Feladatok:

1.) Legyen (X_{n}, F_{n}), n = 0, 1, …, N, martingál, ζ_{n}, n = 1, …, N, olyan valószínűségi változók sorozata, amelyekre ζ_{n} F_{n−1} mérhető. Legyen

Y_{0} = X_{0}, Y_{n} = Y_{n−1} + ζ_{n}(X_{n} − X_{n−1}), n = 1, …, N.

Mutassa meg, hogy (Y_{n}, F_{n}), n = 0, 1, …, N, martingál.

a.) Legyen adva egy piac B_{n}, n = 0, 1, …, N, árú kötvényekkel és S_{n}, n = 0, 1, …, N, árú részvényekkel. Tekintsünk egy π = (β_{n}, γ_{n}), n = 1, …, N, stratégiát, ahol β_{n} az n − 1-ik napon vett kötvények és γ_{n} az n − 1-ik napon vett részvények száma, és ezek F_{n−1} mérhető valószínűségi változók, n = 1, …, N. Legyen ez a π stratégia önfinanszírozó, azaz ne csak az X_{n}^{π} = β_{n}B_{n} + γ_{n}S_{n}, hanem az X_{n−1}^{π} = β_{n}B_{n−1} + γ_{n}S_{n−1} azonosság is teljesüljön, n = 1, …, N. (X_{n}^{π} a vagyonunk értéke az n időpontban.) Mutassa meg, hogy

\frac{X_{n}^{π}}{B_{n}} − \frac{X_{n−1}^{π}}{B_{n−1}} = γ_{n} (\frac{S_{n}}{B_{n}} − \frac{S_{n−1}}{B_{n−1}} ) , n = 1, …, N.

b.) Mutassa meg az előző eredmények segítségével, hogy ha π önfinanszírozó stratégia, és \frac{S_{n}}{B_{n}}, n = 0, 1, …, N, martingál, akkor \frac{X_{n}^{π}}{B_{n}}, n = 0, 1, …, N, is martingál.

2.) Legyen adva egy diszkrét idejű bináris piac B = (B_{n}) kötvényekkel, S = (S_{n}) részvényekkel és N kereskedési időponttal, {r_{n}} kamatlábakkal, {a_{n}}, és {b_{n}} együtthatókkal, és {p_{n}} valószínűségekkel, amelyek teljesítik a következő feltételeket.

(a) r_{n} > −1, −1 < a_{n} < b_{n} minden n = 1, …, N esetén.

(b) A kötvény árfolyamára teljesül a

B_{n} = (1 + r_{n})B_{n−1}, n = 1, …, N,

egyenlőség.

(c) A részvény S = {S_{n}}_{n=0}^{N} árfolyama kielégíti az

S_{n} = (1 + ρ_{n})S_{n−1}, n = 1, …, N,

egyenlőséget, ahol adva van egy S_{0} (determinisztikus) szám, és ρ_{n} olyan valószínűségi változó, amelyre ρ_{n} = a_{n} vagy ρ_{n} = b_{n}, és p_{n} = P (ρ_{n} = b_{n}) = 1 − P (ρ_{n} = a_{n}), 0 < p_{n} < 1, n = 1, …, N.

Így tudunk tekinteni egy olyan (Ω, A.P) valószínűségi mezőt, ahol az előbb definiált S_{n}, n = 0, …, N, részvényárfolyamok definiálva vannak. Ez egyben egy (B, S) diszkrét idejű bináris piac definicióját is jelenti.

(d) Legyen a_{n} < r_{n} < b_{n} minden 1 ≤ n ≤ N indexre.

Feltesszük továbbá, hogy P (ρ_{1} = x_{1}, …, ρ_{N} = x_{N}) > 0 minden olyan (x_{1}, …, x_{N}) sorozatra, amelyre x_{n} = a_{n} vagy x_{n} = b_{n} minden 1 ≤ n ≤ N indexre.

Definiáljuk a P^{∗} mértéket ugyanazon az (Ω, A) téren, ahol a diszkrét idejű bináris piacot meghatározó P mértéket definiáltuk ugyanazon {r_{n}} kamatlábak, {a_{n}}, és {b_{n}} együtthatók segítségével, csak a {p_{n}} valószínűségeket helyettesítsük a p_{n}^{∗} = \frac{r_{n}−a_{n}}{b_{n}−a_{n}}, n = 1, 2, …, N, valószínűségekkel, és legyen

P^{∗}(ρ_{n} = b_{n}) = 1 − P^{∗}(ρ_{n} = a_{n}) = p_{n}^{∗}, n = 1, …, N,

valamint legyenek a ρ_{1}, …, ρ_{N} valószínűségi változók függetlenek a P^{∗} mérték szerint.

Megjegyzem, hogy ez azt jelenti, hogy a P^{∗} mérték azon (x_{1}, …, x_{N}) sorozatokra van koncentrálva, amelyekre x_{n} = a vagy x_{n} = b_{n}, n = 1, …, N, és

P^{∗}(\{(x_{1}, …, x_{N})\}) = ∏_{\begin{matrix}1≤n≤N \\ x_{n}=b_{n} \end{matrix}} p_{n}^{∗} ∏_{\begin{matrix}1≤n≤N \\ x_{n}=a_{n} \end{matrix}}(1 − p_{n}^{∗}).

Mutassa meg, hogy az így definiált P^{∗} mérték a P valószínűségi mértékkel ekvivalens martingál mérték.

Szorgalmi feladat: Mutassa meg, hogy P^{∗} az egyetlen a P valószínűségi mértékkel ekvivalens martingál mérték.

3.) Legyen adva véges sok X_{1}, …, X_{N} valószínűségi változó, amelyekre E|X_{j}| < ∞ minden 1 ≤ n ≤ N indexre. Tudjuk, hogy ha ezek a valószínűségi változók martingált alkotnak, akkor EX_{τ} = EX_{0} minden τ megállási szabályra. (Természetesen feltesszük, hogy P (τ ≤ N) = 1). Bizonyítsuk be ezen állítás megfordítását, nevezetesen azt, hogy amennyiben EX_{τ} = EX_{0} minden τ megállási szabályra, akkkor az X_{1}, …, X_{N} valószínűségi változók martingált alkotnak.

Segítség. Fogalmazzuk meg a martingál tulajdonságot integrálazonosságok segítségével. Ezután tekintsünk tetszőleges 1 ≤ n ≤ N indexet és B(X_{1}, …, X_{n}) mérhető A halmazt. Vegyük a τ_{1} ≡ n és τ_{2} megállási szabályokat, ahol τ_{2}(ω) = n, ha ω ∉ A és τ_{2}(ω) = n + 1, ha ω ∈ A. Mit tudunk állítani ezen megállási szabályok segítségével?

4.) A következő feladat célja megmutatni, hogy bizonyos esetekben explicit módon ki tudjuk számolni a feltételes eloszást.

Legyen adva két ξ és η valószínűségi változó, amelyek együttes sűrűségfüggvénye egy μ × ν szorzatmérték szerint az R^{2} téren h(x, y), azaz

P ((ξ, η) ∈ A) = ∫_{A} h(x, y)μ( dx)ν( dy) minden Borel mérhető A ⊂ R^{2} halmazra.

Ekkor η sűrűségfüggvénye a ν mérték szerint g(y) = ∫_{R} h(x, y)μ( dx), azaz P (η ∈ B) = ∫_{B} g(y)ν( dy) minden B ⊂ R Borel mérhető halmazra. A ξ valószínűségi változó feltételes sűrűségfüggvénye feltéve az η valószínűségi változó értékét

f(x|y) = \frac{h(x, y)}{g(y)},

azaz P (ξ ∈ C|η = y) = ∫_{C} f(x|y)μ(dx) minden C ∈ R halmazra.

Szorgalmi feladat E(u(ξ, η)|η = y) = ∫ u(x, y)f(x|y)μ( dx), ha E|u(ξ, η)| < ∞.

5a) Legyen X és Y két valószínűségi változó, amelyekre EX^{2} < ∞, EY^{2} < ∞, és legyen F olyan σ-algebra, amelyre X F mérhető. Mutassa meg, hogy

E(Y^{2}|F) = E((Y − X)^{2}|F) + 2XE((Y − X)|F) + X^{2}.

5b) Mutassa meg a fenti azonosság segítségével, hogy ha (X_{n}, F_{n}), n = 1, 2, …, martingál, amelyre EX_{n}^{2} < ∞ minden n indexre, akkor (X_{n}^{2}, F_{n}), n = 1, 2, …, szubmartingál.

5c) Mutassa meg, hogy ha (X_{n}, F_{n}), n = 1, 2, …, martingál, akkor (|X_{n}|, F_{n}), n = 1, 2, …, vagy (X_{n}^{+}, F_{n}), n = 1, 2, …, ahol X_{n}^{+} = max(X_{n}, 0) szubmartingál.

Tanultuk, hogy, ha (X_{n}, F_{n}), n = 0, 1, … olyan martingál (általánosabban olyan szub vagy szupermartingál), amelyre sup_{n} E|X_{n}| = K valamely K < ∞ konstanssal, akkor X_{n} → X valamely X valószínűségi változóra 1 valószínűséggel. Továbbá E|X| ≤ K. (Lásd Kevei Péter jegyzete 8. oldalán Doob martingál konvergenciatételét.)

Tudjuk továbbá, hogy ha adva van σ-algebrák növekvő

F_{0} ⊂ F_{1} ⊂ ⋯ ⊂ F_{n} ⊂ ⋯

sorozata, és egy X, E|X| < ∞ valószínűségi változó, akkor az X_{n} = E(X|F_{n}), n = 0, 1, … változókra az (X_{n}, F_{n}), n = 0, 1, …, sorozat martingál. Arra vagyunk kiváncsiak, hogy melyek azok az (X_{n}, F_{n}), n = 0, 1, …, martingálok, amelyekre létezik az X = lim X_{n} limes 1 valószínűséggel, és X_{n} = E(X|F_{n}) minden n = 0, 1, … indexre.

6.) Legyen (X_{n}, F_{n}), n = 0, 1, … olyan martingál, amelyre létezik olyan X, E|X| < ∞, valószínűségi változó, amelyre az X_{n} sorozat L_{1} normában konvergál az X változóhoz, azaz lim_{n→∞} E|X_{n} − X| = 0. Mutassa meg, hogy ekkkor X_{n} = E(X|F_{n}), n = 0, 1, 2, …, és X F_{∞} mérhető valószínűségi változó , ahol F_{∞} a F_{n}, n = 0, 1, …, σ-algebrák által generált, azaz az őket tartalmazó legszűkebb σ-algebra.

Segítség. Legyen B ∈ F_{n}. Ekkor ∫_{B} X_{n} dP = ∫_{B} X dP, mert

∫_{B} X_{n} dP = ∫_{B} X_{N} dP, ha N ≥ n, és lim_{N→∞} ∫_{B} X_{N} dP = ∫_{B} X dP.

7.) Legyen F_{0} ⊂ F_{1} ⊂ ⋯ ⊂ F_{n} ⊂ ⋯ σ-algebrák növekvő sorozata, F_{∞} az általuk generált σ-algebra. Ha X és Y két F_{∞} mérhető valószínűségi változó, E|X| < ∞, E|Y | < ∞, E(X|F_{n}) = E(Y |F_{n}) 1 valószínűséggel minden n = 0, 1, … indexre, akkor X = Y 1 valószínűséggel.

Segítség. Legyen μ(A) = ∫_{A}(X − Y) dP. Ekkor μ(A) = 0 minden A ∈ F_{n}, n = 0, 1, …, halmazra. Ezután hívatkozzunk a mérték kiterjesztésének egyértelműségére az F_{∞} σ-algebrára.

8.) Legyen F_{0} ⊂ F_{1} ⊂ ⋯ ⊂ F_{n} ⊂ ⋯ σ-algebrák növekvő sorozata, és F_{∞} az általuk generált σ-algebra. Legyen X F_{∞} mérhető valószínűségi változó, E|X| < ∞, és legyen X_{n} = E(X|F_{n}). Mutassa meg, hogy az X_{n} sorozat konvergál az L_{1} normában és majdnem mindenütt az X valószínűségi változóhoz.

Segítség. Lássuk be, hogy E|X_{n}| ≤ E|X| < ∞ minden n = 0, 1, … indexre. Továbbá tudjuk, hogy (X_{n}, F_{n}), n = 0, 1, 2, …, martingál. Ezért, a tanultak alapján X_{n} → Y majdnem mindenütt valamely Y valószínűségi változóhoz, amelyre E|Y | ≤ E|X|. Továbbá mutassuk meg, hogy mivel X_{n} = E(X|F_{n}), ezért az X_{n} sorozat L_{1} normában is konvergál. Innen, és az előző feladatok eredményeiből következik, hogy X = Y. Az L_{1} normában való konvergencia bizonyításának érdekében mutassuk meg, hogy E|X_{n}|I(|X_{n}| > K) ≤ IE|X|I(|X_{n}| > K) < ε minden n = 0, 1, … indexre és ε > 0 számra, továbbá E|Y |I(|X_{n}| > K) < ε, ha K > K(ε), mert a P (|X_{n}| > K) valószínűség nagyon kicsi nagy K > 0 számra. Innen és az X_{n} → Y majdnem mindenütt relációból következik az állítás.

9.) Egy igazságos kaszinóban, tétünket duplázva addig játszunk, amig biztosan nem nyerünk egy forintot. Azaz X_{n}, n = 1, 2, …, n időpontbeli nyereményünk a következőképp változik. Legyenek Y_{0}, Y_{1}, … független valószínűségi változók, amelyekre P (Y_{n} = 1) = P (Y_{n} = −1) = \frac{1}{2}, n = 0, 1, …, és definiáljuk az X_{1} = Y_{0}, X_{n+1} = X_{n} + 2^{n}Y_{n}I_{{X_{n}<0}}, n = 1, 2, …, valószínűségi változókat, ahol I_{A} az A halmaz indikátorfüggvényét jelöli.

Mutassa meg, hogy (X_{n}, F_{n}), ahol F_{n} = σ(Y_{0}, , …, Y_{n−1}) martingál. X_{n} → 1 1 valószínűséggel, ha n → ∞, de az X_{n} sorozat nem konvergál L_{1} normában, ha n → ∞.

10.) Legyen (X, Z) kétdimenziós normális eloszlású véletlen vektor, EX = 0, EZ = 0. Mutassa meg, hogy E(X|Z) = \frac{EXZ}{EZ^{2}} Z, E(X^{2}|Z) = EX^{2} − \frac{(EXZ)^{2}}{EZ^{2}} + (\frac{EXZ}{EZ^{2}} )^{2} Z^{2}, E(((X − E(X|Z))^{2}|Z) = EX^{2} − \frac{(EXZ)^{2}}{EZ^{2}} . (Vegyük észre, hogy az utolsó formula, amelyben X feltételes szórásnǵyzetét számoltuk ki feltéve Z értékét, nem függ Z aktuális értékétől.)

Segítség. Írja az X valószínűségi változót X = αY + Z alakban alkalmas α konstanssal úgy, hogy Z az Y -tól független normális eloszlású valószínűségi változó.

11.) Legyenek 0 ≤ t_{1} < t_{2} < ⋯ < t_{n} valós számok. Mutassa meg, hogy létezik olyan (ζ_{1}, …, ζ_{n}) n-dimenziós normális eloszlású valószínűségi vektor, amelyre Eζ_{j} = 0, 1 ≤ j ≤ n, Eζ_{j}ζ_{k} = min(t_{j}, t_{k}), 1 ≤ j, k ≤ n. (Segítség: Konstruálja meg a ζ_{j} − ζ_{j−1} valószínűségi változókat, ahol ζ_{0} ≡ 0.)

12.) Legyen W (t), 0 ≤ t < ∞, Wiener folyamat. Mutassa meg, hogy minden a > 0 számra \frac{1}{\sqrt{a}}W (at), 0 ≤ t < ∞, Wiener folyamat. Mutassa meg, hogy tW (\frac{1}{t}), 0 < t < ∞, W (0) = 0, Wiener folyamat.

13.) Legyen ξ normális eloszlású valószínűségi változó nulla várható értékkel és σ^{2} szórásnégyzettel. Mutassa meg, hogy Ee^{tξ} = e^{σ^{2}t^{2}/2} minden t valós számra. Legyen W (t), t ≥ 0, (standard) Wiener folyamat. Mutassa meg, hogy Z(t) = e^{αtW (t)−α^{2}t/2} sztochasztikus folyamat az F_{t} = B(W (s), s ≤ t) σ-algebrákkal, t ≥ 0, martingál

minden α valós számra.

14.) Láttuk, hogy alkalmazva az Itô formulát az W (t) = ∫_{0}^{t} 1 dW (s) kifejezésre ki tudjuk számolni az ∫_{0}^{t} W (s) dW (s) integrált. Bizonyítsuk be hasonló módon, hogy

∫_{0}^{t} W^{2}(s) dW (s) = \frac{1}{3}W^{3}(t) − ∫_{0}^{t} W (s) ds,

és

∫_{0}^{t} W^{3}(s) dW (s) = \frac{1}{4}W^{4}(t) − \frac{3}{2} ∫_{0}^{t} W^{2}(s) ds.

A következő feladat Kevei Péter jegyzetének a 7. példájában tárgyalt exponenciális Brown mozgáshoz, azaz a dX(t) = μX(t) dt + σX(t) dW (t) sztochasztikus differenciálegyenlet megoldásához kapcsolódik. Ott az Itô formulát alkalmaztuk az f(X(t)) függvényre f(x) = log x választással, és ez azt adta, hogy a tekintett sztochasztikus differenciálegyenlet megoldása az X(t) = X(0) exp\{σW (t) + (μ − \frac{σ^{2}}{2} )t\} függvény. A jegyzetben tárgyalt számolás segített megtalálni a megoldást, mégsem tekinthető teljes értékű indoklásnak, mert az Itô formulában az egész számegyenesen definiált kétszer folytonosan differenciálható f(x) függvényt kell választani, az f(x) = log x függvény pedig nem ilyen, sőt nem is egészíthető ki ilyen függvénnyé. Megjegyzem, hogy ez a probléma azzal függ össze, hogy a nem az origóból kiinduló exponenciális Brown mozgás, mint a rá adott megoldás mutatja, nem veszi fel soha a nulla értéket, de ezt közvetlenül nem látjuk.

15a.) Bizonyítsa be az Itô formula segítségével, hogy az

X(t) = exp\{U(t)\} = exp \{σW (t) + (μ − \frac{σ^{2}}{2} )t\}

sztochasztikus folyamat, ahol U(t) = σW (t) + (μ − \frac{σ^{2}}{2} )t kielégíti a dX(t) = μX(t) dt + σX(t) dW (t) sztochasztikus differenciálegyenletet az X(0) = 1 hatérfeltétellel.

15b.) Az előbb definiált X(t) és U(t) folyamatokra

d (\frac{1}{X(t)}) = \frac{1}{X(t)}[(σ^{2} − μ) dt − σdW (t)].

15c.) Legyen Z(t) megoldása a dZ(t) = μZ(t) dt + σZ(t) dW (t) sztochasztikus differenciálegyenletnek. Mutassa meg, hogy

d (\frac{1}{X(t)}Z(t)) = \frac{dZ(t)}{X(t)} + Z(t)d (\frac{1}{X(t)}) − σ^{2} \frac{Z(t)}{X(t)} dt = 0,

ezért Z(t) = Z(0) exp\{σW (t) + (μ − \frac{σ^{2}}{2} )t\}.