Feladatok:

1a) Legyen X és Y két valószínűségi változó, amelyekre EX^{2} < ∞, EY^{2} < ∞, és legyen F olyan σ-algebra, amelyre X F mérhető. Mutassa meg, hogy

E(Y^{2}|F) = E((Y − X)^{2}|F) + 2XE((Y − X)|F) + X^{2}.

1b) Mutassa meg a fenti azonosság segítségével, hogy ha (X_{n}, F_{n}), n = 1, 2, …, martingál, amelyre EX_{n}^{2} < ∞ minden n indexre, akkor (X_{n}^{2}, F_{n}), n = 1, 2, …, szubmartingál.

1c) Mutassa meg, hogy ha (X_{n}, F_{n}), n = 1, 2, …, martingál, akkor (|X_{n}|, F_{n}), n = 1, 2, …, vagy (X_{n}^{+}, F_{n}), n = 1, 2, …, ahol X_{n}^{+} = max(X_{n}, 0) szubmartingál.

2.) Egy igazságos kaszinóban tétünket duplázva addig játszunk, amíg biztosan nem nyerünk egy forintot. Azaz X_{n}, n = 1, 2, …, n időpontbeli nyereményünk a következőképp változik. Legyenek Y_{0}, Y_{1}, … független valószínűségi változók, amelyekre P (Y_{n} = 1) = P (Y_{n} = −1) = \frac{1}{2}, n = 0, 1, …, és definiáljuk az X_{1} = Y_{0}, X_{n+1} = X_{n} + 2^{n}Y_{n}I_{{X_{n}<0}}, n = 1, 2, …, valószínűségi változókat, ahol I_{A} az A halmaz indikátorfüggvényét jelöli.

a) Mutassa meg, hogy (X_{n}, F_{n}), ahol F_{n} = σ(Y_{0}, , …, Y_{n−1}) martingál. X_{n} → 1 1 valószínűséggel, ha n → ∞, de az X_{n} sorozat nem konvergál L_{1} normában, ha n → ∞.

b) (Szorgalmi?) Mutassa meg, hogy E sup_{n≥1} |X_{n}| = ∞.

3.) Legyenek X_{1}, X_{2}, … olyan független valószínűségi változók, amelyekre EX_{n} = 0, EX_{n}^{2} < ∞, n = 1, 2, . . .. Definiáljuk az

S_{n} = X_{1} + ⋯ + X_{n}, T_{n} = (X_{1} + ⋯ + X_{n})^{2} − E(X_{1}^{2} + ⋯ + X_{n}^{2})

valószínűségi változókat és F_{n} = σ(X_{1}, …, X_{n}) σ-algebrákat minden n = 1, 2, … indexre. Mutassa meg, hogy (S_{n}, F_{n}) és (T_{n}, F_{n}), n = 1, 2, …, martingálok.

4.) Legyen S_{1}, S_{2}, … szimmetrikus bolyongás a számegyenesen, azaz legyen S_{n} = X_{1}+ ⋯+X_{n} minden n = 1, 2, … indexre, ahol X_{1}, X_{2}, … olyan független valószínűségi változók, amelyekre P (X_{n} = 1) = P (X_{n} = −1) = \frac{1}{2}, minden n = 1, 2, … indexre. Legyen a és b két pozitív egész szám, és definiáljuk segítségükkkel a következő τ = τ_{a,b} valószínűségi változót: τ az a legkisebb n index, amelyre S_{n} = −a vagy S_{n} = b, azaz S_{n} = −a vagy S_{n} = b, de S_{m} ≠ −a és S_{m} ≠ −b, ha m < n.

Felhasználva, hogy τ megállási szabály, mutassa meg az előző feladat eredményének és a martingálok tulajdonságairól tanultak alapján, hogy ES_{τ} = 0, ES_{τ}^{2} = Eτ, ezért annak a valószínűsége, hogy a szimmetrikus bolyongás előbb éri el a −a pontot, mint a b pontot \frac{b}{a+b}, és annak a valószínűsége, hogy a szimmetrikus bolyongás előbb éri el a b pontot, mint a −a pontot \frac{a}{a+b}. Azon véletlen időpontnak a várható értéke, amikor a véletlen bolyongás először éri el a −a vagy b pontot ab.

5.) Az előző feladat eredményének a segítségével mutassa meg, hogy egy szimmetrikus bolyongás egy valószínűséggel meglátogatja az 1 pontot, de e pont első meglátogatásának az időpontja olyan valószínűségi változó, amelynek végtelen a várható értéke.

6.) Legyen (X_{n}, F_{n}), n = 0, 1, …, N, martingál, ζ_{n}, n = 1, …, N, olyan valószínűségi változók sorozata, amelyekre ζ_{n} F_{n−1} mérhető. Legyen

Y_{0} = X_{0}, Y_{n} = Y_{n−1} + ζ_{n}(X_{n} − X_{n−1}), n = 1, …, N.

Mutassa meg, hogy (Y_{n}, F_{n}), n = 0, 1, …, N, martingál.

6a.) Legyen adva egy piac B_{n}, n = 0, 1, …, N, árú kötvényekkel és S_{n}, n = 0, 1, …, N, árú részvényekkel. Tekintsünk egy π = (β_{n}, γ_{n}), n = 1, …, N, stratégiát, ahol β_{n} az n − 1-ik napon vett kötvények és γ_{n} az n − 1-ik napon vett részvények száma, és ezek F_{n−1} mérhető valószínűségi változók, n = 1, …, N. Legyen ez a π stratégia önfinanszírozó, azaz ne csak az X_{n}^{π} = β_{n}B_{n} + γ_{n}S_{n}, hanem az X_{n−1}^{π} = β_{n}B_{n−1} + γ_{n}S_{n−1} azonosság is teljesüljön, n = 1, …, N. (X_{n}^{π} a vagyonunk értéke az n időpontban.) Mutassa meg, hogy

\frac{X_{n}^{π}}{B_{n}} − \frac{X_{n−1}^{π}}{B_{n−1}} = γ_{n} (\frac{S_{n}}{B_{n}} − \frac{S_{n−1}}{B_{n−1}} ) , n = 1, …, N.

6b.) Mutassa meg az előző eredmények segítségével, hogy ha π önfinanszírozó stratégia, és \frac{S_{n}}{B_{n}}, n = 0, 1, …, N, martingál, akkor \frac{X_{n}^{π}}{B_{n}}, n = 0, 1, …, N, is martingál.

7.) Legyenek 0 ≤ t_{1} < t_{2} < ⋯ < t_{n} valós számok. Mutassa meg, hogy létezik olyan (ζ_{1}, …, ζ_{n}) n-dimenziós normális eloszlású valószínűségi vektor, amelyre Eζ_{j} = 0, 1 ≤ j ≤ n, Eζ_{j}ζ_{k} = min(t_{j}, t_{k}), 1 ≤ j, k ≤ n. (Segítség: Konstruálja meg a ζ_{j} − ζ_{j−1} valószínűségi változókat, ahol ζ_{0} ≡ 0.)

8.) Legyen W (t), 0 ≤ t < ∞, Wiener folyamat. Mutassa meg, hogy minden a > 0 számra \frac{1}{\sqrt{a}}W (at), 0 ≤ t < ∞, Wiener folyamat. Mutassa meg, hogy tW (\frac{1}{t}), 0 < t < ∞, W (0) = 0, Wiener folyamat.

9.) Bizonyítsa be, hogy ha W (t), 0 ≤ t ≤ 1, Wiener folyamat, akkor B(t) = W (t) − tW (1), 0 ≤ t ≤ 1, Brown bridge, amely független a W (1) valószínűségi változótól. (Egy B(t), 0 ≤ t ≤ 1 sztochasztikus folyamatot akkor nevezünk Brown bridge-nek, ha olyan folytonos trajektóriájú Gauss folyamat, amelyre EB(t) = 0, 0 ≤ t ≤ 1, és EB(s)B(t) = s(1 − t), ha 0 ≤ s ≤ t ≤ 1.) Megfordítva, ha B(t), 0 ≤ t ≤ 1, Brown bridge, és ξ egy tőle független standard normális eloszlású valószínűségi változó, akkor W (t) = B(t) + tξ egy Wiener folyamat.

10.) Legyenek ξ_{1}, …, ξ_{n} független, a [0, 1] intervallumon egyenletes eloszlású valószínűségi változók. Definiáljuk az

F_{n}(t) = \frac{1}{n} × azon 1 ≤ j ≤ n indexek száma, amelyekre ξ_{j} < t

empirikus eloszásfüggvényt minden 0 ≤ t ≤ 1 számra e valószínűségi változók segítségével. Mutassa meg, hogy a G_{n}(t) = \sqrt{n}(F_{n}(t) − t), 0 ≤ t ≤ 1, normalizált eloszlásfüggvény és a Brown bridge kovarianciafüggvénye megegyezik.

11.) Legyen ξ normális eloszlású valószínűségi változó nulla várható értékkel és σ^{2} szórásnégyzettel. Mutassa meg, hogy Ee^{tξ} = e^{σ^{2}t^{2}/2} minden t valós számra. Legyen W (t), t ≥ 0, (standard) Wiener folyamat. Mutassa meg, hogy Z(t) = e^{αtW (t)−α^{2}t/2} sztochasztikus folyamat az F_{t} = B(W (s), s ≤ t) σ-algebrákkal, t ≥ 0, martingál minden α valós számra.

12.) Legyen W (t), t ≥ 0, (standard) Wiener folyamat. Mutassa meg, hogy a Z(t) = \frac{W^{2}(t)}{2} − t sztochasztikus folyamat az F_{t} = B(W (s), s ≤ t) σ-algebrákkal, t ≥ 0, martingál.