\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\begin{document}

\begin{center}
\Large\bf A  konvolúcióról
\end{center}

\medskip\noindent
E jegyzetben a konvolúció fogalmát és legfontosabb tulajdonságait 
is\-mer\-te\-tem. E fogalom fontos szerepet játszik a Kockázati 
Folyamatok jegyzet tár\-gya\-lá\-sá\-ban. Felidézve a mértékelmélet 
néhány fontos fogalmát és eredményét jobb és egyszerűbb képet 
kapunk a konvolúcióról. E jegyzet célja ennek megtétele.

\medskip
Először feidézem a mértékek és előjeles mértékek fogalmát,
és ismertetek néhány róluk szóló eredményt. Legyen adva
egy $X$ halmaz és rajta egy $\cal A$ $\sigma$-algebra.
Azt mondjuk, hogy $\mu$ véges mérték az $(X,\cal A)$ 
téren, ha a $\mu(A)$ mennyiség definiálva van minden 
$A\in{\cal A}$ halmazon, $0\le\mu(A)<\infty$ minden 
$A\in{\cal A}$ halmazra, és $\mu$ $\sigma$-addit\'iv, azaz 
$\sum\limits_{j=1}^\infty\mu(A_j)=\mu\left(\bigcup\limits_{j=1}^\infty A_j\right)$
ha $A_j\in{\cal A}$ minden $j=1,2,\dots$ indexre, és az $A_j$ 
halmazok, $j=1,2,\dots$, diszjunktak. A $\mu$ mértéket 
$\sigma$-végesnek nevezzük, ha lehetséges, hogy 
$\mu(A)=\infty$ bizonyos $A\in{\cal A}$ halmazokra, de 
létezik $\cal A$-beli halmazoknak olyan  
$A_1\subset A_2\subset\cdots$  sorozata, amelynek
elemeire $\mu(A_j)<\infty$, $j=1,2,\dots$, és
$\bigcup\limits_{j=1}^\infty A_j=X$.
Azt mondjuk, hogy $\mu$ előjeles mérték az $(X,\cal A)$ téren, 
ha $\mu$ $\sigma$-addit\'iv, de megengedjük hogy $\mu(A)<0$ 
legyen bizonyos $A\in\cal A$ halmazokon. A $\mu$ előjeles 
mértéket a mértékekhez hasonlóan végesnek nevezzük, ha
$|\mu(A)|<\infty$ minden $A\in{\cal A}$ halmazra, és 
$\sigma$-végesnek, ha létezik létezik $\cal A$-beli 
halmazoknak olyan  $A_1\subset A_2\subset\cdots$  
sorozata, amelynek elemeire $|\mu(A_j)|<\infty$, 
$j=1,2,\dots$, és $\bigcup\limits_{j=1}^\infty A_j=X$.

Az anal\'izis egyik eredménye, a Hahn-féle felbontási
tétel szerint, ha adva van egy $\mu$ előjeles mérték egy 
$(X,\cal A)$  mérhető téren, akkor az $X$ halmaz felbontható 
egy a $\mu$ mérték szerint pozit\'iv és negat\'iv részre.
Pontosabban megfogalmazva a következő eredmény igaz.

\medskip\noindent
{\bf Hahn-féle felbontási tétel.} {\it Legyen adva egy 
$(X,\cal A)$ tér és rajta egy (véges vagy $\sigma$-véges) 
$\mu$ előjeles mérték. Akkor létezik olyan $B\in\cal A$ 
halmaz, amelyre igaz a következő áll\'itás. Ha 
$A\subset B$, akkor $\mu(A)\ge 0$. Ha 
$A\subset X\setminus B$, akkor $\mu(A)\le 0$.}

\medskip
A mértékelmélet következő tételben megfogalmazott eredménye
arról szól, hogy definiálhatjuk mértékterek szorzatán véges 
előjeles mértékek vagy $\sigma$-véges mértékek direkt 
szor\-za\-tát, ami ismét véges előjeles mérték, illetve 
$\sigma$-véges mérték.

\medskip\noindent
{\bf Tétel szorzatmértékek létezéséről szorzattereken.} 
{\it Legyen adva egy $(X,\cal A,\mu)$ és egy $(Y,\cal B,\nu)$  
mértéktér, ahol $\mu$  és $\nu$ véges előjeles mértékek vagy 
$\sigma$-véges mértékek az $(X,\cal A)$ illetve 
$(Y,\cal B)$ mérhető tereken. Tekintsük az $X\times Y$ 
szorzatteret, rajta az $\cal A\times\cal B$ 
$\sigma$-algebrával. Ekkor létezik egy olyan egyértelműen 
meghatározott $\mu\times\nu$ véges előjeles mérték, illetve a 
második esetben $\sigma$-véges (nem előjeles) szorzatmérték 
az $\cal A\times\cal B$ $\sigma$-algebrán, amelyikre 
$(\mu\times\nu)(A\times B)=\mu(A)\nu(B)$ minden olyan 
$A\in{\cal A}$ és $B\in\cal B$ halmazpárra, amelyre 
$|\mu(A)|<\infty$, $|\nu(B)|<\infty$.
} 

\medskip
Ehhez az eredményhez kapcsolódik az anal\'izisben 
rendk\'ivül fontos sze\-re\-pet játszó Fubini tétel.

\medskip\noindent
{\bf Fubini tétel.} {\it Legyen adva egy $(X,\cal A,\mu)$ 
és egy $(Y,\cal B,\nu)$ mértéktér, ahol $\mu$ és  $\nu$ 
két véges vagy $\sigma$-véges mérték, és ezek szorzata, 
az $(X\times Y,\cal A\times\cal B,\mu\times\nu)$  mértéktér. 
Legyen $f(x,y)$ egy kétváltozós integrálható függvény az
$(X\times Y,\cal A\times\cal B,\mu\times\nu)$  szorzattéren, 
azaz legyen  
$\int_{X\times Y}|f(x,y)|(\mu\times\nu)(\,dx,\,dy)<\infty$.
Ekkor érvényes a következő azonosság:
$$
\int_{X\times Y}f(x,y)(\mu\times\nu)(\,dx,\,dy)=\int_Y
\left(\int_X f(x,y)\mu(\,dx)\right)\nu(\,dy).
$$
}

\medskip
A továbbiakban csak az $R^1$ számegyenesen, illetve 
a $[0,\infty)$  félegyenesen definiált előjeles 
mértékekkel foglalkozunk. Az $R^1$ számegyenesen 
definiált előjeles mértékek esetében feltesszük, 
hogy azok végesek, a $[0,\infty)$ fél\-egye\-ne\-sen 
de\-fi\-ni\-ált előjeles mértékek esetében pedig azt, 
hogy azok lokálisan végesek. Ez utóbbi tulajdonság 
azt jelenti, hogy a figyelembe vett előjeles mérték 
megszor\'itása tetszőleges véges $[a,b]$, 
$0\le a<b<\infty$, intervallumra véges. Pontosabban 
fogalmazva, azt mondjuk, hogy $\mu$ lokálisan véges 
előjeles mérték a $[0,\infty)$ félegyenesen, ha $\mu$ 
olyan függvény a $[0,\infty)$ félegyenes Borel mérhető 
részhalmazain, amelynek megszor\'itása 
tetszőleges véges $[a,b]$, $0\le a<b<\infty$, 
intervallum Borel mérhető részhalmazaira véges 
előjeles mérték. Viszont nem követeljük meg, hogy 
$\mu$ előjeles mérték legyen a $[0,\infty)$
félegyenes Borel mérhető rész\-hal\-ma\-za\-in. (Az okozhat 
problémát a $\mu$ előjeles mérték kiterjesztésében 
a $[0,\infty)$ fél\-egye\-ne\-sen definiált előjeles 
mértékké, hogy megjelenhetnek olyan $A$ halmazok is, 
amelyekre $\mu(A)=\infty$, és olyan $A$ halmazok is, 
amelyekre $\mu(A)=-\infty$. De egy előjeles
mérték nem tartalmazhat mind plusz mind minusz végtelen
mértékű halmazt.) 

Hasonlóan definiálhatjuk az $R^1$
számegyenes Borel mérhető halmazain definiált lokálisan 
véges előjeles mértékeket. Ezek olyan a számegyenes 
Borel mérhető halmazain definiált függvények, amelyeknek 
megszor\'itása tet\-sző\-le\-ges $[a,b]$ véges intervallumra
véges előjeles mérték. Számunkra kényelmes lesz olyan lokálisan
véges előjeles mértékekkel dolgozni a számegyenesen, amelyek 
eltünnek a $(-\infty,0)$ félegyenesen, és megszor\'itásuk 
a $[0,\infty)$ félegyenesre lokálisan véges előjeles mérték. 
Van egy természetes kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés 
az ilyen lokálisan véges előjeles mértékek között a 
szám\-egye\-ne\-sen és a lokálisan véges előjeles mértékek 
között a $[0,\infty)$ félegyenesen. Ez a megfeleltetés hasznos 
néhány későbbi ér\-ve\-lé\-sünk\-ben.
 
Definiálhatjuk két az $R^1$ számegyenesen, illetve 
a $[0,\infty)$ félegyenesen adott, és a fenti 
tulajdonsággal rendelkező $\mu$ és $\nu$ előjeles mérték 
$\mu*\nu$ konvolúcióját a következő formula seg\'itségével.
Ha $\mu$ és $\nu$ a számegyenesen definiált véges
előjeles mértékek, akkor
$$
\mu*\nu(A)=(\mu\times\nu)(\{(x,y)\colon\;x+y\in A\})
$$
minden Borel mérhető $A$ halmazra az $R^1$ számegyenesen.
Ha $\mu$ és $\nu$ lokálisan véges előjeles mértékek
a $[0,\infty)$ félegyenesen, akkor is ez a képlet definiálja
$\mu$ és $\nu$ konvolúcióját, de ebben az esetben a $[0,\infty)$ 
félegyenesnek csak a korlátos, Borel mérhető $A$ részhalmazaira 
definiáljuk a $\mu*\nu(A)$ mennyiséget. Pontosabban fogalmazva:
Ha $A\subset [0,\infty)$  korlátos, Borel mérhető halmaz, akkor
$$
\mu*\nu(A)=\lim_{T\to\infty}\mu_T*\nu_T(A)
=\lim_{T\to\infty}(\mu_T\times\nu_T)(\{(x,y)\colon\;x+y\in A\}),
$$
ahol $\mu_T$ és $\nu_T$ a $\mu$ és $\nu$ lokálisan véges
előjeles mértékek megszor\'itása a $[0,T]$ intervallumra. A 
fenti határérték létezik, mert ha $A\subset [0, s]$, akkor 
$T>s$ esetén a $\mu_T*\nu_T(A)$ valósz\'inűség nem függ a $T$
számtól.

Nem nehéz belátni a konvolúció következő tulajdonságait.

\medskip\noindent
{\bf Tétel a konvolúció tulajdonságairól.} {\it Két az $R^1$ 
számegyenesen definiált véges $\mu$ és $\nu$ előjeles mérték 
konvolúciója egy véges előjeles mérték. Két a $[0,\infty)$ 
fél\-egye\-ne\-sen definiált lokálisan véges $\mu$ és $\nu$ 
előjeles mérték konvolúciója lokálisan véges előjeles mérték
a $[0,\infty)$ félegyenesen. A konvolúció operátor 
kommutat\'iv, azaz $\mu*\nu=\nu*\mu$, asszociat\'iv, azaz 
$(\mu*\nu)*\chi=\mu*(\nu*\chi)$, és disztribut\'iv, azaz 
teljes\'iti a $\mu*(a\nu_1+b\nu_2)=a(\mu*\nu_1)+b(\mu*\nu_2)$ 
azonosságot is.}

\medskip
Az irodalomban általában nem mértékek, hanem (bizonyos 
tu\-laj\-don\-sá\-go\-kat teljes\'itő) függvényekre definiálják a
konvolúciót. Ahhoz, hogy ezt megtehessük be kell vezetni néhány 
fogalmat, és fel kell idézni néhány eredményt az anal\'izisből. 
Egyrészt definiálni kell a korlátosan változó függvény fogalmát,
és meg kell magyarázni ennek kapcsolatát a monoton függvényekkel.
Másrészt be kell vezetni a Stieltjes mértékek fogalmát, és 
ismertetni kell az erre vonatkozó legfontosabb eredményeket.

\medskip\noindent
{\bf A korlátosan változó függvény fogalma.} {\it Egy $[a,b]$ 
intervallumon de\-fi\-ni\-ált $f(x)$ függvény (megengedett az 
$a=-\infty$ és $b=\infty$ eset is) korlátos vál\-to\-zá\-sú 
ezen az intervallumon, ha létezik olyan $K<\infty$ szám, 
amelyre igaz, hogy bármely $n>1$ indexre és 
$a\le x_0<x_1<\dots<x_{n-1}<x_n\le b$ számsorozatra
$\sum_{j=1}^n|f(x_j)-f(x_{j-1})|\le K$.}

\medskip\noindent
{\bf A korlátosan változó függvények jellemzése.}  {\it
Két korlátos és monoton növekvő függvény különbsége korlátos változású.
Megford\'itva, egy $[a,b]$ intervallumon (lehet $a=-\infty$ és  
$b=-\infty$) korlátos változású
függvény előáll\'itható két monoton növekvő korlátos függvény 
különbségeként. Megadunk egy ilyen felbontást, amelyik bizonyos
értelemben optimális. 

Definiáljuk egy $f(x)$ függvény $M_+(f(x))$ pozit\'iv
és $M_-(f(x))$ negat\'iv va\-riá\-ció\-ját egy $a\le x\le b$ 
pontban a következő módon. Tekintsük az
$a\le y_0<y_1<\dots<y_{n-1}<y_n\le x$ számsorozatokat, és 
definiáljuk az $M_+(f(x))=\sup\sum_{j=1}^n|f(y_j)-f(y_{j-1})|_+$ és
$M_-(f(x))=\sup\sum_{j=1}^n|f(y_j)-f(y_{j-1})|_-$ függ\-vé\-nye\-ket,
ahol a szuprémumot az összes előirt tulajdonságú
$a\le y_0<y_1<\dots<y_{n-1}<y_n\le x$ számsorozatra
vesszük, és $|x|_+=\max(x,0)$, és $|x|_-=\max(-x,0)$.
Ekkor az $M_+(f(x))$ és $M_-(f(x))$  (ezek az
$f(x)$ függvény pozit\'iv és negat\'iv variációi) korlátos és
monoton növekvő függvények, amelyekre $f(x)=f(a)+M_+(f(x))-M_-(fx))$.

Azt mondjuk, hogy egy a $[0,\infty)$ félegyenesen definiált 
$f(x))$ függvény lokálisan korlátos, illetve lokálisan korlátos 
változású, ha a megszoritása minden véges $[a,b]$ intervallumra,
$0\le a<b<\infty$ korlátos, illetve korlátos változású.
Az előző esethez hasonlóan látható, hogy egy függvény akkor és
csak akkor lokálisan korlátos változású a $[0,\infty)$ félegyenesen, 
ha előáll\'itható két a $[0,\infty)$ félegyenesen monoton növekvő,
lokálisan korlátos függvény kü\-lönb\-sé\-ge\-ként.}

\medskip
Annak érdekében, hogy bevezessük a Stieltjes mértékeket előbb 
ismertetni kell a monoton és korlátos változású függvények néhány
tulajdonságát. Minden a számegyenesen monoton függvényre igaz, hogy 
megszámlálhatóan sok pont kivételével folytonos, és minden pontban
van bal és jobboldali ha\-tár\-ér\-té\-ke, (amelyek a szakadási 
pontokban különböznek). Mivel a korlátos változású (és a 
lokálisan korlátos változású) függvények két monoton függvény 
kü\-lönb\-sé\-ge\-ként áll\'ithatóak elő, ugyanez az áll\'itás
rájuk is érvényes. 

A továbbiakban csak olyan monoton, illetve (lokálisan) korlátos
változású függvényekkel fogunk foglalkozni, amelyeknek értékei
megegyeznek a jobb\-oldali határértékükkel. Az ilyen függvényeket
c\`adl\`ag, (continue \`a droite, limite \`a gauche) függvényeknek
nevezik. Ilyen függvények seg\'itségével fogjuk konstruálni a
Stieltjes mértékeket. Az egész számegyenesen definiált véges
előjeles mértékeket az egész számegyenesen definiált korlátos
változású függ\-vé\-nyek seg\'itségével adjuk meg. Meg k\'ivánjuk 
adni a $[0,\infty)$ félegyenesen definiált lokálisan véges
előjeles mértékeket is al\-kal\-mas módon. Ezt a $[0,\infty)$ 
intervallumon definiált lokálisan korlátos változású függvények 
seg\'itségével tehetjük meg. De technikailag kényelmesebb az 
ilyen előjeles, lokálisan véges mértékeket azokkal az egész 
számegyenesen definiált függvények seg\'itségével megadni, 
amelyek a $(-\infty,0)$ félegyenesen nullával egyenlőek. Ez 
annak felel meg, hogy a $[0,\infty)$ félegyenesen definiált 
előjeles lokálisan véges mértékeket olyan az egész 
számegyenesen definiált lokálisan véges előjeles mértékekkel 
azonos\'itjuk, amelyek eltünnek a $(-\infty,0)$ félegyenesen.

\medskip\noindent
{\bf Tétel a Stieltjes mértékek konstrukciójáról.} {\it Legyen
adva egy olyan korlátos változású c\`adl\`ag $f(x)$ függvény 
a számegyenesen, amelyre teljesül a $\lim_{x\to-\infty} f(x)=0$
reláció. Létezik egy olyan egyértelműen meghatározott véges 
előjeles $\mu$ mérték a számegyenes Borel mérhető halmazain, 
amelyre $\mu((a,b])=f(b)-f(a)$ minden $-\infty<a<b<\infty$ 
számpárra. Minden a számegyenes Borel halmazain  definiált 
véges $\mu$ előjeles mérték előállitható ilyen $f(x)$ 
függvény seg\'itségével. Ezt az $f(x)$ függvényt egyértelműen 
meg\-ha\-tá\-roz\-za az általa generált $\mu$ előjeles mérték, 
nevezetesen $f(x)=\mu((-\infty,x])$. Ilyen módon kölcsönösen 
egyértelmű megfeleltetést adtunk a számegyenes Borel halmazain 
de\-fi\-ni\-ált véges $\mu$ előjeles mértékek és a számegyenesen 
de\-fi\-ni\-ált olyan korlátos változású c\`ad\-l\`ag $f(x)$ 
függvények között, amelyekre \hfill\break 
$\lim_{x\to-\infty} f(x)=0$. 

Legyen adva egy olyan lokálisan korlátos változású c\`adl\`ag 
$f(x)$ függvény a számegyenesen, amelyre $f(x)=0$ minden 
$-\infty<x<0$ számra. Lé\-te\-zik olyan egyértelműen
meghatározott lokálisan véges előjeles $\mu$ mérték a 
szám\-egye\-nes Borel mérhető halmazain, amelyre  $\mu(A)=0$, 
ha $A\subset(-\infty,0)$, és $\mu((a,b])=f(b)-f(a)$ minden 
$0\le a<b<\infty$ számpárra. Minden a számegyenes Borel
halmazain  definiált lokálisan véges $\mu$ előjeles mérték,
amely nullával egyenlő a $(-\infty,0)$ félegyenes Borel mérhető  
részhalmazain előállitható ilyen $f(x)$ függvény 
se\-g\'it\-sé\-gé\-vel. Ezt az $f(x)$ függvényt 
egy\-ér\-tel\-mű\-en meghatározza az általa generált $\mu$ 
mérték, nevezetesen $f(x)=\mu((-\infty,x])$. Ilyen módon 
köl\-csö\-nö\-sen egy\-ér\-tel\-mű\-en megfeleltettük 
egymásnak a szám\-egye\-nes Borel mérhető halmazain 
definiált olyan lo\-ká\-li\-san véges $\mu$ előjeles 
mértékeket, amelyekre $\mu(A)=0$, ha $A\subset(-\infty,0)$ 
és azokat a számegyenesen de\-fi\-ni\-ált lokálisan korlátos 
változású c\`ad\-l\`ag $f(x)$ függ\-vé\-nye\-ket, amelyekre 
$f(x)=0$, ha $x<0$.} 

\medskip
A fenti tételben kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést
létes\'itettünk a számegyenes Borel halmazain definiált
véges előjeles mértékek és a $-\infty$-ben eltűnő korlátos változású
 c\`adl\`ag függvények között. Nevezetesen a $\mu$
elójeles mérteknek az $f(x)=\mu((-\infty,x])$  függvény felel meg,
egy $f(x)$ függvénynek pedig az a $\mu$ mérték, amelyre 
$\mu((a,b])=f(b)-f(a)$ minden $a<b$ számpárra. Ez a tulajdonság 
egyértelműen meghatározza a $\mu$ mértéket.

Hasonlóan az $f(x)=\mu(-\infty,x])$, $x\ge0$, illetve
$\mu(a,b])=f(b)-f(a)$, ha $0\le a<b$, $\mu(\{0\}=f(0)$ 
képlet kölcsönösen egyértelmű leképezést ad a számegyenes 
Borel mérhető halmazain definiált, és a $(-\infty,0))$ 
fél\-egye\-nes rész\-hal\-ma\-zain eltűnő lokálisan véges 
előjeles mértékek és a $[0,\infty)$ fél\-egy\-ene\-sen 
de\-fi\-ni\-ált lokálisan korlátos változású c\'adl\'ag 
függvények között. Mivel az ilyen lokálisan véges előjeles 
mértékek azonos\'ithatóak megszor\'itásukkal a $[0,\infty)$ 
félegyenesre, ilyen módon kölcsönösen egyértelmű 
megfeleltetést adtunk a $[0,\infty)$ fél\-egye\-nes Borel 
halmazain de\-fi\-ni\-ált lokálisan véges előjeles mértékek 
és a $[0,\infty)$ fél\-egye\-ne\-sen definiált lokálisan 
korlátos változású c\`adl\`ag függvények között.

A fenti tulajdonságok és a mértékek konvolúciójára adott definició 
alapján definiálhatjuk a számegyenesen definiált korlátos változású
illetva a $[0,\infty)$  félegyenesen definiált lokálisan korlátos 
változású és c\`adl\`ag függvények konvolúcióját. Nevezetesen, 
ha $Fx)$ és $G(x)$ korlátos változású, a  $-\infty$-ben 
eltünő c\`adl\`ag függvények a
számegyenesen, akkor az $F$ és $G$ függvények  $F*G$ konvolúcióját a 
$\mu_{F*G}=\mu_F*\mu_G$ képlet adja meg, ahol $\mu_F$ az $F$ függvény 
$\mu_G$ a $G$ függvény, $\mu_{F*G}$ pedig a (definiálandó) $F*G$
függvénynek megfelelő előjeles mérték a fenti előjeles mértékek és adott
tulajdonságú függvények között definiált kölcsönösen egyértelmű 
megfeleltetés szerint.

Hasonlóan, ha $Fx)$ és $G(x)$ lokálisan korlátos változású  
c\`adl\`ag függ\-vé\-nyek a $[0,\infty)$ félegyenesen, akkor 
az $F$ és $G$ függvények  $F*G$ konvolúcióját a 
$\mu_{F*G}=\mu_F*\mu_G$ képlet adja meg, ahol $\mu_F$ az $F$ függvény 
$\mu_G$ a $G$ függvény, $\mu_{F*G}$ pedig a (definiálandó) $F*G$
függvénynek megfelelő lokálisan véges előjeles mérték a 
fenti lokálisan véges előjeles mértékek és adott
tulajdonságú függvények között definiált kölcsönösen egyértelmű 
megfeleltetés szerint.

A konvolúció fenti implicit módon megadott definicióját fel tudjuk
\'irni explicit formában is. Ha  $Fx)$ és $G(x)$ két korlátos változású, 
a $-\infty$-ben eltünő és c\`adl\`ag függvény a
számegyenesen, akkor a definició szerint tetszőleges $x$ számra
\begin{eqnarray*}
F*G(x)&=&\mu_{F*G}((-\infty,x])=\mu_F\times\mu_G((\{(u,v)\colon\; u+v\le x\})\\
&=&\int I_x(u,v)(\mu_F\times\mu_G)(\,du,\,dv),
\end{eqnarray*}
ahol $I_x(u,v)=1$, ha $u+v\le x$, és $I_x(u,v)=0$, ha $u+v>x$.

Mivel $\int|I_x(u,v)|(\mu\times\nu)(\,du,dv)<\infty$, az utolsó 
formula jobboldalán lévő kifejezés kiszámolására alkalmazhatjuk
a Fubini tételt. Azt kapjuk, hogy
$$
F*G(x)
=\int_{-\infty}^\infty\left(\int_{-\infty}^\infty I_x(u,v)\mu_F(\,du)\right)
\mu_G(\,dv)=\int_{-\infty}^\infty F(x-v)\mu_G(dv).
$$
Az irodalomban a $G$ függvény által meghatározott $\mu_G(\,dv)$
Stieltjes mérték helyett
$G(\,dv)$-t \'irnak. Ebben a formalizmusban azt kaptuk, hogy
\begin{equation}
F*G(x)=\int_{-\infty}^\infty F(x-v)G(\,dv). \label{1}
\end{equation}
Abban az esetben, ha a $[0,\infty)$ félegyenesen defininiált
lokálisan korlátos változású c\'adl\'ag $F(x)$ és $G(x)$ függvények
konvolúcióját akarjuk kiszámolni, akkor az előző számoláshoz hasonlóan
azt kapjuk, hogy
\begin{equation}
F*G(x)=\int_0^x F(x-v)\mu_G(\,dv)=\int_0^x F(x-v)G(\,dv), \label{2}
\end{equation}
ahol $G(\,dv)$ a $\mu_G$ Stieltjes mérték szerinti $\mu_G(\,dv)$ 
integrálást jelenti. Ter\-mé\-sze\-te\-sen, a 
az (\ref{1}) és (\ref{2}) képletekben az $F$
és $G$ függvény szerepe fölcserélhető, és azok \'igy is \'irhatóak:
$$
F*G(x)=G*F(x)=\int_{-\infty}^\infty G(x-v)F(\,dv),
$$
illetve
$$
F*G(x)=G*F(x)=\int_0^x G(x-v)F(\,dv).
$$
Ha az (\ref{1}) formulában definiált $F(x)$ függvény 
$F(x)=\int_{-\infty}^xf(u)\,du$ 
alakban \'irható, ami az egyik lehetséges megfogalmazása annak, 
hogy $F(x)$ abszolút folytonos függvény, akkor az $F*G$ 
konvolúciónak van sűrűségfüggvénye, amelyik a
$$
h(x)=\int_{-\infty}^\infty f(x-v)G(\,dv), \quad \textrm{\'es}\quad
F*G(x)=\int_{-\infty}^x h(u)\,du
$$
képlettel adható meg. Valóban, ebben az esetben némi számolás,
amelyben felhasználjuk a Fubini tételt azt adja, hogy
\begin{eqnarray*}
F*G(x)&=&\int_{-\infty}^\infty \left(\int_{-\infty}^{x-v}f(u)\,du\right)G(\,dv)
=\int_{-\infty}^\infty \left(\int_{-\infty}^xf(u-v)\,du\right)G(\,dv) \\
&=&\int_{-\infty}^x \left(\int_{-\infty}^xf(u-v)G(\,dv\right)\,du
=\int_{-\infty}^x h(v)\,dv,
\end{eqnarray*}
ahol
$$
h(x)=\int_{-\infty}^x f(x-v)G(\,dv),
$$
és ezt kellett belátni.

Hasonlóan mutatható meg,hogy ha a (\ref{2}) formulában szereplő 
$F(x)$ függ\-vény\-re
$F(x)=\int_0^xf(u)\,du$, akkor az abban
szereplő $F*G(x)$ függvénynek van sűrűségfüggvénye, és az a
$$
h(x)=\int_0^x f(x-v)G(\,dv), \quad \textrm{\'es}\quad
F*G(x)=\int_0^x h(u)\,du
$$
képlettel adható meg. 

Ha mind az $F$ mind a $G$ függvénynek van sűrűségfüggvénye
az (\ref{1}) illetve (\ref{2}) formulában, azaz
$F(x)=\int_{-\infty}^x f(u)\,du$, $G(x)=\int_{-\infty}^x g(u)\,du$
az (\ref{1}), illetve $F(x)=\int_0^x f(u)\,du$, $G(x)=\int_0^x g(u)\,du$
a (\ref{2}) formulában szereplő $F$ és $G$ függvényekre, akkor 
az anal\'izis néhány klasszikus eredménye alapján az $F*G$ 
konvolúció fel\'irható a következő alakban:
$$
h(x)=\int_{-\infty}^\infty f(x-v)g(dv)\,dv \quad \textrm{\'es}\quad
F*G(x)=\int_{-\infty}^x h(u)\,du
$$
az első, illetve
$$
h(x)=\int_0^x f(x-v)g(v)\,dv, \quad \textrm{\'es}\quad
F*G(x)=\int_0^x h(u)\,du
$$
a második esetben.

\medskip
Végül a következő két kérdéssel kivánunk foglalkozni:

\medskip\noindent
1.) Hogyan viszonyul az itt vizsgált konvolúció a 
valósz\'inűségszám\'itásban korábban bevezetett konvolúcióhoz?

\noindent
2.) Miért volt érdemes bevezetni a $[0,\infty)$ félegyenesen definiált
lokálisan véges előjeles mértékek, illetve lokálisan korlátos
változású függvények konvolúcióját?

\medskip
A valósz\'inűségszám\'itás tanulmányozása során már ta\-lál\-koz\-tunk 
a konvolúció fogalmával. Ezt a következőképp vezettük be. Ha 
adott két $F$ és $G$ el\-osz\-lás\-függ\-vény, akkor vettünk két 
független $\xi$ és $\eta$ valósz\'inűségi változót, ahol 
$\xi$ $F$ és $\eta$ $G$ eloszlású volt, és az $F*G$  
konvolúciót úgy definiáltuk, mint a $\xi+\eta$ véletlen összeg
eloszlásfüggvényét. Vegyük észre, hogy $P(\xi+\eta\le x)
=(\mu_F\times\mu_G)(\{(u,v)\colon\; u+v\le x\})=\mu_F*\mu_G((-\infty,x])$,
 ahol $\mu_F$ az $F$ és $\mu_G$ a $G$ eloszlásfüggvény által
meghatározott Stieltjes mérték. Ez azt jelenti, hogy a 
korábban tanult konvolúció a most tárgyalt konvolúciónak az a
speciális esete, amikor csak eloszlásfüggvények konvolúcióját
tekintjük. A konvolúció által meghatározott sűrűségfüggvény
kiszám\'itására tanult formulák is az itt sze\-rep\-lő formulák
speciális esetei. Ha a most tárgyalt konvolúció
megszor\'itását tekintjük eloszlásfüggvények közötti 
konvolúcióra, és ezt hasonl\'itjuk össze a korábban tanult 
konvolúcióval, akkor egy különbséget találunk e két fogalom között. 
Azt, hogy jelenleg egy $\xi$ valósz\'inűségi változó 
eloszlásfüggvényét az $F(x)=P(\xi\le x)$,
m\'ig korábban az $F(x)=P(\xi<x)$
képlet seg\'itségével definiáltuk. Az, hogy
e két definició közül melyiket választjuk izlés
kérdése. Most azért kellett ezt az új definiciót
választanunk mert c\`adl\`ag függvényekkel akartunk 
dolgozni.Az hogy az eloszlásfüggvény definiciójának 
fenti két lehetősege közül melyiket kell választanunk,
attól függ hogyan definiáltuk a konvolúciót:
az $F*G(x)=\mu_{F*G}(-\infty,x])$ vagy az
$F*G(x)=\mu_{F*G}(-\infty,x))$ képlet seg\'itségével.

\medskip
A $[0,\infty)$ félegyenesen definiált lokálisan véges előjeles
mértékek és lo\-ká\-li\-san korlátos változású függvények 
konvolúciójának bevezetését a felúj\'itási tétel, a felúj\'itási 
egyenlet, és az ezzel kapcsolatos problémák tették 
ter\-mé\-sze\-tes\-sé. Idézzünk fel egy a felúj\'itási 
folyamatokról szóló gyakran használt eredményt. 

\medskip
Legyenek $X_1,X_2,\dots$, független és azonos eloszlású 
valósz\'inűségi változók valamilyen $G$ eloszlásfügvénnyel, 
amelyekre $P(X_1\ge0)=1$ és $P(X_1)>0)>0$. Vezessük be a 
$T_0=0$, $T_n=X_1+\dots+X_n$, $n=1,2,\dots$, véletlen 
összegeket, és minden $t\ge0$ szám\-ra az $N_t$
mennyiséget, amelyet az
$$
N_t=\max\{n\ge0\colon\;T_n\ge t\}, \quad t\ge0
$$
képlet definiál. Legyen $m(t)=EN_t=\sum_{m=1}^\infty G^{*m}(t)$,
ahol $G^{*m}$ a $G$ el\-osz\-lás\-függ\-vény $m$-szeres 
konvolúcióját jelöli önmagával. (Az utolsó formula második 
azo\-nos\-sá\-ga az előbb eml\'itett tétel áll\'itása.) Mint a 
Kockázati Folyamatok jegyzet is igazolja, érvényes az 
$$
m(t)=G(t)+m*G(t), \quad t\ge0,
$$
azonosság. Itt $m*G$ az $m$ és $G$ a $[0,\infty)$ félegyenesen
definiált függvények konvolúcióját jelöli. Vegyük észre, hogy
az $m(t)$ függvény monoton, lokálisan korlátos, ezért lokálisan korlátos
változású függvény. Ezért a fenti képletben szereplő konvolúció
(az ebben a jegyzetben is tárgyalt általánosabb ér\-te\-lem\-ben) egy
jól definiált fogalom.

Még fontosabb kérdés az úgynevezett felúj\'itási egyenlet vizsgálata,
ami bizonyos problémákban megjelenik, és amelynek vizsgálata az itt
bevezetett konvolúció alkalmazását igényli az általános esetben.

A felúj\'itási egyenletben az előbb bevezetett $G$ és $m$ függvényekkel
dolgozunk, és a következő problémával foglalkozunk: Adva egy
$a(t)$, $t\ge0$, függvény, létezik-e megoldása az
$$
A(t)=a(t)+\int_0^tA(t-x)G(\,dx)=(a+A*G)(t), \quad t\ge0
$$
egyenletnek? (Itt $A(t)$ az ismeretlen, keresett függvény.) A következő
ered\-mény érvényes.

\medskip\noindent
{\bf Tétel.} {\it Ha $a(t)$, $t\ge0$, lokálisan korlátos változású
c\`adl\`ag függvény a $[0,\infty)$ fél\-egye\-ne\-sen, akkor 
a fenti egyenletnek létezik egyértelműen meghatározott 
meg\-ol\-dá\-sa a $[0,\infty)$  félegyenesen definiált korlátos 
változású c\`adl\`ag függvények terében, és 
az meg\-ad\-ha\-tó a következő képlet seg\'itségével.  
$$
A(t)=(a+a*m)(t).
$$
}

Megjegyzem, hogy a felúj\'itási egyenlet fenti alakú megoldásának 
és a fel\-új\'i\-tá\-si tételnek egy fontos következménye az, 
hogy a felúj\'itási egyenlet $A(t)$  meg\-old\-á\-sá\-nak 
aszimptotikus viselkedéséről  $t\to\infty$ esetén pontos 
információnk van. Er\-ről szól a Kockázati Folyamatok jegyzetben 
az 1.27.~Tétel.


\end{document}
