kifejez\'es becsl\'ese \'erdek\'eben vegy\"uk
\'eszre, hogy $\log \frac{v_k}{x_k}=2\log k$. M\'as\-r\'eszt
$\log\frac {v_k}{u_k}=\delta 2^{\varepsilon k}+\log k$. Innen nem neh\'ez
bel\'atni, hogy $Q(x_k.u_k,v_k)
=\frac{\log\frac{v_k}{x_k}}{\log \frac{v_k}{u_k}}\le k^{-2}$, ha
$k\ge k_{0}(\varepsilon,\delta)$. A fenti becsl\'esekb\H{o}l ad\'odik,
hogy l\'etezik olyan $ p=p(\varepsilon,\delta)$ sz\'am,
amelyre
$$
\sum_{k=p}^\infty P\left(\inf_{t_k\le t\le t_{k-1}}|W(t)|<u_k\right)<\varepsilon.
$$

M\'asr\'eszt vegy\"uk \'eszre, hogy tetsz\H{o}leges $t_k\le t\le t_{k-1}$
sz\'amokra $t^{1/2+\delta}\le t_{k-1}^{1/2+\delta}\le t_k^{(1+\delta)/2}$. 
Val\'oban, el\'eg megmutatni, hogy 
$\frac{1+\delta}2\log t_k-(\frac12+\delta)\log t_{k-1}\ge0$, azaz
$-(\frac12+\frac\delta2)2^{k\varepsilon}+(\frac12+\delta)2^{(k-1)\varepsilon}
=2^{k\varepsilon}[(\frac12+\delta)2^{-\varepsilon}-(\frac12+\frac\delta2)]\ge0$,
ami igaz akkor, ha az $\varepsilon=\varepsilon(\delta)>0$ sz\'amot
el\'eg kicsinek v\'alasztjuk. Ez\'ert az utols\'o egyenl\H{o}tlens\'egb\H{o}l
k\"ovetkezik, hogy ilyen $\varepsilon$ v\'alaszt\'assal
$$
\sum_{k=p}^\infty P\left(\inf_{t_k\le t\le t_{k-1}}
\frac{|W(t)|}{t^{\frac12+\delta}}<1\right)<
\sum_{k=p}^\infty P\left(\inf_{t_k\le t\le t_{k-1}}\frac{|W(t)|}{u_k}<1\right)
<\varepsilon.
$$
Innen k\"ovetkezik a bizony\'{\i}tand\'o (1) formula. Nem neh\'ez
bel\'atni hogy minden $\eta>0$ \'es $\varepsilon>0$ sz\'amhoz 
l\'etezik olyan $\eta'=\eta'(\eta,\varepsilon)>0$ sz\'am, amelyre
$$
P\left(\inf_{\eta<t\le 1}t^{-(\frac12+\delta)}|W(t,\omega)|\ge\eta'\right)
\ge1-\varepsilon.
$$
Az (1) formul\'ab\'ol \'es ebb\H{o}l az egyenl\H{o}tlens\'egb\H{o}l 
k\"ovetkezik a bizony\'{\i}tand\'o \'all\'{\i}t\'as.

\bye
