\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\parskip=4pt
\nopagenumbers

\noindent{\bf Feladatok:}

\medskip
\item{1a)} Legyen $X$ \'es $Y$ k\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'o, amelyekre $EX^2<\infty$, $EY^2<\infty$, \'es legyen 
$\Cal F$ olyan $\sigma$-algebra, amelyre $X$ $\Cal F$ 
m\'erhet\H{o}. Mutassa meg, hogy
$$
E(Y^2|\Cal F)=E((Y-X)^2|\Cal F)+2XE((Y-X)|\Cal F)+X^2.
$$
\item{1b)} Mutassa meg a fenti azonoss\'ag seg\'{\i}ts\'eg\'evel, 
hogy ha $(X_n,\Cal F_n)$, $n=1,2,\dots,$ marting\'al, amelyre 
$EX_n^2<\infty$ minden $n$ indexre, akkor $(X_n^2,\Cal F_n)$, 
$n=1,2,\dots$, szubmarting\'al.
\item{1c)} Mutassa meg, hogy ha $(X_n,\Cal F_n)$, $n=1,2,\dots$, 
marting\'al, akkor $(|X_n|,\Cal F_n)$, $n=1,2,\dots$, vagy
$(X_n^+,\Cal F_n)$, $n=1,2,\dots$, ahol $X_n^+=\max(X_n,0)$ 
szubmarting\'al.

\item{2.)} Egy igazs\'agos kaszin\'oban t\'et\"unket dupl\'azva 
addig j\'atszunk, am\'{\i}g biztosan nem nyer\"unk egy forintot. Azaz 
$X_n$, $n=1,2,\dots$, $n$ id\H{o}pontbeli nyerem\'eny\"unk a 
k\"ovetkez\H{o}k\'epp v\'altozik. Legyenek $Y_0,Y_1,\dots$ 
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, amelyekre 
$P(Y_n=1)=P(Y_n=-1)=\frac12$, $n=0,1,\dots$, \'es defini\'aljuk 
az $X_1=Y_0$, $X_{n+1}=X_n+2^nY_nI_{\{X_n<0\}}$, $n=1,2,\dots$, 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat, ahol $I_A$ 
az $A$ halmaz indik\'atorf\"uggv\'eny\'et jel\"oli.
\itemitem{a)} Mutassa meg, hogy $(X_n,\Cal F_n)$, ahol 
$\Cal F_n=\sigma(Y_0,,\dots,Y_{n-1})$ marting\'al. $X_n\to1$ 
1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel, ha $n\to\infty$, de az $X_n$
sorozat nem konverg\'al $L_1$ norm\'aban, ha $n\to\infty$.
\itemitem{b)} (Szorgalmi?) Mutassa meg, hogy 
$E\sup\limits_{n\ge 1}|X_n|=\infty$.

\item{3.)} Legyenek $X_1,X_2,\dots$ olyan f\"uggetlen 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok,
amelyekre $EX_n=0$, $EX^2_n<\infty$, $n=1,2,\dots$.
Defini\'aljuk az 
$$
S_n=X_1+\cdots+X_n, \quad 
T_n=(X_1+\cdots+X_n)^2-E(X_1^2+\cdots+X_n^2)
$$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat \'es
${\Cal F}_n=\sigma(X_1,\dots,X_n)$ $\sigma$-algebr\'akat
minden $n=1,2,\dots$ indexre. Mutassa meg, hogy 
$(S_n,{\Cal F}_n)$ \'es $(T_n,{\Cal F}_n)$, $n=1,2,\dots$,
marting\'alok.

\item{4.)} Legyen $S_1,S_2,\dots$ szimmetrikus bolyong\'as
a sz\'amegyenesen, azaz legyen $S_n=X_1+\cdots+X_n$ minden 
$n=1,2,\dots$ indexre, ahol $X_1,X_2,\dots$ olyan
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, amelyekre
$P(X_n=1)=P(X_n=-1)=\frac12$, minden $n=1,2,\dots$ indexre.
Legyen $a$ \'es $b$ k\'et pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'am, \'es
defini\'aljuk seg\'{\i}ts\'eg\"ukkkel a k\"ovetkez\H{o} 
$\tau=\tau_{a,b}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot: 
$\tau$ az a legkisebb $n$ index, amelyre $S_n=-a$ vagy 
$S_n=b$, azaz $S_n=-a$ vagy $S_n=b$, de $S_m\neq -a$ \'es 
$S_m\neq -b$, ha $m<n$.
\item{} Felhaszn\'alva, hogy $\tau$ meg\'all\'asi szab\'aly, 
mutassa meg az el\H{o}z\H{o} feladat eredm\'eny\'enek \'es 
a marting\'alok tulajdons\'agair\'ol tanultak alapj\'an, hogy 
$ES_\tau=0$, $ES_\tau^2=E\tau$, ez\'ert annak a 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a szimmetrikus bolyong\'as 
el\H{o}bb \'eri el a $-a$ pontot, mint a $b$ pontot 
$\frac b{a+b}$, \'es annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, 
hogy a szimmetrikus bolyong\'as el\H{o}bb \'eri el a $b$ 
pontot, mint a $-a$ pontot $\frac a{a+b}$. Azon v\'eletlen 
id\H{o}pontnak a v\'arhat\'o \'ert\'eke, amikor a v\'eletlen 
bolyong\'as el\H{o}sz\"or \'eri el a $-a$ vagy $b$ pontot $ab$.

\item{5.)} Az el\H{o}z\H{o} feladat eredm\'eny\'enek a 
seg\'{\i}ts\'eg\'evel mutassa meg, hogy egy szimmetrikus 
bolyong\'as egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel megl\'atogatja 
az 1 pontot, de e pont els\H{o} meg\-l\'a\-to\-ga\-t\'a\-s\'anak
az id\H{o}pontja olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, 
amelynek v\'egtelen a v\'arhat\'o \'ert\'eke.

\item{6.)} Legyen $(X_n,{\Cal F}_n)$, $n=0,1,\dots,N$, marting\'al,
$\zeta_n$, $n=1,\dots,N$, olyan 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok 
sorozata, amelyekre $\zeta_n$ ${\Cal F}_{n-1}$ m\'erhet\H{o}. Legyen
$$
Y_0=X_0,\;\;  Y_n=Y_{n-1}+\zeta_n(X_n-X_{n-1}),\quad  n=1,\dots,N.
$$ 
Mutassa meg, hogy $(Y_n,{\Cal F}_n)$, $n=0,1,\dots,N$, marting\'al.
\item{6a.)} Legyen adva egy piac $B_n$, $n=0,1,\dots,N$, \'ar\'u 
k\"otv\'enyekkel \'es $S_n$, $n=0,1,\dots,N$, \'ar\'u r\'eszv\'enyekkel.
Tekints\"unk egy $\pi=(\beta_n,\gamma_n)$, $n=1,\dots,N$, 
stra\-t\'e\-gi\-\'at, ahol $\beta_n$ az $n-1$-ik napon vett 
k\"otv\'enyek \'es $\gamma_n$ az $n-1$-ik napon vett 
r\'eszv\'enyek sz\'ama, \'es ezek ${\Cal F}_{n-1}$
m\'erhet\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, 
$n=1,\dots,N$. Legyen ez a $\pi$ strat\'egia 
\"onfinansz\'{\i}roz\'o, azaz ne csak az 
$X^\pi_n=\beta_n B_n+\gamma_nS_n$, hanem az 
$X^\pi_{n-1}=\beta_nB_{n-1}+\gamma_nS_{n-1}$ azonoss\'ag is teljes\"ulj\"on, 
$n=1,\dots,N$. ($X^\pi_n$  a vagyonunk \'ert\'eke az $n$ 
id\H{o}pontban.) Mutassa meg, hogy 
$$
\frac{X^\pi_n}{B_n}-\frac{X^\pi_{n-1}}{B_{n-1}}= 
\gamma_n\left(\frac{S_n}{B_n}-\frac{S_{n-1}}{B_{n-1}}\right),
\quad n=1,\dots,N.
$$
\item{6b.)} Mutassa meg az el\H{o}z\H{o} eredm\'enyek 
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy ha $\pi$ \"onfinansz\'{\i}roz\'o strat\'egia, 
\'es $\frac{S_n}{B_n}$, $n=0,1,\dots,N$, marting\'al, 
akkor $\frac{X^\pi_n}{B_n}$, $n=0,1,\dots,N$, is marting\'al. 

\item{7.)} Legyenek $0\le t_1<t_2<\cdots<t_n$ val\'os sz\'amok.
Mutassa meg, hogy l\'etezik olyan $(\zeta_1,\dots,\zeta_n)$
$n$-dimenzi\'os norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi vektor, amelyre
$E\zeta_j=0$, $1\le j\le n$, $E\zeta_j\zeta_k=\min(t_j,t_k)$,
$1\le j,k\le n$. (Seg\'{\i}ts\'eg: Konstru\'alja meg a 
$\zeta_j-\zeta_{j-1}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat, 
ahol $\zeta_0\equiv0$.)

\item{8.)} Legyen $W(t)$, $0\le t<\infty$, Wiener folyamat. 
Mutassa meg, hogy minden $a>0$ sz\'amra $\frac1{\sqrt a}W(at)$, 
$0\le t<\infty$, Wiener folyamat. Mutassa meg, hogy 
$tW(\frac1t)$, $0<t<\infty$, $W(0)=0$, Wiener folyamat.

\item{9.)} Bizony\'{\i}tsa be, hogy ha $W(t)$, $0\le t\le 1$, Wiener
folyamat, akkor $B(t)=W(t)-tW(1)$, $0\le t\le 1$, Brown bridge, amely 
f\"uggetlen a $W(1)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot\'ol.
(Egy $B(t)$, $0\le t\le 1$ sztochasztikus folyamatot akkor nevez\"unk
Brown bridge-nek, ha olyan folytonos trajekt\'ori\'aj\'u Gauss
folyamat, amelyre $EB(t)=0$, $0\le t\le1$, \'es $EB(s)B(t)=s(1-t)$,
ha $0\le s\le t\le 1$.) Megford\'{\i}tva, ha $B(t)$, $0\le t\le 1$, 
Brown bridge, \'es $\xi$ egy t\H{o}le f\"uggetlen standard 
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, 
akkor $W(t)=B(t)+t\xi$ egy Wiener folyamat.

\item{10.)} Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen, a $[0,1]$ 
intervallumon egyenletes eloszl\'as\'u 
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok. Defini\'aljuk az 
$$
F_n(t)=\frac1n\times\text{azon $1\le j\le n$ indexek sz\'ama,
amelyekre } \xi_j<t
$$ 
empirikus elosz\'asf\"uggv\'enyt minden $0\le t\le 1$ sz\'amra  e 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok 
se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel. Mutassa meg, hogy a 
$G_n(t)=\sqrt n(F_n(t)-t)$, $0\le t\le 1$, normaliz\'alt
eloszl\'asf\"uggv\'eny \'es a Brown bridge kovarianciaf\"uggv\'enye
megegyezik.

\item{11.)} Legyen $\xi$ norm\'alis  eloszl\'as\'u 
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o nulla
v\'arhat\'o \'ert\'ekkel \'es $\sigma^2$ sz\'or\'asn\'egyzettel.
Mutassa meg, hogy $Ee^{t\xi}=e^{\sigma^2t^2/2}$ minden $t$ val\'os 
sz\'amra. Legyen $W(t)$, $t\ge0$, (standard) Wiener folyamat. 
Mutassa meg, hogy $Z(t)=e^{\alpha tW(t)-\alpha^2 t/2}$ 
sztochasztikus folyamat az ${\Cal F}_t={\Cal B}(W(s),\; s\le t)$ 
$\sigma$-algebr\'akkal, $t\ge0$, marting\'al 
minden $\alpha$ val\'os sz\'amra.

\item{12.)} Legyen $W(t)$, $t\ge0$, (standard) Wiener folyamat. 
Mutassa meg, hogy a $Z(t)=\frac{W^2(t)}2-t$ sztochasztikus 
folyamat az ${\Cal F}_t={\Cal B}(W(s),\; s\le t)$ 
$\sigma$-algebr\'akkal, $t\ge0$, marting\'al.



\bye
